精品解析：天津市第二耀华中学2025-2026学年高二第二学期期中检测数学试题

天津市第二耀华中学2025-2026学年度第二学期期中检测 高二年级数学学科试卷 第I卷（选择题共45分） 一､选择题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数和简单复合函数的求导公式计算即可. 【详解】对于A，因为为常数，常数的导数为0，所以，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D错误. 2. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列的知识求解. 【详解】题意相当于从4个不同元素中选取2个的排列，方法数为. 3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】列出列联表，计算即可得解. 【详解】列出列联表： 男生 女生 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 150 50 200 ， 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：D 4. 已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 5. 一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举出事件和事件的基本事件个数，利用条件概率公式即可求解. 【详解】事件为“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，所有满足条件的基本事件为：共个. 事件要求“两次抽到的数字之和为偶数”，和为偶数需要两个数字同奇偶，结合的条件， 满足要求的基本事件只有共个. 因此 . 6. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程=-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得样本点，进而得到回归直线方程，再得到在回归直线右上方的点的个数，代入古典概型概率公式求解. 【详解】因为， ， 所以，即 满足的点有，共3个 所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为， 故选：C 7. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此， 所以. 故选：B 8. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 11. 的展开式中，x项的系数为________． 【答案】 20 【解析】 【分析】将原式拆分为与两部分，分别求出两部分中项的系数后求和即可. 【详解】首先将原式变形为， 根据二项式定理，的展开式通项为，其中且. 中项的系数：令，解得，代入通项得该部分项的系数为， 中项的系数：要得到项，需中对应项的次数为，令， 解得，代入通项得该部分项的系数为， 将两部分系数相加，得展开式中项的总系数为. 12. 某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【解析】 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 13. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ， ， 则. 14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 15. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先研究函数在上的单调性与最小值，再结合函数性质，分和两种情况讨论即可. 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为， 因为，当时；当时， 且时（从下方趋近于0），时， 所以，函数在上的图象大致如图： 因为等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 综上，的最小值为. 三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）有女生但人数必须少于男生； （2）女生甲一定担任语文科代表； （3）男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案； （2）从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； （3）先考虑选出男生乙的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 【小问1详解】 先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）． 【小问2详解】 先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）． 【小问3详解】 分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）． 17. 甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. （1）求甲､乙两条生产线的产量之比. （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ，数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可求解； （2） 由（1）知甲生产线产品占总量的，得，利用二项分布及期望公式求解即可； 【小问1详解】 设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一产品是合格品”， 则，． 由，得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． 【小问2详解】 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 . 18. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）结合应用条件概率公式及全概率公式计算求解； （3）根据对立事件概率及条件概率公式计算求解. 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， 【小问3详解】 由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出斜率即可求出方程； （2）根据得出，进而求出，再检验时成立即可. 【小问1详解】 当时，，则， 则， 又，则曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 令， 因为，且对任意都有恒成立， 则对任意都有恒成立，则， 因为， 所以，得， 令， 则， 因为开口朝下，对称轴为， 所以在上的最大值为， 故在上恒成立，则在上单调递减， 则，则在上单调递减， 则对任意都有恒成立， 故实数的取值范围是. 20. 设函数. （1）若有两个极值点，求的取值范围. （2）若有极大值，证明：. （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：当时，单调递增，， 所以，所以单调递减，单调递增， 所以有极小值，无极大值； 当时，单调递增，无极值； 当时，由（1）可知，时，有两个极值点，其中极大值点满足，， ， 令，，， 在上单调递增， 则，即，故． （3） 证明：因为， 所以，，两边同时取自然对数得： ，， 两式相减得：，即， 要证，即，只需证明， 即， 令，只需证明①，构造函数（）， 求导得， 所以函数在上单调递增， 所以，故不等式①成立， 所以原不等式成立，命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导，把极值点问题转化为方程根问题，构造新函数并求导，利用函数单调性结合交点情况构造不等式求解； （2）对进行分情况讨论，结合导数分析单调性求极大值，进而证明结论； （3）根据已知条件转化证明结论，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 ，令， 已知函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根， 当时，方程，即不是方程的根， 所以原方程有两个不相等的根，可转化为有两个不相等的根， 不妨令（），则， 所以在，上单调递减；在上单调递增， 当，，且当时，； 方程有两个不相等的根， （）的图象与直线有两个不同的交点， 所以只需满足，即，故的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第二耀华中学2025-2026学年度第二学期期中检测 高二年级数学学科试卷 第I卷（选择题共45分） 一､选择题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 4. 已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 5. 一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程=-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 11. 的展开式中，x项的系数为________． 12. 某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 13. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 15. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）有女生但人数必须少于男生； （2）女生甲一定担任语文科代表； （3）男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 17. 甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. （1）求甲､乙两条生产线的产量之比. （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 18. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数. （1）若有两个极值点，求的取值范围. （2）若有极大值，证明：. （3）若存在，使得，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $