四川省宜宾市南溪第一中学校2026届高三基地班下学期模拟预测数学试题 （二）

**基本信息** 这份高三数学模拟卷以“数学眼光观察、思维分析、语言表达”为导向，通过国庆游览排序、乒乓球联赛概率、人工智能研发等真实情境，综合考查函数与导数、几何与代数、概率与统计等核心模块，梯度设计合理，适配高三基地班能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、集合运算、三角恒等变换等|基础概念辨析，如函数对称性与导函数奇偶性关系判断| |多选|3/18|向量运算、解三角形、椭圆性质|多角度考查，如椭圆中焦点弦、中点弦斜率等综合应用| |填空|3/15|圆台体积、切线方程、双曲线离心率|空间想象与代数运算结合，如圆台侧面积与体积关联| |解答|6/87|数列求和与证明、抛物线方程、概率分布列、立体几何面面角、导数综合|情境化与综合性强，如人工智能研发概率问题（考查条件概率与分布列）、导数题从求最值到证明不等式（体现思维梯度）|

四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级基地班数学高三试题（二） 班级 姓名 成绩 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 国庆假期，某人计划去五个不同景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 60种 6.已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（   ） A．2 B．3 C． D． 7. 2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（ ） A. 若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点，则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________. 13. 已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 14. 已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 15. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 16.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）. (1)求的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. . 18. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD. （1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：； （2）若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数， （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若且，求证：． 四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级基地班数学高三试题（二）答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B A A B B D BCD BCD ACD 12 13 14 2 11.【答案】ACD 【详解】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确； 对B，设，在椭圆上， 则，，两式相减得， ∵ 的中点坐标为 ，∴， ∴，故B错误； 对C，直线 经过坐标原点，椭圆 ，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当，，故C正确； 对D，设，根据对称性不妨取点在第一象限， ，， ∵， ∴， 即，整理得， 又，代入得，解得， ∴，， ， 故D正确，故选：ACD 14.【分析】由双曲线第三定义得，分别找到直线斜率计算即可 【详解】设，，由题意得，， 因为，所以，， 又，即，两边平方并整理得， 即，所以， 由双曲线第三定义得， 即，整理得，解得故答案为：2 15.【小问1详解】由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以； 【小问2详解】 证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 16.【详解】（1）因为，所以，所以， 设，则，解得.因为点在上，所以，所以，所以. （2）由（1）知，所以直线的方程为， 又，所以直线的方程为，即. 由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数. 设为的角平分线所在直线上任一点，则有， 若，得， 其斜率为负，不合题意，舍去.所以，即， 所以的角平分线所在直线的方程为. 17.【小问1详解】设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，则 ； 由条件概率公式可得； 【小问3详解】设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为 18.【小问1详解】因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD， 又因为平面PBC，平面平面，所以. 【小问2详解】 在平面PAD内过点作于点， 因为平面平面PDC，所以平面PDC，故， 又因为，又因为， 所以平面PAD，有.所以平行四边形ABCD为长方形. 如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系. 则有，.取平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则有，代入得，取， 设平面PAD与平面PBC所成角为，则. （3）易知， 假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为， 则有，解得， 设内切球球心为，根据图形特征，必有，， 则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾. 故四棱锥不存在内切球. 19【小问1详解】已知，对其求导可得，令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 所以，故的最小值为. 【小问2详解】 设，则. 令，则. （i）当时，因为，则，，所以在上恒成立； （ii）当时，，所以在上递增， 所以，所以上递增， 所以在上恒成立； （iii）当时，，所以在上递增， 因为，， 所以在上存在唯一零点，， 所以当时，，则当时，，不满足条件. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 证明：由得，则. 要证，可证 ， 即证. 令，即证， 即证.先证明， 令，则只需证明， 又易证， ， 所以在上单调递减，则， 学科网（北京）股份有限公司 $