2026年中考数学复习专题：矩形的折叠问题-求线段长

《矩形中的折叠问题一求线段长》参考答案 1.43 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接PF,设BC=2x, AH=BE=Q,证明Rt△PAF≌Rt△PGF(HL),求得FA=FG=FD=x,由折叠的性质求得BE=二x,在 Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解. 【详解】解：连接PF,设BC=2x,AH=BE=a, ◇ B 由矩形的性质和折叠的性质知FG=FD,∠G=∠FAP=90°，AB=CD=3,AD=BC, PA=PG,PF=PF, :.Rt△PAF≌Rt△PGF(HL), FA=FG=FD=1AD=IBC=x, 2 2 由矩形的性质知：AD∥BC .∠AFE=∠FEC, 折叠的性质知：∠FEA=∠FEC, .∠FEA=∠AFE, .AE=FA=x, 由折叠的性质知EC=EH=AE+AH=x+a, .BC BE EC a+x+a=2x, 1 a=2,即BE=2, 在R△488中，48+8E=4E,郎3+=， 解得x=2V5, .BC=2x=4V3, 故答案为：4V5 29 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质得出BC=AD,AB=CD, D=90,设BC=AD=,AB=CD=r,则矩形的面积为AB:BC=9,结合题意求出AE得 1 DE=y,由折叠的性质可得：DE=DE=,∠D'=∠D=0,4D'=CD=x,由勾股定理计算出 41 二)，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， .BC=AD,AB=CD,∠D=90°， 设BC=AD=y,AB=CD=x,则矩形的面积为AB·BC=y, 由图可得，四边形AFED'与矩形ABCD的重叠部分为△AEF,其面积是矩形面积的令， 3 :三AEAB=5xAE=2y, 2 8 3 .AE=三y, 41 1 DE=AD-AE=y, 4 由折叠的性质可得：DE=DE=y,∠D=∠D=90,AD'=CD=X, 4 在Rt△AED'中，由勾股定理得：AD2+D'E2=AE2, 解得：=2 1 v2 .x= 二y或x= 之y（不符合题意，舍去. ABx√ BC-V2 -21 故答案为： 2 2 3. 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程.由矩形的性 质推出CD=AB=4,∠C=90°，由线段中点定义得到CM=BC=3,由折叠的性质得到：MF=DF,设 FC=x,由勾股定理得到(4-=3+，求出x=,得到FC的值 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， CD=AB=4,∠C=90°， :M是BC中点， cw号8c-x6=3, 1 由折叠的性质得到：MF=DF, 设FC=x, .FD =4-x, .MF=4-x, MF2 MC2+FC2, (4-x)2=32+x2, 7 FC=7 8 故答案为：日 4.36 【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE-3k,在Rt△EFC中可得CF=4k,EF=DE=5k,根据∠BAF=∠EFC, 利用三角函数的知识求出AF,然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k,继而代入可得出答案， 【详解】解：：am∠EFC= 4 .设CE=3k,则CF=4k, 由勾股定理得EF=DE=5k, .DC=AB=8k, :∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC-90°， .∠BAF=∠EFC, ·tan∠BAF-tan∠EFC-3 ..BF=6k,AF=BC=AD=10k, 在Rt△AFE中由勾股定理得AE=√AF2+EF2=V125k2=5√5 解得：=1， 故矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(8k+1Ok)=36cm, 故答案为：36. 【点晴】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段 的长度，然后利用勾股定理进行解答， 5器 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质 3 AB 根据sin∠AEB=sina= ,设AB=3x,则AE=5x,可得BE=4x,然后求出AD=BC=5CE=24 即可求解. 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=BC, :∠AEB=a ∴.sin∠AEB=sina= 3 AB 5 AE 设AB=3x,则AE=5x, :BE=AE2-AB2 =4x, AE=AF, .AF=5x, BE =5CE, .CE=IBE=4x AD=BC=BE+EC-5CE+CE=5CE=24x ∴sin∠AFD=4D=24xx124 AF 5 5x 25 故答案为： 24 25 3 6.4 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定及性质，过点D作MN∥AD,分别交 AB、CD于点M、N,即可判定四边形AMND是矩形，根据折叠的性质得出∠D=∠AD'F=90°， DF=DF=1,AD=AD'=3,根据直角三角形的性质求出∠MAD'=∠FD'W,进而推出△AMD'∽△DNF,根 据相假三角形的性质得出%设DW=,则03，根据勾股定果求M6-,兼发 比例的性质求出x= ，根据勾股定理求出N手，再根据锐角三角函数定义求解即可。根据相似三角形的 3 性质求出D'N是解题的关键， 【详解】解：如图，过点D作MN∥AD,分别交AB、CD于点M、N, D M P :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°，AD=BC=3,AB=CD=2, :MN∥AD, ∴.∠AMN+∠BAD=180°，∠D+∠DNM=180°， .∠AMN=∠DNM=90°， :.四边形AMND是矩形，∠AD'M+∠MAD'=90°， .MN=AD=3, :点F为CD的中点， .DF =CF =1, :将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D, .∠D=∠AD'F=90°，DF=D'F=1,AD=AD'=3, ∴∠AD'M+∠FD'N=90°， .∠MAD'=∠FD'W, 又：∠AMN=∠DNM, .△AMD'∽△D'NF, AM AD DN FD 设D'N=x,则MD'=3-x, ·AM=VAD2-MD2=32-(3-x)2=V6x-x, :V6x-x23 1 3 x=二或x=0(舍去)， 5 即DN=3, Γ51 .tan∠CFP= CP_D'W-5-3 CF FN 44' 5 :CP=4 3 放行案为：寻 56 【分析】过点E作EG14'D'交于点G,先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应 线段的长度，证明四边形B'EGA'是矩形，得到A'B'=EG=4,B'E=A'G=1,利用勾股定理求得CG的长，从 而得到CD'的长，设DF=D'F=a,则CF=CD-DF=4-a,利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出 最终结果。 【详解】解：如图，过点E作EG⊥A'D'交于点G, A D E B 在矩形ABCD中，AB=CD=4,AD=BC=6,∠A=∠D=∠B=∠BCD=90°， BE=1, CE=BC-BE=6-1=5, 由折叠的性质可知，BE=B'E=1,DF=D'F,AB=A'B'=4,AD=A'D'=6, ∠B=∠A=∠B'=∠A'=∠D=∠D'=90°， .∠EGA'=90°， .四边形B'EGA'是矩形， .A'B'=EG=4,B'E=A'G=1, 在RtAEGC中，CG=VCE2-EG2=V52-42=3, .CD'=AD'-A'G-CG=6-1-3=2, 设DF=D'F=a,则CF=CD-DF=4-a, 在Rt△FD'C中，CF2=CD2+FD2, ：a2+22=(4-a)2,解得a=2 3 CF=CD-DF=4-3=5 22’ 在RtAFCE中，EF=VCF'+CE_55 2 8.2 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角 三角形容红民，推导出行8作一专是题的关建 设DE=m,因为四边形ABCD是正方形，点E是边AD的中点，所以AE=DE=m,AB=CD=AD=2m, 由翻折得∠B'EF=∠BCF=90°，EF=CF=2m-DF,可证明∠AEP=∠DFE,由勾股定理得 m2+DF2=(2m-DF)2, P 求得DF=3m,则 4 E =m乙ABP=m∠DrE-BS求得Pm 32·如PB—天2，F以。 =2,于 PB 是得到问题的答案. 【详解】解：由题意可得如图所示： B 设DE=m, :四边形ABCD是正方形，点E是边AD的中点， .∠A=∠BCD=∠D=90°，AE=DE=m,AB=CD=AD=2m, 由翻折得∠B'EF=∠BCF=90°，EF=CF=2m-DF, ∴.∠AEP=∠DFE=90°-∠DEF, DE2+DF2=EF2, m2+DF2=(2m-DF)2, 3 .DF= 4m, ：A AE =ian∠AEP=tan∠DFE=DE-4 4 4 :AP=AE=m, 3 3 42 .PB=AB-AP=2m--m=-m, 3 3 4 AP -1m PB多2 m 3 故答案为：2. 9.1:4 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识并 正确作出辅助线是解题关键 证明AE=PE,从而可证明Rt△AEQ2 RtAPEO(HL),设AQ=PQ=x,正方形的边长设为2a,在△CDQ中 利用勾股定理建立方程，解得x=,进而可求出结论。 【详解】解：如图，连接EO, B :在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点， :AE BE. 由折叠性质可得BE=PE, .AE PE, 由折叠可得∠EPC=90°=∠EPQ=∠EAQ, .RtAAEO≌RtPEOHL. ..AO=PO, 设AQ=PQ=x,正方形的边长设为2a, ..OD=2a-x,Co=2a+x,CD=2a, .由勾股定理可得：(2a-x)+(2a=(2a+x), 解得：x=三a, 2 x=二CD, 由折叠性质可得BC=PC=CD, :OP=PC,即QP:PC=l:4 4 故答案为：1：4. o月 【分析】首先求出BE=CE=BC=2,推出tan∠AGH=tan∠CDE= 2 2设AH=x,则4G=2x, HD=AD-AH=4-x,表示出GB=AB-AG=4-2x,如图，连接GE,证明出RtAGBE≌RtGFE(HL),得 到GF=GB=4-2x,表示出DK=DG-GK=8-2x-2x=8-4x,然后利用勾股定理求解. 【详解】解：：正方形纸片ABCD的边长为4， .AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠B=∠C=90 :点E是边BC的中点 BE-CE-RC-2 CE 2 1 tan ZCDE=CD= :AB∥CD .LAGD=∠CDG ZAGH -ZDGH-2AGD:ZGDE-ZCDE ∴∠AGH=∠HGD=∠EDG=LCDE tan∠AGH=tan∠CDE=J 2 设AH=x,则AG=2x,HD=AD-AH=4-x, 由折叠得，FE=CE=2,DF=CD=4,GK=AG=2x,HK=AH=x .GB=AB-AG=4-2x 如图，连接GE H D B E 由折叠得，∠EFD=∠C=90° ∠EFG=LB=90° BE=EF=2,GE=GE :.RtAGBE≌RtGFE(HL ..GF=GB=4-2x GD=GF+FD=4-2x+4=8-2x ..DK =DG-GK=8-2x-2x=8-4x 由折叠得，∠HKG=∠A=90° .在RtDHK中，HK2+DK2=DH2 x2+(8-4x)2=(4-x2 解得=2或 当x=2时，HD=4-x=2=HK,不符合题意，舍去； =3 2 :服=号 11.213-6/-6+213 【分析】延长AB、GH交于点O,连接OF、OD、GD,通过矩形的性质可证△OAE∽△OBF,结合 2AE=3BF可解得OB=4、0A=6,在Rt△0AD中，利用勾股定理求得0D=VOA2+AD2=2V3,在 △OGD中，由三边关系即可求解. 【详解】解：如图，延长AB、GH交于点O,连接OF、OD、GD, 0 H B A 由沿EF翻折，可知直线EF经过点O, :四边形ABCD是矩形， .BC∥AD,∠A=∠ABC=∠0BC=90°， :△0AE∽△OBF, 2AE =3BF, AE 3 OA BF 2 OB OB+AB 3 OB 2 :AB=2, :解得：0B=4, .0A=0B+AB=6, ·在Rt△0AD中，0D=V0A2+AD2=V62+42=213, :四边形ABFE沿直线EF翻折，得到四边形GHFE, .BF=FH,∠ABC=∠GHF=90°，HG=AB=2, .∠0BF=∠OHF=90°， :0F=0F, .RtaOBF≌Rt△OHF(HL), .0H=0B=4, .0G=0H+HG=6, :在△0GD中，GD≥0D-0G=2V13-6, :当点0、G、D三点共线时，GD取得最小值，为213-6. 故答案为：2√13-6. 【点晴】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边 关系，理解题意、正确添加辅助线是解题关键 12.√10-√2/-√2+10 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，说明CD=DE是解题的关键。 根据折叠和平行线的性质说明CD=DE,设BE=EF=x,则AB=CD=x+2√，再根据△AEF∽△CDF,得 EF,代入解方程可得答案 DC DF 【详解】解：：把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， .BE EF,ZBEC ZFEC, :CD∥AB, .∠DCE=LCEB, :ZDCE ZDEC, .CD=DE 设BE=EF=x,则AB=CD=x+22, .DE=x+2V2, DF=22, :AB‖CD, .△AEF∽aCDF, DC DF AE EF' :+222W2 2V2 .x0, x=√0-√2， BE=10-√2， 故答案为：√0-√2 13(5》 【分析】根据题意可得OC=4,BC=3,∠OCB=90°，勾股定理求出0B=5,根据折叠得 BE=BC=3,∠BED=∠OCB=∠OED=90°，从而得OE=5-3=2, tan∠BOc= BC 3 0C4’ 专cOs∠BOC三OC-4,在△OED中，解直角三角形求出OD=),在△ODF中，解直角 字角形求出FD=发，即可解答 【详解】解：根据题意可得OC=4,BC=3,∠OCB=90°， .0B=V42+32=5, 根据折叠得BE=BC=3,∠BED=∠OCB=∠OED=90°， 0E=5-3=2, 0C4cos∠B0C=0C、4 :tan∠BOC=BC3 OB-51 在.05ED中，cos∠E0D-8%-=cs∠B0c OD 51 品专精：00- :DF⊥OC, :在△ODF中，an∠FOD=D=an∠B0C= OD 41 FD 3 即了4，解得：FD=15 8 》 故答案为： 515 28 【点晴】该题考查了解直角三角形，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点， 【分析】本题考查了正切函数的定义，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质.设EM=x,在RtaABM中， 由勾股定想容以-+4，根据aM智品，列式计第即可求解， 【详解】解：BC=4,E3y BE=3,CE=1, :将△ABE沿AE翻折，得到△AFE, .AF AB=2,EF=EB=3, 设EM=x, 在RtABM中，由勾股定理得AM=VBM2+AB2=Vx-3)+4, ·FM=Vx-3)2+4+2, .:∠ABM=∠F=90°， AB EF 2 3 .tan∠M= 9FM即x-3-j+4+2 解得x=3(不合题意，舍去)或x=39, 5，即EM=39 故答案为： 39 5 15.4 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的 关键；根据翻折的性质及正方形的性质可证明△AEF≌△ADF,得EF=DF,分别表示出CF，DF, MF,利用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：如图所示，连接AF, D :四边形ABCD是边长为12的正方形， B M :AD=AB=CD=BC=12,∠B=∠D=90°， :以AM为折痕将aABM翻折得△AME, BM=ME,∠B=∠AEM=90°，AB=AE, ·AB=AD=AE, :∠AEM+∠AEF=180°， ·∠AEF=90°， ·∠AEF=∠D, 又：AF=AF, :△AEF≌△ADF(HL), .EF DF, 设DF=x,CF=12-x, :M是BC的中点， :.BM=ME=MC=1BC=6, 2 ∴.MF=6+x, 在Rt△MCF中，MC2+CF2=MF2,即62+(12-x)2=(6+x)2, 解得x=4, .DF=4, 故答案为：4. 16贸74 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质， 勾股定理是解题的关键.根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM=∠D'AN,进而得出EA=AN,设 EA=AN=xcm,则EM=(12-xcm,根据勾股定理可得：AM2+ME?=AE2，列出方程求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .AB CD =10cm 由折叠可得：AM=AB=5m,AD=AD'=12cm,MN⊥AB,∠DAN=∠D'HN, 2 .四边形AMWD是矩形， .MN∥AD,MN=AD=12cm, .∠DAN=∠ANM, ∴.∠ANM=∠D'AN, .EA=EN, 设EA=EN=xcm,则EM=(12-xcm, 在Rt△AME中，根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2, 即52+(12-x2=x2, 解得：x=24 169 即EN=l6 24cm, 故答案为： 169 24 9 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定 理是解题的关键；由题意易得AB=CD=6,AD=BC=8,∠A=∠D=∠C=90°，由折叠的性质可知 AB=BF=6,∠A=∠EFB=90°=∠EFG,AE=EF=4=DE,然后可得Rt EFG≌Rt EDG(HL),设 DG=FG=x,则有BG=6+x,CG=6-x,进而根据勾股定理可建立方程进行求解. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, :.AB=CD=6,AD=BC=8,∠A=∠D=∠C=90°， :点E是AD的中点， :.AE=DE-IAD=4, 2 由折叠的性质可知：AB=BF=6,∠A=∠EFB=90°=∠EFG,AE=EF=4=DE, EG=EG, :.Rt EFG≌Rt EDG(HL), ..DG=FG, 设DG=FG=x,则有BG=6+x,CG=6-x, :在Rt△BCG中，由勾股定理得：82+(6-x)=(6+x), 8 解得：x= 3 故答案为 18.210-2 【分析】根据题意得出点F在以AD为直径的半圆O上运动，确定当点O、C、F在一条直线上时，CF的长 度最小，即CF=OC-OF,然后利用勾股定理结合图形求解即可. 【详解】解：如图所示，取AD的中点O,连接OF, 由折叠的性质可得AE⊥DD', ∠AFD=90°， 点F在以AD为直径的半圆O上运动， 当点O、C、F在一条直线上时，CF的长度最小，此时CF=0C-OF, :在矩形ABCD中，AB=6,AD=4, :OD=0F=1AD=2,CD=AB=6∠ADC=90°， 0C=V0D2+CD2=V22+62=2V10, ∴.CFa小值=OC-OF=2W10-2. 19.6√2 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，设BP=x,得到AB=4x,证明△BAM∽△CBP, 列出比例式求出PB的长，勾股定理求出PC的长即可， 【详解】解：：矩形ABCD, ∠A=∠CBP=90°，BC=AD=8, .∠BCP+∠CPB=90°， “折叠， DD 80CP. .∠CPB+∠MBP=90°， .∠BCP=∠MBP, ∴△BAM∽△CBP, AM AB BP BC AM·BC=AB·BP, :点P恰好为线段AB最靠近点B的一个四等分点，设BP=x, .AB=4x, .4×8=x…4x, ·x=2V2(负值舍去)： 在Rt△BPC中，CP=√BP2+BC2=6V2; 故答案为：62. 20.234 【分析】本题考查了中心对称、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与 性质，连接OB、OD,由题意得出△BOD、ABC是等腰直角三角形，得出OB:DB=I:√2， AB:BC=1:√2，证明△BOA∽△BDC,求出CD、AD长，最后由勾股定理计算即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OB、OD, B ,:点O为正方形BDEF的对称中心， D “△BOD是等腰直角三角形， :.OB:DB=1:2, :∠BAC=90°，AB=AC=10, ·△ABC是等腰直角三角形， AB:BC=1:√2， :∠OBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°， ∠OBA=∠CBD, .△BOAABDC, ..OA:DC=AB:BC, 0A 2,AB:BC=1:2, CD=4, :AD=AC-CD=6, :BD=AB2+AD2=234, :ED BD =234, 故答案为：2√34. 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，证明AG⊥EF,连接AH,证明点G在 线段AH上，且A,G,H三点共线，此时AH⊥EF,再证明△AEF∽△BAH,由相似三角形的性质可得结 论。 【详解】解：如图①， A E 四边形ABCD是正方形， 图① ∠DAB=∠ABC=90°，BC=AB=4, .∠DAG+LFAG=90°， :∠DAG=∠AFE, .∠AFE+∠FAG=90°， .∠AGF=90°，即AG⊥EF. 连接AH,在Rt△ABH中，AB=4,BH=BC-CH=3, AH=√AB2+BH2=5, AG+GH=5, ·点G在线段AH上，如图②，此时AH⊥EF, G B 图② .∠AGE=∠AGF-90°， ∠DAG+∠AEG=90°，∠FAG+∠AFG=90°， :∠DAG=∠AFE, .∠AEF=∠BAH, :∠EAF=LB=90°， :△AEF∽△BAH, :AE、AF BA BH F为AB的中点， .AF=2, AE 2 439 :AE=3 22.2525 33 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练 掌握折叠的性质是解题关键.设BM与EF交于点G,连接AG,先根据折叠的性质可得AM=MN,EG垂 直平分AB,BE=AE=1,∠MAG=∠MNG,再证出四边形AMWG是菱形，从而可得BG=AM=MN,然 后在RtAABM中，利用勾股定理求解即可得， 【详解】解：如图，设BM与EF交于点G,连接AG, E G N :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°， 由折叠的性质得：AM=MW,EG垂直平分AB,BE=AE=1,∠MAG=∠MNG, .EG∥AD,AB=2,AG=BG, ∴.∠DMN=∠MNG, .∠DMN=∠MAG, .AG∥MN, .四边形AMNG是平行四边形， 又：AM=MN, .四边形AMNG是菱形， ∴.AG=AM=MN, .BG AM MN 又：EG∥AD, ∴△BEG∽△BAM, BG BE 1 :BM AB2 :BG-IBM. 2 设BG=AM=MN=2xx>0),则BM=4x, 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2,即22+(2x)2=(4x)2, 解得x-5或x=-5 <0(不符合题意，舍去)， 则MN= 2V5 3 故答案为：2V5 3 23. V3+2 4 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，如图，连接AC,BD交于点 O,连接OB',过点O作OH⊥A'B'于点H.求出OH的值，可得结论，解题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识解决问题. 【详解】解：如图，连接AC,BD交于点O,过点O作OH⊥A'B'于点H, 四边形ABCD是矩形， B .∠ABC=90°，0A=0C=0B=0D, :AB=1,BC=5, AC=√AB2+BC2=V+3=2, 0A=0B=0C=0D=0B'=1, OA'=OB',OH⊥A'B', ..A'H HB', .OP =00, oH-=5P+08-PA+80-P4+Pp)= 2 :当8,0，H共线时，。B4g"的面积最大，最大值为)x1x+气=+5 2 24 故答案为： V3+2 24号 【分析】根据折叠的性质可得BF=AB=8,FE=AE=4,连接BH,设HF=x,由勾股定理得DH,BH, 从而求出x的值，得出HD,再证明△HFG∽△HDE,利用相似三角形对应边成比例可求出HG即可. 【详解】解：连接BH,如图， G H D :四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=DA=8,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， :点E为AD的中点， 1 1 .AE DE=-AD=-x8=4 2 2 由折叠得，EF=AE=4,BF=BA=8,∠BFE=∠A=90°， .∠BFH=∠HFG=90°， 设HF=x, BH2=BF2+FH2, BH2=82+x2 在RtAHED中，HE=4+x,DE=4, HE2=HD2+DE2 ·.HD=VHE2-DE2=4+x)2-42, ·CH=CD-HD=8-4+x2-42, 在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2, 82+8-V4+x)2-42=82+x2, 8 解得x=,=-8〔舍去) 、HF=3 8 ·HE=HF+EF=8+4=20 8 3 3 2 :HD= -4=16 4*3 :∠HFG=∠D=90°，∠GHF=∠EHD, ∴△HFG∽△HDE, HG HF HE HD 8 即8 33 解得HG=1 25.10 5 【分析】本题考查了正方形折叠问题，解直角三角形，勾股定理，延长EP交CD于点Q,连接BQ,交PC 于点M,证明RtAPOB≌RtACOB(HL)得出LFBM=45°，设CQ=PQ=x,在Rt△PQE中， E0=ED+D0得出CQ=PQ-,进而根据ca∠P8Q=cos∠PBM得出BM-号5，进而求得BF,表据 EF=BF-BE,即可求解. 【详解】解：如图，延长EP交CD于点Q,连接BQ,交PC于点M, M B∠ :将△ABE沿BE翻折得到△PBE,边长为3的正方形ABCD中，AE=1, BP=AB=3,∠EPB=∠A=90°，AE=EP=1, BE=√AE2+AB2=0, BC=AB=3 .BP=BC, 在Rt△PQB,Rt△CQB中， BP=BC BO=BO ∴.Rt△POB≌RtACOB(HL) PQ=QC,∠PBQ=∠CBQ, i∠FBM=∠EBP+∠MBP-∠ABP+∠PBC-=∠ABc=45, BP BC,OP=OC, BQ⊥PC, .△BMF是等腰直角三角形， .BM MF, 设CQ=PQ=x, 在Rt△PQE中，EQ2=ED2+DQ2 (1+x2=(3-12+(3-x2 解得：司 0=0- 0c+0-6 :cos∠PBQ=cos∠PBM PB BM ·BQBP 、、。D。3=0 05 BF= BM =2BM-610 c0s45° 5 EF-BF-BE-50-Vi0-V10 5 故答案为： V10 5 26.10√13 【分析】根据折叠及矩形的性质得到∠B,QF=∠CB,B,即可得到B,F=5,如图，过点Q作QH⊥PB,于点 H,得到△EHQ∽△EB,F,利用相似比得到EH,QH,从而得到BH及B2,根据等量代换得到 ∠PBB=∠PBB,=∠PCB,证明△HB,Q∽△BCP,据此求解即可. 【详解】解：由折叠可知，PC垂直平分BB, B A D .BC=B C,BP=B P, ∴∠CBB1=∠CBB,∠PBB1=∠PBB, :四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠CBB1=∠BQF, .∠BQF=∠CB,B, :OF =B F, EQ=8,QF=5, BF=5,EF=13, BE=EF2-BF2=12, 如图，过点Q作QH⊥PB,于点H, B A E B ∠PBC=90°， .QH∥BF, △EHQ∽aEB,F, EH OH EO ·EBB,FEF 即EH-48 12-5-131 96 OH-3 BH=12- 9660 1313 BO=B,H2+HO )22013 13 又：∠PBB1+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°， ∴∠PB,B=∠PBB1=∠PCB, .△HBQ∽△BCP, BC_HB 313 PC BO 13 又：BC=30, :30-33 PC 13 PC=10N13, 故答案为：103. 【点晴】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运 用这些性质进行推理是本题的关键. 2汉18 【分析】连接BG,AG,作点B关于CD的对称点R,连接RG,AR,过点A作AX∥EF,证明 ABI:BCG,得到熙-，则3BG=4EF,则3BH+4EF=34G+RG,当A、G、R共线时，4G+GR 有最小值，此时G为CD的中点，进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接BG,AG,作点B关于CD的对称点R,连接RG,AR,过点A作AX∥EF, B R-= D H 由对称性可得，BG=RG,AG=BH,BG⊥EF, :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=6, :BG⊥EF,四边形AEFX是平行四边形， BG⊥AX,AX=EF ∠AXB+∠CBG=∠AXB+∠BAX=90°， .LCBG=∠BAX :∠BCG=∠ABX=90°， △ABXn△BCG, :B=g-63 BC BG 8 4 .3BG 4EF, ..3BH +4EF =3BH +3BG=3(BH +BG=3AG+RG 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值， :此时AD=BC=CR,∠CGR=∠AGD,∠RCG=∠ADC=90°， .△CGR≌△DGA(AAS), :CG-DG--CD-3 在Rt△CGF中，设FG=BF=x,CF=8-x, 32+(8-x)2=x2, 好得得 FG的长为石， 28 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股 定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键.连接BB'交EF于O,过点F作FG⊥AD于G,根据四边形 ABFE的面积为6，得到AE+BF=3,设AE=x,利用翻折特征，得到BB⊥EF,证明△EGFO B'CB,依 次得到B'C=EG=3-2x,B'F=3-x,在Rt△FB'C利用勾股定理即可解决问题. 【详解】解：连接BB'交EF于O,过点F作FG⊥AD于G,如图所示， G D B 四边形ABCD为正方形， B :四边形ABFE是梯形， ：匹边形ABFE的面积为S影(E+BPB=6,又4B=4, :AE +BF =3, 设AE=x,则BF3x,FC=BC-BF=4-(3-x)=1+x, “AD∥BC,FG⊥AD,∠C=∠D=90°， :四边形GDCF为矩形， GD=FC=1+x, EG=AD-AE-GD=4-x-(1+x)=3-2x 四边形GDCF为矩形， :∠EFB+∠EFG=90°， :点B是点B沿着EF的翻折点， ·BB'⊥EF, ·∠B'BC+∠EFB=90°， :∠EFG=∠B'BC,又FG=CD=BC,∠EGF=∠B'CB=90°， ·△EGFO B'CB, :B'C=EG=3-2x, 在Rt△FB'C中，根据翻折特征，BF=BF=3-x,利用勾股定理得， B'F2=B'C2+FC2,即(3-x)2=(3-2x)2+1+x)2, 1 解得x=2 DE=AD-AE=4-1-7 221 1 故答案为： 29.(0,4或0, 3 【分析】先根据折叠的性质得DO=DO',∠ODE=∠O'DE,再根据矩形的性质得AB=OC=4,OA=BC=6, 然后分两种情况：当BD=DO'时，△BDO'是等腰三角形，根据勾股定理得AD2+AB2=BD2,求出解即可； 当BD=BO'时，△BDO'是等腰三角形，再作BF⊥DO',可根据等腰三角形的性质得DO'=2DF=DO,然 后根据“角角边”证明△ABD≌△FBD,可得DO'=2AD=DO,接下来求出AD=2,则答案可得. 【详解】解：根据折叠的性质得DO=DO',∠ODE=∠O'DE, .点B(4,6,且四边形OABC是矩形， .AB=OC=4,OA=BC=6. 当BD=DO'时，△BDO'是等腰三角形， .AD=0A-0D=0A-D0'=0A-BD=6-BD. 在Rt△ABD中，AD2+AB2=BD2, 即(6-BD)2+42=BD2, 解得BD= 13 即D0=13 点a0导， 当BD=BO'时，△BDO'是等腰三角形， 过点B作BF⊥DO',于点F, .D0'=2DF=D0. ∠0'DE+∠0'DB=90°， ∠0DE+∠ADB=90°， .∠ADB=∠O'DB∠BAD=∠DFB=90°，BD=BD, △ABD≌△FBD, .AD=DF, .D0'=2AD=D0, .2AD+AD=6, 解得AD=2, ∴.0D=4, .点D(0,4). 13 所以点D的坐标是(0,4)或(0，号) B E 30.4v10 5 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出 辅助线，熟练掌握相关的性质和判定，连接AF交BE于点O,过点F作MN⊥AB交DC于点M,交AB于 意从我帮句级定求出8配=V公+E:25,根器新叠得0-0F-548=所-4，限据股 定理得出-4-N2=16-BV心，求出N-号，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可。 【详解】解：如图，连接AF交BE于点O,则AF⊥BE,过点F作MN⊥AB交DC于点M,交AB于点N, M E AB∥CD,MN⊥AB, .MN⊥CD, :AB=AD=4,点E是AD中点， AE=2, BE =AB2+AE2=25, SSE=ABX AE=BE×AO 2 4×2=2V5A0, 0-4s5 面折叠性质得：A0=0F45,AB=F=车 ·4F=85 5 AF2-AN2=FN2,BF2-BN2=FN2, .AF2-AN2=BF2-BN2, 64(4-BN2=16-BN2, 5 :BN=12 ·FN=VBF2-BN=16 :MN⊥AB,MN⊥CD,∠DCB=90°， :.四边形MNBC是矩形， ·BN=MC=12 BC=MN=4, MF=4-164 55’ ·CF=VMC2+MF-4i0 5 故答案为：4v0 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的判定和性质和一元二次方程的求解，作出正 确的辅助线是解决本题的关键】 很据趣意可知CG=C8=1,GE=BE=号，∠CGE=LC8E=90,过点G作GH上AB于H,作GK1BC于 K,证明四边形BHGK为矩形，设GH=h,GK=k,在Rt△CGK和RtAGEH中，运用勾股定理求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .LCBE=90°， 庙折叠可知：CG=CB=,GE=BE3,LCGE=∠CBE=90, 过点G作GH⊥AB于H,作GK⊥BC于K. A D G M B :AB⊥BC, 四边形BHGK为矩形， 设GH=h,GK=k. 在Rt△CGK中，CG=GK2+CK2 12=k2+(1-h)2 k2+h2-2h+1=1 k2+h2=2h①， 在RtGEH中，GE2=GH2+EH )=+仔 +k2_4k+44 399 +k=长@， 联立①②得2h=4 k=3h, 2 (3h+R=2h 2 代入①中得， 2 132-2h=0 解得h=8或h=0（舍去)， 13 故答案为： 8 13 32.3v10 4 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识 的熟练掌握与灵活运用.如图，过F作FM⊥BE于M,FN⊥CD于N,由CF平分∠DCE,可知 ∠FCM=∠FCN=45°，可得四边形CMFN是正方形，FM∥AB,设FM=CM=NF=CN=a,则 ME=2-a,证明△EFMEAB,则PM-ME, BE即9子，解特DN=CD-CN由因股壶 4 理得DF=VDN2+NF_3i0 4 【详解】解：如图，过F作FM⊥BE于M,FN⊥CD于N,则四边形CMFN是矩形，FM∥AB, D :CF平分∠DCE, B C M .∠FCM=∠FCN=45°， :CM =FM :四边形CMFN是正方形， 设FM=CM=NF=CN=a,则ME=2-a, .FM∥AB, △EFM∽△EAB, 1BBE,即2a FM ME 3+2 解得：a=4’ 3 :DN-CD-CN- 9 由勾股定理得：DF=VDw'+NF_30 4 故答案为： 3V10 33.6v5 【分析】作BH⊥AG于点H,EQ⊥AG于点Q,由正方形的性质，折叠的性质，证明△FQE∽△BHF,得 到FH=3EQ,BH=3FQ,由3FQ=3EQ+FQ+EQ,得FQ=2EQ,由FE=V5EQ=2,求得 G0=E0=25,则F0=4y5,所以GF-65,于是得到间题的答案 5 5 【详解】解：作BH⊥AG于点H,EQ⊥AG于点Q,则∠BHG=∠FQE=∠EQG=90°， :四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，BC=6,CE=2, .AB=BC,∠ABC=∠C=90°， H F AI:将BEC沿BE翻折，点C落在点F处， G E B :BF=BC=6,FE=CE=2,LBFE=∠C=90°，∠FBE=∠CBE=∠CBF, :AB=BF,∠EFQ=∠FBH=90°-∠BFH, ∠HBF=∠HB1=MBF, ∠HBG=∠HBF+∠FBE=∠ABF+∠CBF)=∠ABC=45, :LG=∠HBG=45°，∠G=∠QEG=45°， :BH =GH,GO=EO, :∠FQE=∠BHF=90°，∠EFQ=∠FBH, ∴.△FQE∽△BHF, Eo-FO-FE1. FH=BH=BF=3' ∴.FH=3EQ,BH=3FQ, ..3FO=3E0+FO+EO, ..FO=2EO, .FE=FO2+E02=(2E0)2+E02=5E0=2, G0=E0=25 F0=45 GF=G0+F0=25+4565 555 34.1+5 2 【分析】由折叠性质得四边形ADFE为正方形，设AD=2a,则AF=22a,O为AF中点，则0F=√a,过 点O作OH⊥DF于点H,由等腰直角aOHF得OH=a,在RtAOHC中得CH=√3a,故AB=a+√5a,进而 即可求解 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， ∠DAE=∠D=90°，AD=BC,AB=CD, 由题意得，AD=AE,DF=EF,∠AEF=∠D=90°， ∠DFE=360°-90°-90°-90°=90°， ·四边形ADFE是正方形， .AD DF, 设AD=DF=BC=2a, 在RtADF中，AF=√AD2+DF2 =2a)2+(2a月 =2√2a, :O是AF的中点， OF=AF=2a 如图，过点O作OH⊥DF于点H, A E G B 在正方形ADFE中，LAFD=45°， :.Rt△OHF是等腰直角三角形， .OH=HF, .OH2+HF2=OF2, 0H2+0H2=0F2, 2oH2=(2a', 0H2=a2 解得OH=HF=a, 由题意得，C0=BC=2a, 在RtAOHC中，CH=VC02-0H =2a2-a2 =V5a, CD=DH+CH,DH=DF-HF =2a-a=a, CD=AB=a+√5a, :AB-a+5a_a+1+5 AD 2a 2a 2 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合正方形、等腰直角三角形与勾股定理，通过设参数转化线段关 系，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想 35 【分析】先利用矩形对折性质得到G为AB中点，AG=GB=2,再由两次折叠的性质得到 AE=AG=2、CE=BC=AD,设BC=AD=a,在RtACDE中用勾股定理列方程求出a=5,得到ED=3; 接着根据沿CI折叠的性质得到CD,=4、ED,=1,设EI=x,用ID=3-x表示ID,在RtAED I中由勾股定 理列方程求解，最终得到E1= 3 【详解】解：：矩形ABCD中，对折AD与BC重合，得G是AB中点， 4G=GB48=2, 沿GE折叠A到GM上，得AE=AG=2; 沿CH折叠B对应点为E,得CE=BC=AD, 设BC=AD=a, 对CE用勾股定理：CE2=(a-AE)2+AB2,代入CE=Q,AE=2,AB=4, 得：a2=(a-2)2+42, 展开解得a=5,即AD=BC=CE=5, ED=AD-AE=5-2=3, 沿CI折叠D到CE上的D,得CD,=CD=AB=4,ID=ID, ED=CE-CD1=5-4=1, 设EI=x,则ID=3-x,故ID=3-x, 由折叠性质得∠ED,I=90°，在RtAED,I中：x2=12+(3-x)2 展开化简得6x=10, 解得x=3 5 即以 36.1.5 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键.由折叠的性质得， LECD'=∠C=90°，CE=CE=3,在RtABC'E中，由BE=5,得BC=4,连接BF,设AF=x,则 DF=DF=8-x,再利用勾股定理求得即可. 【详解】解：如图，∠FEC≤90°， 点C在BC的上方， D以ED C BD=BC+CD=4+3=7, B E c AF2+4B2=BF2=DB2+D'F2, 得x2+32=72+(8-x, 解得x=6.5, 故DF=8-6.5=1.5. 矩形中的折叠问题 --求线段长 一、填空题 1．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 2．如图，把矩形沿直线对折，使点与重合，点落在处，若四边形与矩形的重叠部分的面积是矩形面积的，则______． 3．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 5．如图，矩形，点E、F分别是，上一点，连接，令，已知，，，则______． 6．如图，在矩形中，，，点F为CD的中点，将沿折叠，点D的对应点为，连接并延长，交BC于点P，CP的长为________．    7．如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 8．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是_______． 9．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______． 10．如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 11．如图，矩形中，，，，分别为边和上的两个动点，满足，将四边形沿直线翻折，得到四边形；其中为的对称点，则的最小值为___________． 12．如图是一张矩形纸片，点E 在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接，若点 D、E、F在同一条直线上，则的值是_______．    13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点，点是上一点，把沿折叠，点落在上的点处，交于点，则点的坐标是_____． 14．如图，在矩形中，，，点是边上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则___________． 15．边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______．    16．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 17．如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部，延长交于点，则的长为_____． 18．如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 19．如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为__________． 20．如图，在中，，，为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点为正方形的对称中心，且，则的长为______． 21．如图，在正方形中，，E为边上一动点，F为的中点，连接，G为上一点，连接，，H为上一点，，连接．若，则的长为________． 22．如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则______． 23．如图，在矩形纸片中，，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、的位置，则面积的最大值为 _____． 24．如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点A落在点F处，分别延长交于点G，H，若点E是边的中点，则_________． 25．如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值______． 26．如图，矩形中，为上一动点（与A、B不重合），将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为______．    27．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 28．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________． 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 30．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 31．在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 32．如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为__________． 33．如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 34．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 35．将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 36．在矩形中，，，点E在边上，且，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，折痕与边交于点F，当点B、、恰好在同一直线上且时，的长为________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $