7 分段计费问题（小数乘法）（导学案）新五年级数学暑假自学课（北京版·新教材）

7 分段计费问题（小数乘法） 编者的话 亲爱的同学们，欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅！在日常生活中，你是否注意过出租车计价器上的数字是如何跳动的？或者家里缴纳的水电费账单为何有时高有时低？这些背后都隐藏着一个有趣的数学模型——“分段计费”。本节课我们将结合五年级上册“小数乘法”的知识，揭开分段计费的神秘面纱。通过本导学案，你不仅能掌握解决此类问题的通用方法，还能学会用数学眼光观察生活，提升逻辑思维与解决实际问题的能力。请准备好纸笔，跟随我们的步骤，一步步攻克这个实用又充满挑战的知识点吧！相信通过今天的自学，你一定能成为生活中的“精算小能手”。 学习目标 1.理解“分段计费”的含义，能识别生活中常见的分段计费场景（如出租车、阶梯电价等）。 2.掌握分段计费的计算方法：先分段，后求和。能正确列出算式并运用小数乘法进行计算。 3.培养分析问题的能力，能绘制简单的示意图或表格来辅助解题，提高解题准确率。 知识要点 知识点一、什么是分段计费？ 分段计费是指根据数量（如里程、用电量、用水量等）的不同区间，按照不同的标准进行收费的方式。 (1)特点：不同区间的单价不同。通常分为“基础段”（起步价或第一阶梯）和“超出段”（超过部分按新单价计算）。 (2)常见场景：出租车车费、阶梯水价/电价、邮政资费等。 知识点二、解题核心思路：分段计算，最后求和 解决分段计费问题，关键在于“切分”。不要试图用一个统一的单价去乘总数量，而要将总数量拆分成符合不同收费标准的几部分。 步骤详解： 1.找临界点：确定分段的界限是多少（例如：出租车3千米以内，超过3千米的部分）。 2.分步计算： (1)第一段（基础段）：直接使用该段的固定费用或单价×数量。 (2)第二段（超出段）：先计算超出的数量（总数量 - 临界点），再乘以超出部分的单价。 (3)(若有更多段，依此类推) 3.求和汇总：将各段的费用相加，得到总费用。 知识点三、典型模型解析（以出租车为例） 假设某地出租车收费标准如下： (1)3千米以内（含3千米）：起步价13元。 (2)超过3千米的部分：每千米2.3元（不足1千米按1千米计算）。 案例：小明乘坐出租车行驶了8.5千米，应付车费多少元？ 分析过程： 1.分段：以3千米为界。 (1)前3千米：属于起步价范围。 (2)后5.5千米（8.5 - 3 = 5.5）：属于超出部分。 2.计算各段费用： (1)前3千米费用：13元。 (2)超出部分费用： 元。 3.列式计算： 易错点提示： (1)千万不要直接用 或 。 (2)计算超出部分时，务必先用减法求出“超出的量”，再乘单价。 (3)注意小数乘法的小数点位置，计算后要检查合理性。 自我评量 一、选择题 1.某市出租车起步价为10元（3千米以内），超过3千米后每千米收费2.5元。小红坐了6千米，她应该付车费（ ）元。 A. 15 B. 17.5 C. 25 D. 12.5 【答案】B 【详解】前3千米费用为10元；超出部分里程为 （千米）；超出部分费用为 （元）；总费用为 （元）。故选B。 2.某停车场收费标准：2小时内（含2小时）收费5元，超过2小时的部分，每小时收费3元（不足1小时按1小时计，此处假设刚好整小时以便计算小数乘法逻辑，若题目为2.5小时则需具体看规则，本题设定为精确计算）。若停车4.5小时，且规定超过部分按实际小时数的小数乘法计算（简化模型），则超过部分的费用算式是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】分段计费的关键是先求出超出基准的时间。总时间4.5小时，基准2小时，超出时间为 小时。超出部分单价为3元/小时，故超出部分费用算式为 。故选B。 3.某地居民用电实行阶梯电价，第一档电价为0.5元/度，第二档电价为0.6元/度。小明家上月用电200度，其中150度在第一档，50度在第二档。下列算式能正确计算总电费的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】总电费等于第一档电费加上第二档电费。第一档150度，单价0.5元，费用 ；第二档50度，单价0.6元，费用 。两者相加即为总费用。故选C。 4.在解决分段计费问题时，第一步最重要的是（ ）。 A. 直接相乘 B. 确定分段的临界点和各段标准 C. 估算结果 D. 询问他人 【答案】B 【详解】解决分段计费问题的核心在于“分段”，因此首先要明确哪里是分界点，每一段怎么收费，才能正确列式。故选B。 二、判断题 5.计算分段计费问题时，可以用总数量直接乘以最高单价，这样更简便。（ ） 【答案】× 【详解】错误。不同段落的单价不同，必须分段计算后求和，直接乘最高单价会导致结果偏大，不符合实际收费规则。 6.出租车行驶里程为4.2千米，起步价涵盖3千米。计算超出部分费用时，应用的里程数是1.2千米。（ ） 【答案】√ 【详解】正确。超出部分里程 = 总里程 - 起步里程 = （千米）。 7.某水费标准：10吨以内每吨2元，超过10吨每吨3元。若用水12吨，总水费为 元。（ ） 【答案】× 【详解】错误。前10吨应按2元/吨计算，后2吨按3元/吨计算。正确算式为 元。 8.分段计费问题中，各段的费用之和一定等于总费用。（ ） 【答案】√ 【详解】正确。这是分段计费的基本原理，总费用由各段费用累加而成。 三、填空题 9.某快递公司对省内包裹收费：1千克以内（含1千克）收费10元，超过1千克的部分，每千克收费5元。如果一个包裹重3.5千克，那么超过1千克的部分重（ ）千克，这部分的费用是（ ）元，总运费是（ ）元。 【答案】2.5；12.5；22.5 【详解】超出重量： （千克）；超出部分费用： （元）；总费用： （元）。 10.某市出租车收费标准：3公里及以内10元；超过3公里部分，每公里2.5元（不足1公里按1公里计算）。小明乘出租车行驶了8.2公里，需要付( )元。 【答案】25 【分析】把8.2公里看作9公里来算，先用（9－3）求出超出3公里的部分，已知每超出1公里单价是2.5元，根据单价×数量＝总价，用（9－3）×2.5即可求出超出3公里部分的费用，再加上3公里所花的10元即可求出总共需要付的费用。 【详解】10＋（9－3）×2.5 ＝10＋6×2.5 ＝10＋15 ＝25（元） 小明乘出租车行驶了8.2公里，需要付25元。 11.五（1）班48名师生一起拍照合影，拍照一次付14.5元（送5张照片），加印一张另付1.5元。如果每人都要一张照片，一共应付( )元。 【答案】79 【分析】用48－5，求出需要加印照片的数量；总价＝单价×数量，求出加印照片的钱数，再加14.5元，即可。 【详解】（48－5）×1.5＋14.5 ＝43×1.5＋14.5 ＝64.5＋14.5 ＝79（元） 四、解答题 12.某市自来水公司采取分段计费方式收取水费：每月用水量在15吨以内（含15吨）的部分，每吨收费2.8元；超过15吨的部分，每吨收费3.5元。 （1）小明家上个月用水12吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月用水20吨，应缴水费多少元？ 【答案】（1）33.6元 （2）59.5元 【详解】 （1）因为12吨 < 15吨，所以全部按第一阶梯收费。 答：应缴水费33.6元。 （2）因为20吨 > 15吨，所以需要分段计算。 第一段（15吨以内）： 第二段（超过15吨的部分）： 超出部分费用： 总费用： 答：应缴水费59.5元。 13.某照相馆拍摄合影，定价如下：拍一次合影（含3张照片）收费25.5元，如果需要加印，每张加收1.8元。五年级一班有45名师生，如果每人想要一张照片，一共需要付多少钱？ 【答案】101.1元 【详解】 需加印张数： 加印费用： 总费用： 答：一共需要付101.1元。 14.一个停车场规定：2小时内收5元，超过2小时的部分，每小时收1.5元（不足1小时按1小时计算）。爸爸的车在这个停车场停了5.5小时，爸爸应付多少钱？ 【答案】 11元 【分析】停车场收费分为两部分：2小时内的基础费用和超过2小时的超时费用。先计算超过2小时的时间，根据“不足1小时按1小时计算”的规则，将超时时间向上取整为整数小时，根据公式：单价×数量＝总价。计算超时费用，最后加上基础费用即可。 【详解】（小时） 3.5小时按4小时计算 （元） 答：爸爸应付11元。 15.为帮助村民销售山货，快递公司推出助农优惠：每单快递费立减6元。李伯伯要寄送5千克核桃和2.5千克板栗到外省，准备合并打包后寄送，快递公司收费标准如下。李伯伯应付快递费多少元？ 快递跨省收费标准 ①1千克以内（包括1千克）收费11元。 ②超过1千克的部分，每千克收费4.4元。（不足1千克按1千克计算） 【答案】35.8 元 【分析】先求出核桃和板栗的总质量，减去首重1千克得到超出部分的质量。根据收费标准中“不足 1千克按1千克计算”的规则，将超出部分的质量向上取整，根据“单价×数量＝总价”求出超出部分的费用，再用首重费用加上超出部分的费用求出原快递费，最后再减去优惠的6元，即为应付快递费。 【详解】5＋2.5＝7.5（千克） 7.5－1＝6.5（千克） 6.5千克按7千克计算。 7×4.4＝30.8（元） 11＋30.8－6 ＝41.8－6 ＝35.8（元） 答：李伯伯应付快递费35.8元。 16.自来水公司为鼓励节约用水，采取分段计费的方式，王奶奶家上个月用水22吨，需要缴纳水费多少元？ 计费方式：（1）家庭月用水量在15吨以内（含15吨），每吨2.8元； （2）超过15吨的部分，每吨3.5元。 【答案】66.5元 【分析】王奶奶家上个月用水22吨，22吨＞15吨，分两段收费： 第一段，用水量15吨，单价2.8元； 第二段：超过15吨的用水量为（22－15）吨，单价3.5元； 根据“单价×数量＝总价”求出两段的费用，再相加，就是需要缴纳的水费。 【详解】15×2.8＋（22－15）×3.5 ＝15×2.8＋7×3.5 ＝42＋24.5 ＝66.5（元） 答：需要缴纳水费66.5元。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7 分段计费问题（小数乘法） 编者的话 亲爱的同学们，欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅！在日常生活中，你是否注意过出租车计价器上的数字是如何跳动的？或者家里缴纳的水电费账单为何有时高有时低？这些背后都隐藏着一个有趣的数学模型——“分段计费”。本节课我们将结合五年级上册“小数乘法”的知识，揭开分段计费的神秘面纱。通过本导学案，你不仅能掌握解决此类问题的通用方法，还能学会用数学眼光观察生活，提升逻辑思维与解决实际问题的能力。请准备好纸笔，跟随我们的步骤，一步步攻克这个实用又充满挑战的知识点吧！相信通过今天的自学，你一定能成为生活中的“精算小能手”。 学习目标 1.理解“分段计费”的含义，能识别生活中常见的分段计费场景（如出租车、阶梯电价等）。 2.掌握分段计费的计算方法：先分段，后求和。能正确列出算式并运用小数乘法进行计算。 3.培养分析问题的能力，能绘制简单的示意图或表格来辅助解题，提高解题准确率。 知识要点 知识点一、什么是分段计费？ 分段计费是指根据数量（如里程、用电量、用水量等）的不同区间，按照不同的标准进行收费的方式。 (1)特点：不同区间的单价不同。通常分为“基础段”（起步价或第一阶梯）和“超出段”（超过部分按新单价计算）。 (2)常见场景：出租车车费、阶梯水价/电价、邮政资费等。 知识点二、解题核心思路：分段计算，最后求和 解决分段计费问题，关键在于“切分”。不要试图用一个统一的单价去乘总数量，而要将总数量拆分成符合不同收费标准的几部分。 步骤详解： 1.找临界点：确定分段的界限是多少（例如：出租车3千米以内，超过3千米的部分）。 2.分步计算： (1)第一段（基础段）：直接使用该段的固定费用或单价×数量。 (2)第二段（超出段）：先计算超出的数量（总数量 - 临界点），再乘以超出部分的单价。 (3)(若有更多段，依此类推) 3.求和汇总：将各段的费用相加，得到总费用。 知识点三、典型模型解析（以出租车为例） 假设某地出租车收费标准如下： (1)3千米以内（含3千米）：起步价13元。 (2)超过3千米的部分：每千米2.3元（不足1千米按1千米计算）。 案例：小明乘坐出租车行驶了8.5千米，应付车费多少元？ 分析过程： 1.分段：以3千米为界。 (1)前3千米：属于起步价范围。 (2)后5.5千米（8.5 - 3 = 5.5）：属于超出部分。 2.计算各段费用： (1)前3千米费用：13元。 (2)超出部分费用： 元。 3.列式计算： 易错点提示： (1)千万不要直接用 或 。 (2)计算超出部分时，务必先用减法求出“超出的量”，再乘单价。 (3)注意小数乘法的小数点位置，计算后要检查合理性。 自我评量 一、选择题 1.某市出租车起步价为10元（3千米以内），超过3千米后每千米收费2.5元。小红坐了6千米，她应该付车费（ ）元。 A. 15 B. 17.5 C. 25 D. 12.5 2.某停车场收费标准：2小时内（含2小时）收费5元，超过2小时的部分，每小时收费3元（不足1小时按1小时计，此处假设刚好整小时以便计算小数乘法逻辑，若题目为2.5小时则需具体看规则，本题设定为精确计算）。若停车4.5小时，且规定超过部分按实际小时数的小数乘法计算（简化模型），则超过部分的费用算式是（ ）。 A. B. C. D. 3.某地居民用电实行阶梯电价，第一档电价为0.5元/度，第二档电价为0.6元/度。小明家上月用电200度，其中150度在第一档，50度在第二档。下列算式能正确计算总电费的是（ ）。 A. B. C. D. 4.在解决分段计费问题时，第一步最重要的是（ ）。 A. 直接相乘 B. 确定分段的临界点和各段标准 C. 估算结果 D. 询问他人 二、判断题 5.计算分段计费问题时，可以用总数量直接乘以最高单价，这样更简便。（ ） 6.出租车行驶里程为4.2千米，起步价涵盖3千米。计算超出部分费用时，应用的里程数是1.2千米。（ ） 7.某水费标准：10吨以内每吨2元，超过10吨每吨3元。若用水12吨，总水费为 元。（ ） 8.分段计费问题中，各段的费用之和一定等于总费用。（ ） 三、填空题 9.某快递公司对省内包裹收费：1千克以内（含1千克）收费10元，超过1千克的部分，每千克收费5元。如果一个包裹重3.5千克，那么超过1千克的部分重（ ）千克，这部分的费用是（ ）元，总运费是（ ）元。 10.某市出租车收费标准：3公里及以内10元；超过3公里部分，每公里2.5元（不足1公里按1公里计算）。小明乘出租车行驶了8.2公里，需要付( )元。 11.五（1）班48名师生一起拍照合影，拍照一次付14.5元（送5张照片），加印一张另付1.5元。如果每人都要一张照片，一共应付( )元。 四、解答题 12.某市自来水公司采取分段计费方式收取水费：每月用水量在15吨以内（含15吨）的部分，每吨收费2.8元；超过15吨的部分，每吨收费3.5元。 （1）小明家上个月用水12吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月用水20吨，应缴水费多少元？ 13.某照相馆拍摄合影，定价如下：拍一次合影（含3张照片）收费25.5元，如果需要加印，每张加收1.8元。五年级一班有45名师生，如果每人想要一张照片，一共需要付多少钱？ 14.一个停车场规定：2小时内收5元，超过2小时的部分，每小时收1.5元（不足1小时按1小时计算）。爸爸的车在这个停车场停了5.5小时，爸爸应付多少钱？ 15.为帮助村民销售山货，快递公司推出助农优惠：每单快递费立减6元。李伯伯要寄送5千克核桃和2.5千克板栗到外省，准备合并打包后寄送，快递公司收费标准如下。李伯伯应付快递费多少元？ 快递跨省收费标准 ①1千克以内（包括1千克）收费11元。 ②超过1千克的部分，每千克收费4.4元。（不足1千克按1千克计算） 16.自来水公司为鼓励节约用水，采取分段计费的方式，王奶奶家上个月用水22吨，需要缴纳水费多少元？ 计费方式：（1）家庭月用水量在15吨以内（含15吨），每吨2.8元； （2）超过15吨的部分，每吨3.5元。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $