特殊四边形中的折叠问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦特殊四边形折叠与旋转问题，以分层例题+变式构建知识网络，强化空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形中的折叠问题|3例+3变式|矩形/菱形/正方形折叠形成叠合图形、探究位置关系及长度计算|以折叠性质（轴对称、全等）为核心，结合勾股定理与方程思想，构建"性质应用-关系探究-计算推理"逻辑链| |特殊四边形中的旋转问题|3例+3变式|矩形/平行四边形/正方形旋转后线段关系、角度计算及图形判定|以旋转性质（对应边/角相等）为基础，关联特殊四边形性质与全等/相似三角形，形成"旋转不变性-图形转化-综合论证"思维路径|

特殊四边形中的折叠问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 特殊四边形中的折叠问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的折叠问题 特殊四边形中的旋转问题 考点一 特殊四边形中的折叠问题 例1．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 例2．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 例3．（2026·江苏无锡·三模）数学实验 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法：AI①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法：①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． 【探究】 (1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为 （填“”或“”）； (2)在图2中，结合淇淇的方法，请你作出折痕（草图即可），连接、，直接判断四边形的形状？ ；（填写四边形形状） 【拓展】 在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． (3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点M的对应点M′能否落在边上？______（填写“是”或“否”）； (4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点M的对应点M′始终落在边上，点Q的对应点为Q′，折痕与边分别交于两点．当时，直接写出的长． 变式1．（2026·山东临沂·二模）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽，，点M为边上一动点． 动手实践： (1)如图1，腾飞小组将矩形纸片先沿着所在的直线对折一次，使点A与点D重合，点B与点C重合．展开后接着再沿着所在的直线对折再对折一次，使点A和点E重合，点B和点F重合． ①此时四边形是　　　形． ②如图2，将沿着所在的直线折叠后得，若点N恰好落在上，则　　　． ③如图3，若继续折叠，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为，若点恰好落在上，求的长． (2)如图4，永攀小组将纸片沿所在的直线折叠，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，若，请直接写出的长． 变式2．（2026·河南·二模）【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． (2)【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 变式3．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 考点二 特殊四边形中的旋转问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 (1)如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 (2)如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 (3)若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 例2．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3)探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 例3．（2026·山东济南·二模）【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图1摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点顺时针旋转． (1)小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________； (2)【类比探究】 连接、，延长交所在直线于点，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段与线段的比值及的度数也是固定的．如图2，当正方形 旋转至正方形外侧且、、三点共线时． ①求线段与线段的比值及的度数； ②如图3，连接交于点，交于点，当，时，求的长． 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点．作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．    (1)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化． ①猜想和的关系为 ，证明你得到的结论； ②猜想 ；（填图中线段） (2)若，，（1）的旋转过程中，的取值范围为 ；当时， ． 变式2．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，． (1)如图1，当时，求证：； (2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数； (3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小； (4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围． 变式3．（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $特殊四边形中的折叠问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 特殊四边形中的折叠问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的折叠问题 特殊四边形中的旋转问题 考点一 特殊四边形中的折叠问题 例1．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 例2．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 例3．（2026·江苏无锡·三模）数学实验 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法：AI①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法：①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． 【探究】 (1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为 （填“”或“”）； (2)在图2中，结合淇淇的方法，请你作出折痕（草图即可），连接、，直接判断四边形的形状？ ；（填写四边形形状） 【拓展】 在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． (3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点M的对应点M′能否落在边上？______（填写“是”或“否”）； (4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点M的对应点M′始终落在边上，点Q的对应点为Q′，折痕与边分别交于两点．当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，菱形 (3)是 (4)或 【分析】（1）利用折叠对应线段相等，再比较线段大小； （2）连接和，交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接和，先证，再利用一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，利用对角线垂直的平行四边形是菱形即可得证； （3）构造菱形，根据菱形的性质可得点和点关于对称； （4）分两种情况：点在的右边，点在的左边，分别画出图形，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∵点A′在线段上， ∴，即， ∴较长边为； （2）证明：由折叠的性质可得：， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：在边上取，连接和，交于点，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴将四边形纸片沿对角线折叠，点M的对应点M′落在边上的点处； （4）分两种情况： 当点在的右边时，设与交于点，如图所示， 由折叠可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， 当点在的左边时，设与交于点，如图所示， 在中，， 设 ，则 ， 由折叠可得， ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 综上可得，的长为或 变式1．（2026·山东临沂·二模）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽，，点M为边上一动点． 动手实践： (1)如图1，腾飞小组将矩形纸片先沿着所在的直线对折一次，使点A与点D重合，点B与点C重合．展开后接着再沿着所在的直线对折再对折一次，使点A和点E重合，点B和点F重合． ①此时四边形是　　　形． ②如图2，将沿着所在的直线折叠后得，若点N恰好落在上，则　　　． ③如图3，若继续折叠，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为，若点恰好落在上，求的长． (2)如图4，永攀小组将纸片沿所在的直线折叠，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，若，请直接写出的长． 【答案】(1)①正方；②；③ (2) 【分析】（1）①由折叠得四边形是矩形，根据邻边相等可得四边形是正方形；②由折叠得，利用勾股定理解即可；③根据折叠的性质，正方形的性质，证明，通过推导得出．再用勾股定理解求出，再根据中位线的性质求出，最后根据即可求解； （2）过点P作于G，于H，延长，交于L，得矩形，根据三角函数解和，设，，，根据列等式，即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形，折叠后点A与点D重合， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形； ②由折叠得，，， ； ③由折叠得：四边形是正方形，，，，，， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴． 设，则 ， ∴ ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴ ， 由题意知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； （2）解：． 如图，过点P作于G，于H， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠得：，， 在中，，， ， ， ， 延长，交于L， 中，，， ， ，， ， 设，，， ， ， ， ． 变式2．（2026·河南·二模）【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． (2)【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理算出，再通过“一线三垂直”证明，用相似比求出，进而得到，最后以为底、为高，用三角形面积公式计算结果； （2）分两种情况讨论点的位置：①在上方三等分线上；②在下方三等分线上．每种情况均先利用勾股定理算出水平距离，再通过“一线三垂直”证三角形相似，求出，进而得到，最后以为底、到底边的垂直距离为高，计算面积； （3）先利用菱形性质判定为等边三角形，再分两种情况讨论点作为三等分点的位置：①靠近，②靠近，每种情况均通过折叠性质证，列方程求出，再用三角函数求出到底边的高，最后用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：如图1，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵， ∴， ，点是的中点， ， 根据题意可知，， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ， ，，解得， ， ， 又， 的面积为． （2）解：①如图2，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的面积为． ②如图3，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得， ， ， 又， 的面积为， 综上所述，的面积为或． （3）解：在菱形中，，设为，则， ， , ∴为等边三角形， ∴， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 如图4，∵点E是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， 则，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ， 如图5， ∵点I是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，，， ， ，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ． 变式3．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 考点二 特殊四边形中的旋转问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 (1)如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 (2)如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 (3)若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】(1)4，3 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； （2）解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． （3）解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 例2．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3)探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，由菱形的性质即可证得结论； （2）连接，过点D作交延长线于点G，同理可证四边形是平行四边形，然后根据可证，利用全等三角形对应角相等，结合等角对等边可得，从而证得四边形是菱形，接着在中可解直角三角形求得和，进而求得，最后在中利用勾股定理建立方程，即可求得，即可求得答案； （3）①当四边形为矩形时，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点，先根据平行四边形的性质和矩形的性质，利用勾股定理求得的和，从而求得，易知垂直平分，然后利用勾股定理在和中建立方程，求得，从而得到，进而根据角度的和差和等边对等角求得，即可解答；②当四边形为矩形时，易得，从而得到此时点和重合，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形和是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴平分； （2）解：如图2，连接，过点D作交延长线于点G， 同理可得，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：①当四边形为矩形时， 如图3所示，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即， 设，则， ∵在和中，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转了； ②如备用图所示，当四边形为矩形时， 则， ∵四边形和是平行四边形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴此时点和重合，即此时旋转了； 综上，当旋转或时，以点为顶点的四边形是矩形． 例3．（2026·山东济南·二模）【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图1摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点顺时针旋转． (1)小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________； (2)【类比探究】 连接、，延长交所在直线于点，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段与线段的比值及的度数也是固定的．如图2，当正方形 旋转至正方形外侧且、、三点共线时． ①求线段与线段的比值及的度数； ②如图3，连接交于点，交于点，当，时，求的长． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）利用正方形性质得，，，证，推出线段相等；再利用角的代换证垂直； （2）①证,得到线段比值；利用相似三角形对应角及三角形内角和求角度； ②连接，先求正方形对角线，利用相似得，用、求、，最后由勾股定理求． 【详解】（1）解： 四边形、是正方形， ，，， ， 即， 在和中： ， ， ， 延长交于，交于， 由得， ， ， ， 即． （2）解：①连接， 四边形是正方形， , ，， ， 即， 且， ， ， 设交于， ，， ， ． ②连接，如图3所示， ，正方形， ， 由①得, 即， ， ， 又， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ． 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点．作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．    (1)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化． ①猜想和的关系为 ，证明你得到的结论； ②猜想 ；（填图中线段） (2)若，，（1）的旋转过程中，的取值范围为 ；当时， ． 【答案】(1)①，，证明见解析；② (2)，或 【分析】（1）①如图②，连接，延长交于，交于．证明，再进一步可得结论；②证明，可得； （2）如图，由，在以为圆心，为半径的圆上运动，当在线段上时，最小，最小值为，如图，当在线段的延长线上时，最大，最大值为，从而可得答案；如图，当在的左边，作于，作交其延长线于，设，则，求解，可得，证明，可得，，进一步利用勾股定理可得答案；如图，当在的右边，同理可得答案； 【详解】（1）解：①，，理由如下： 如图②，连接，延长交于，交于．        在中，为斜边中点， ，， ． 四边形为正方形， ，且， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ②∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，    ∵，为中点，， ∴， 当在线段上时，最小，最小值为， 如图，当在线段的延长线上时，最大，最大值为，    ∴的取值范围为； 如图，当在的左边，作于，作交其延长线于，    ∵，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，当在的右边，    同理可得：，， ∴， ∴， 综上：当时，或 变式2．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，． (1)如图1，当时，求证：； (2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数； (3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小； (4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， (3)， (4)当或时，，当时，，当时， 【分析】（1）连接，根据题意，当时，重合，重合，由正方形的性质可得，则重合，根据正方形的性质可得垂直平分，即可得到； （2）由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，可得除图1外，当点F在延长线上时，满足，根据正方形的性质即可求出； （3）根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，结合图形可得当三点共线时，由最大值，同理可得当三点共线时，有最小值；由此即可解答； （4）由（1）（2）知，或时，；画出示意图，结合图形根据三角形大角对大边，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 当时，则重合，重合， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴， ∴重合， ∵垂直平分， ∴； （2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则， ∴当点F在延长线上时，满足， 如图： 则，即三点共线，点在延长线上， ∴； （3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动， 如图，当三点共线时，由最大值， 此时，； 同理，如图，当三点共线时，有最小值， 此时，； （4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接， ∵， ∴， ∴， 当点在下方时，即时， ∴， ∴， 如图：在中，， ∴， ∴， 同理得：； 当点在上方时，即时， 同理得：， ∴， 综上：当或时，，当时，，当时，． 变式3．（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $