精品解析：天津市四合庄中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

天津市四合庄中学2024-2025学年第二学期期中阶段检测 年级：高二学科：数学 本试卷共两页，试卷满分120分.考试时间100分钟. 一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 由题设有，故， 故选：C. 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分条件，必要条件的定义可得结论. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立， 所以是的必要而非充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论． 【详解】函数的导函数为， ， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，列式计算即得. 【详解】由，得. 故选：D 5. 已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是（ ） A. 甲产业收益的期望大，风险高 B. 甲产业收益的期望小，风险小 C. 乙产业收益的期望大，风险小 D. 乙产业收益的期望小，风险高 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出甲、乙产业的期望和方差，比较大小，即可判断答案. 【详解】由题意可得， ； ， ， 故, 即甲产业收益的期望大，风险高， 故选：A 6. 甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.72 B. 恰好有一人做对的概率是0.26 C. 两人都做错的概率是0.15 D. 至少有一人做对的概率是0.98 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D. 【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9， 故两人都做对的概率是 ，所以A 正确； 恰好有一人做对的概率是 ，故B正确； 两人都做错的概率是，故C错误； 至少有一人做对的概率是，故D正确， 故选：C 7. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 8. 若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果. 【详解】令， 则，令 若时， 若时， 所以可知函数在递减，在递增 所以 由对任意的实数恒成立 所以 故选：A 【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题. 9. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围. 【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点， ，求导，令，得 当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值； 作出函数图像，如图所示， 由图可知，实数的取值范围是 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二､填空题：本题6题，共分，其中12､13题答对一空得3分，两问全对得5分. 10. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，则常数项为. 故答案为：240 11. 第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 【答案】12 【解析】 【分析】结合排列和组合数直接求解即可． 【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作， 则有不同的选派方案． 故答案为：12． 12. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”， 则，， 故， 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为， 故答案为：；. 13. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望公式计算即得第一空；利用对立事件的概率公式，计算求解易得. 【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则, 因“至少有1人击中目标”对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为. 故答案为：2；. 14. 函数在区间上的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得单调区间，由此求得在区间上的最大值. 【详解】因为，当时，； 当时，． 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值． 故答案： 15. 已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由的图象得到函数的单调区间，从而可得和的解集，进而求出的解集. 【详解】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减， 所以的解集为，的解集为， 由得或， 所以的解集为， 故答案为： 【点睛】此题考查函数图象与其导数间的关系，属于基础题. 四､解答题：本题共4小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，集合，求： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合，利用交集的意义即可求解； （2）利用补集的意义与并集的意求解即可； （3）利用并集和补集的意义求解即可. 【小问1详解】 解不等式，得或， 所以； 由，得，解得，； 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以； 【小问3详解】 ， ，  ，. 17. 甲､乙两同学进行一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一人先胜三局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲以的局分获胜的概率； （2）设表示比赛结束时进行的局数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率； （2）由题意得的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数的分布列及数学期望. 【小问1详解】 若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜， 概率为：． 【小问2详解】 由题意得的所有可能取值为3，4，5，则 打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则， 打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜， 则， 打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以， ． 所以的分布列为 3 4 5 所以的数学期望． 18. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 19. 已知函数，. （1）求的单调区间. （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据导函数的正负判断单调性； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ， 令，则，令，则， 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 【小问2详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立， 即在上恒成立，因此，， 设，， ，则在上单调递增， 于是，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市四合庄中学2024-2025学年第二学期期中阶段检测 年级：高二学科：数学 本试卷共两页，试卷满分120分.考试时间100分钟. 一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知函数导函数为，若，则函数的图像可能是 A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 5. 已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 03 0.4 03 则下列说法正确的是（ ） A. 甲产业收益的期望大，风险高 B. 甲产业收益的期望小，风险小 C. 乙产业收益的期望大，风险小 D. 乙产业收益的期望小，风险高 6. 甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.72 B. 恰好有一人做对的概率是0.26 C. 两人都做错的概率是0.15 D. 至少有一人做对的概率是0.98 7. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 8. 若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题6题，共分，其中12､13题答对一空得3分，两问全对得5分. 10. 二项式的展开式中的常数项为______． 11. 第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 12. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 13. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 14. 函数在区间上最大值为________． 15. 已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 四､解答题：本题共4小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，集合，求： （1）； （2）； （3） 17. 甲､乙两同学进行一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一人先胜三局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲以的局分获胜的概率； （2）设表示比赛结束时进行的局数，求的分布列及数学期望. 18. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 19. 已知函数，. （1）求的单调区间. （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$