解直角三角形的实际应用练习题2026年中考数学复习

解直角三角形的实际应用练习题2026年中考复习 1.如图，已知中，，、、的对边分别为、、． 根据锐角三角函数的定义，证明：； 若，求的值． 2.【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得、之间的水平距离为，用测角仪在处测得点的俯角为，测得点的俯角为． 【问题解决】 请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度结果保留整数；参考数据：，，，，， 请再设计一种测量建筑物、高度的方案建筑物的宽度忽略不计，画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．可提供的测量工具：皮尺、测角仪 3.小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为已知，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且求河宽参考数据：，，，，， 4.为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点． 【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点，站立此处，测得树顶端的仰角为，再测得点离树底端的距离为米，并测得眼睛所在位置点离地面点的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度参考数据：，， 5.如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上求甲航行的距离． 参考数据： 6.现有一台红外线理疗灯如图所示，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图是该设备的平面示意图垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为经测量：为，为，为，，． 填空：______，______； 已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳求此时伸缩杆的长度参考数据：，，， 7.小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点点、、在同一水平面内，小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为米，求此河流的宽度． 参考数据：，，， 8.数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度如图，第一小组用无人机在离地面米高的点处，测得地面上一点的俯角为度，测得楼顶处的俯角为度点，，，都在同一平面内，无人机在点和楼房之间的点处测量；第二小组人工测量得到点和大楼之间的水平距离米请根据提供的数据，求出楼房高度结果精确到米，参考数据： 9.为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成如图小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量如图：他站在与塔底同一水平面的点处，测得五角星最高点的仰角，最低点的仰角，点到塔底中心的距离为米求五角星高度大约是多少米结果保留整数？参考数据：， 10.学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点 ， ， ， ， 在同一平面内，点 ， ， 在同一水平线上，一组成员从米高的厚德楼顶部 测得博学楼的顶部 的俯角为 ，另一组成员沿 方向从厚德楼底部 点向博学楼走米到达 点，在 点测得博学楼顶部 的仰角为 ，求博学楼 的高度．参考数据： ， ， ， ， ，  11.数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为米，插入地下的部分为米，竹竿与地面接触点间距为米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度结果精确到，参考数据：，， 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 12.如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上已知． 求的度数； 求景点与景点之间的距离结果保留根号 13.图 是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为 米的 ，其上的某个座舱可视作 上的点 ，座舱距离地面的最低高度 为 米，地面 上的观察点 到点 的距离 为 米，平面示意图如图 所示． 当视线 与 相切时，求点 处的座舱到地面的距离； 已知摩天轮匀速转动一周需要 分钟，当座舱距离地面不低于 米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． 以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： ， ， ， ，  14.焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点，，在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 ，，，． 备注 点，，，在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． 求纪念碑的高度． 小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为查阅资料得知，纪念碑的实际高度为请判断小红的结果和中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因写出一条即可． 15.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度如图某学习小组设计了一个方案：如图所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度结果取整数． 参考数据：，． 16.综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表时间：年月日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 灰实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 测出测角仪的高． 利用测角仪测出展览馆顶端的仰角． 测出测角仪底端处到展览馆底端处之间的距离． 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度结果精项到 参考数据：，， 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按：等比例缩小，得到其打即模型的高度约为______结果精确到 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 17.某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处此时，，三点在同一直线上； 测量，两点和，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处此时，，三点在同一直线上，测量，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示     测量数据 备注 图上所有点均在同一平面内； ，，，均与地面垂直． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 答案和解析 1.证明：在中，，  ，，，  ；  解：，  ，  ，  或舍去，  即的值为．  2.【小题】如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； 【小题】平面示意图如下： 用皮尺测得、之间的水平距离为，用测角仪在处测得点的仰角为，在处测得点的仰角为． 在中，， 在中，， 3.． 延长交于点，则  在中，，  ，，      ，          由图形得，    在中，  ，    ，  答：河宽约为． 4.树的高度为 米． 在中，，米，  根据正切函数的定义，可得 ，   将米，代入上式，可得 米，  米，  树的高度 米  综上：树的高度为 米． 5.．  如图，延长，交点为，过点作于点，过点作交于点  由题意得，，，，  ，之间的距离为，在的中点处，  ，  中，，  ，，  ，为中点，  为的中点，即，，  设 ，  ，  ，  在和中，  ≌，  ，  ，  ，  中，，  ，  解得，  答：甲航行的距离约为． 6.如图，延长交于点，延长交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； ，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 答：此时伸缩杆的长度约为． 7.过点作于点，  设米，则由题意得 米，  在中，，，  ，  在中，，，  ， 解得：，  米，  答：此河流的宽度为米．  8.延长交直线于点，过点作，垂足为，则， 由题意得：米，米， 在中，， 米， 米， 在中，， 米， 米， 楼房高度约为米． 9.延长交于，  则四边形是矩形，  ，米，  在中，，  米，  在中，，  米，  米  答：五角星高度大约是米．  10.过点 作 于点 ， 由题意得， ， ， ， ，  ， 四边形 是矩形，  ， 在 中， ， 设 ， 则 ， ， 在 中， ，  ， 解得： ，经检验，是方程的解，  ， 答：博学楼 的高度为．  11如图，过点作，垂足为， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， 问题总结：． 故答案为：． 12.如图，由题意点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上， ，，，，， ，， ； ， ， 由得， ， 又， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 景点与景点之间的距离为．  13.【小题】连接 ， ，作 ，垂足为 ， 根据题意可知， 米， 在 中， 米， ， 所以 米， 因为 ， 所以 ， 因为 与 相切， 所以 ， 所以 ， 因为 米， 米 所以 ， 所以 ， 米， 所以 ， 在 中， 米， 所以，点 处的座舱到地面的距离约为 米； 【小题】过点 作 ，交 于点 延长 ，交 于点 ，连接 ，不妨设 米， 因为 ， 所以 ， 所以 米， 因为 米， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以最佳观赏风景的时间为 分钟， 所以 的长 米， 座舱经过的 的长约为 米． 14.太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等， 即， ； 如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，，， ，，， ， 设 ，则， ， ， ， ∽， ， ，解得：， 答：纪念碑的高度为． 纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，中纪念碑的高度为， ，，， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．答案不唯一  15.如图，延长与相交于点，  根据题意可得四边形和四边形是矩形，，，，  ，，  在中，，  ，  在中，，    ，      ，  答：世纪钟建筑的高度约为． 延长与相交于点，根据题意可得，得出，在中，，可得在中，，可得，根据列式计算即可． 16.任务二，计算实际高度， 依题意，四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ， 答：该城市规划展览馆的高度约为； 任务三，换算模型高度， 设打即模型的高度为， ：：， 解得， 打即模型的高度为， ， 打即模型的高度约为， 故答案为：． 任务一，在中利用三角函数求出长，结合测角仪的高度，得到结果； 任务二，利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 17.由题意得，四边形，四边形为矩形，  ，，  在中，，  ，  ，  在中，，  ，  ，  ，  答：校徽的高度约为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $