2026年 九年级数学中考一轮复习 直角三角形 同步综合达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《直角三角形》同步综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．1，6，7 B．2，3，4 C．1，， D．，，6 2．如图，在中，，，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 7．如图所示，中，，，，点P是线段上的一个动点（不与B，C重合），过P作于E，于F，若的长是x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（满分24分） 9．直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为 平方厘米． 10．在中，，，垂足为，，那么的大小是 ． 11．如图，在中，，，，若是边上的中点，则 ；若是边上的动点，则的最小值是 ． 12．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 13．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ． 14．如图，在中，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ． 15．如图，在中，，，的平分线交于点D．分别以点C、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交的延长线于点F．如果，那么 ． 16．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是 尺． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，，，于点D，CE是的角平分线．求的度数． 18．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 19．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，， ，求证：． 小明研究发现，在上截取，连接，经过推理和计算就能解决问题． (1)请根据小明的思路完成本题的证明过程； (2)利用（1）中的结论解决问题：如图，在中，，且，．求点到直线的距离． 20．如图，是的高线，为上一点，连接，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 21．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 22．海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 23．小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴负半轴上，且． (1)点的坐标为___________； (2)如图②，若点为边的中点，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点匀速运动，设点运动的时间为（秒）； ①若的面积为2，求的值； ②如图③，在点运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求出此时的值，并写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． ③当时，直接写出此时的值． 25．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断是否能构成直角三角形，使用勾股定理的逆定理：验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：对于每个选项，计算平方和： A.∵，，∴，不是直角三角形； B.∵，，∴，不是直角三角形； C.∵，，∴，是直角三角形； D.∵，，∴，不是直角三角形， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的相关性质并灵活运用． 【详解】解：∵直线垂直平分， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助圆是解题的关键．根据，可知在以的中点为圆心，长为直径的圆上，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而即可解答． 【详解】解：， ∴取的中点，以点为圆心，长为直径作圆，如图所示， 此时四点共圆， ， ， ， ． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，连接，，根据直角三角形的性质可得，，又为的中点，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的性质与判定、三角形的面积公式，证出四边形是矩形是解题的关键． 连接，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而证出四边形是矩形，则有，再分别求出的最小值和最大值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，有最小值，此时是的高， ∴； 当点P与点C重合时，有最大值8， ∵点P不与B，C重合， ∴， ∴． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了动点型问题，直角三角形，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论得思想是解题得关键； 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当→时，，当→时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ①若， 当→时，∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当→时，， ②若时， 当→时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或， 故选：D． 9．24 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质求斜边长，再根据面积公式计算即可 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为6厘米， ∴斜边长为厘米． 又∵斜边上的高为4厘米， ∴三角形面积为平方厘米． 故答案为24． 10．/42度 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由垂线的定义得到，则同理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 4 12 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，，，，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴若是边上的中点，则； 过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 故答案为：4；12． 12．5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据含30度角的直角三角形的性质得到，如图所示，连接，由垂直平分线的性质得到，结合图形，由两点之间线段最短得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，， ∴的最小值是， 故答案为： ． 15．6 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 求得，，，，由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， ∵由作图知是线段的垂直平分线， ∴，， 在和中， ∴, ∴， 故答案为：6． 16． 【分析】本题考查勾股定理．由题意得，尺，（尺），根据勾股定理有，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，尺，尺， ∴（尺） ∵在中，， ∴， ∴尺． 故答案为： 17． 【分析】本题考查了直角三角形的性质与角平分线的定义，掌握直角三角形两锐角互余；角平分线将角分成两个相等的角是解题的关键． 先利用直角三角形的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后通过两角的差计算出的度数 【详解】解：∵，于点D， ∴． ∵CE平分，， ∴， ∴． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】（1）解：，是边上的中线， ，， ； （2）证明：，由（1）知， ∴ ∵F是CE边上的中点， ． 19．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半等，证明出所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． （1）在上截取，连接，再通过角度得计算和边相等证明为等边三角形，为等腰三角形，推出，即可证明； （2）先过点作交延长线于点，即为点到直线的距离，再通过边相等证明为等腰三角形，得到，然后通过外角得出，最后根据（1）得出的结论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵在中，， ， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴为等腰三角形， ∴． ∴， ∴． （2）过点作交延长线于点，即为点到直线的距离， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ∵为的外角， ∴． ∵在中，，， 由（1）得结论可推出：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据得，再根据是的高线得，，则，由此可得结论； （2）过点作于点，先求出，再证明和全等得，再根据是等腰三角形的性质得 【详解】（1）证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 解：过点作于点， 点是的中点，， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形，， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可． （2）在中，直接利用勾股定理可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴梯子底端B到墙角O的距离为：． （2）解：∵，，， ∴， ∴． ∴梯子底端 B 将向外移动． 22．(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得， ， ， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 23．(1)，理由见详解 (2)小亮跑的路线更短 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：已知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 24．(1) (2)①或；②，或，；③． 【分析】（1）由勾股定理求出，则，进而确定点B的坐标； （2）①如图：作于H，求出，当点M在点O的左侧时，，可得；当点M在点O的右侧时，，可得；②当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点M运动到点O，不构成三角形；当点M在上，即时，分和两种情况解答即可；③如图：过M作垂足为F，则是等腰直角三角形，即；设，则，又，由勾股定理可得方程；如图：过E作垂足为G，则，再利用等面积法列出方程，再联立两方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：∵点，点， ，， ． ， ， ． 故答案为：． （2）解：①如图：作于H， ∵点，点，点为边的中点， ∴点E坐标为，即；， 当点M在点O的左侧时，， ∴，解得：； 当点M在点O的右侧时，， ∴，解得：． 综上，当t的值为或时，的面积为2． ②当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点M运动到点O，不构成三角形； 当点M在上，即时， 如图3，当时， ∵ ， ，解得： ∴； 如图4，当时，作于H， ∵点E坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ，解得：， ∴； 综上所述，符合要求时，或，． ③如图：过M作垂足为F， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∵， ∴； 如图：过E作垂足为G，则， ∵点E坐标为， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 将代入可得： ，解得：或（不合题意舍去）． ∴当时，的值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、直角三角形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确画出图形并进行分类讨论是解题的关键． 25．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 学科网（北京）股份有限公司 $