精品解析：湖南衡阳市衡东县第五中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

2026年衡东县第五中学高一5月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定判断， 【详解】由题意得“，”的否定是，， 故选：B 3. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得， 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】解：因为，所以. 故选：D 5. 垂直于同一平面的两条直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，直接选择即可. 【详解】若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行. 故选：A. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得：. 故选：C. 7. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解， 【详解】由题意得， 故， 故选：B 8. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由异面直线所成角的概念求解， 【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则 ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 11. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由，可得,所以, 故答案为：5 13. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理： 可得： ， 由 可得 ，则： . 14. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 【答案】 【解析】 【详解】由棱台的体积公式得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，， 则； 【小问2详解】 因为， 所以， 得 16. 设复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求． （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出； （2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解． 【小问1详解】 ， 若为纯虚数，则，解得， 故， ． 【小问2详解】 ， 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得， ． 17. 如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点. （1）求证：平面ABC； （2）若，，求圆锥PO的体积. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）由圆锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC 【小问2详解】 AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 18. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 19. 如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） （1）求金属容器的体积； （2）若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 【答案】（1） （2）134.64元． 【解析】 【小问1详解】 有体积公式得， 又 所以 所以容器的体积． 【小问2详解】 由题意知， 又四棱台的侧面梯形的高为， 所以． 又 所以金属容器的表面积为． 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年衡东县第五中学高一5月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 垂直于同一平面的两条直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，的夹角为锐角，则 11. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______. 13. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____． 14. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 设复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求． （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点. （1）求证：平面ABC； （2）若，，求圆锥PO的体积. 18. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 19. 如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） （1）求金属容器的体积； （2）若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $