二次函数图像与性质、二次函数图像与系数的关系专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数图像性质与系数关系，通过多地区模拟题构建从图像特征到性质应用、从系数判断到图像分析的逻辑体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图像与性质|含6例6变式，涉及选择、填空、解答|考查顶点、对称轴、平移、增减性、交点及实际应用（如无人机距离）|从图像特征（顶点、交点）到性质应用（最值、增减性），结合方程与函数关系| |二次函数图像与系数的关系|含5例5变式，以多结论判断为主|通过图像判断a、b、c符号及代数式关系，综合开口方向、对称轴位置|从系数（a、b、c）逆向推理图像特征，建立代数表达式与图像性质的关联|

二次函数图像与性质、二次函数图像与系数的关系专项训练 二次函数图像与性质、二次函数图像与系数的关系专项训练 考点目录 二次函数图像与性质 二次函数图像与系数的关系 考点一 二次函数图像与性质 例1．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的图象分别经过点，点，且顶点在第四象限，下列说法中，正确的是（     ） A．该函数图象开口向下 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．a的取值范围是 D．当时，y随x的增大而增大 例2．（2026·陕西咸阳·二模）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根，下列说法正确的是（    ） A．有两个同正的实数根 B．有两个同负的实数根 C．有两个一正一负的实数根 D．没有实数根 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 例4．（2026·河北唐山·二模）已知抛物线与直线相交于点，，若轴平分，则的值是________． 例5．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 例6．（2026·吉林长春·模拟预测）将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 变式1．（2026·河南周口·二模）如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（     ） A． B．1 C． D．2 变式2．（2026·山东聊城·二模）为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是（    ） A．当时， B．点到的最小值为9 C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 变式3．（2026·贵州安顺·二模）如图，二次函数的图象过和，做出如下判断： ①当时，函数有最小值为0；②若点，在二次函数图象上，则；③将这个二次函数图象向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为；④若一次函数的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点，则或．其中说法错误的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式4．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 变式5．（2026·安徽阜阳·三模）已知抛物线，（a，b，c是实数，）． （1）若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为______； （2）设函数的最大值为m，函数的最小值为n，若a与c互为相反数，则的值为______． 变式6．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 考点二 二次函数图像与系数的关系 例1．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．抛物线的图象的最低点坐标为 例2．（2026·陕西西安·一模）已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是(     ) A． B． C． D． 例3．（2026·四川成都·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 例4．（2026·湖北武汉·一模）抛物线的开口向下，图象与轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于的一元二次方程有实数根；⑤关于的不等式的解集为．其中正确的结论是__________（填写序号）． 例5．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（2026·河南周口·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 变式4．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 变式5．（25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数图像与性质、二次函数图像与系数的关系专项训练 二次函数图像与性质、二次函数图像与系数的关系专项训练 考点目录 二次函数图像与性质 二次函数图像与系数的关系 考点一 二次函数图像与性质 例1．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的图象分别经过点，点，且顶点在第四象限，下列说法中，正确的是（     ） A．该函数图象开口向下 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．a的取值范围是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】先将已知点代入二次函数，得到用表示的式子，再结合顶点在第四象限的性质，逐一判断选项正误． 【详解】二次函数 经过点 ， 代入得 ， 将 代入函数得 ， 代入得 ， 二次函数解析式为 ， 顶点在第四象限， 顶点横坐标大于，纵坐标小于， 顶点纵坐标为 ，可知分子分母异号，由题意得， 恒成立， 可得，函数开口向上，故选项A错误； 判别式 ， ， ， 函数图象与轴有两个交点，故选项B错误； 顶点横坐标为， ， ， 解得， 综上可得 ，故选项C正确； 对称轴 ，函数开口向上， 当 时， 随的增大而减小， ， 时 ， 随增大而减小，故选项D错误． 例2．（2026·陕西咸阳·二模）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根，下列说法正确的是（    ） A．有两个同正的实数根 B．有两个同负的实数根 C．有两个一正一负的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先根据二次函数的增减性确定参数a的取值范围，再对一元二次方程因式分解得到两根，根据a的范围判断两根的符号即可得出结论. 【详解】解：∵，是二次函数， ∴，二次函数对称轴为 ； ∵当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数开口向上，且对称轴不小于； 即，且 ，化简得，结合该式恒成立； 又已知，可得， 对一元二次方程因式分解得： 解得，； ∵， ∴，， ∴； ∴方程的两个根为一正一负. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 【答案】D 【分析】先利用二次函数平移规律，得到平移后的解析式，代入原点坐标求出a和b的关系．因为已知和a、b的关系，则可利用二次函数顶点式得对称轴，判断选项A；求出顶点坐标，结合横纵坐标符号判断顶点所在象限，分析选项B；因为要找函数与直线的交点，所以联立两个解析式，解方程得到交点横坐标，判断选项C；因为，所以二次函数开口向下，结合对称轴，分析给定范围内、到对称轴的距离，利用二次函数的增减性判断和的大小关系，分析选项D． 【详解】 已知原二次函数 ，向右平移3个单位后得到 ， 平移后过原点，代入得 ， ∴， ∴原二次函数可整理为 ． 选项A：由顶点式可知对称轴为直线 ，说法正确； 选项B：顶点坐标为 ，因为，则，所以顶点在第二象限，说法正确； 选项C：令 ，整理得 ，解得 或 ，交点横坐标为和，说法正确； 选项D：，开口向下，点离对称轴越远，函数值越小．已知，因此离对称轴更远，所以； 综上，说法错误的是． 例4．（2026·河北唐山·二模）已知抛物线与直线相交于点，，若轴平分，则的值是________． 【答案】 【分析】x轴平分线段，可得的中点在轴上，因此中点纵坐标为，即，先联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，再利用根与系数的关系得到两根之和，代入求解，舍去不符合条件的即可得到结果. 【详解】解：整理抛物线的方程得 ， 联立抛物线与直线的方程，得 ， 消去，整理得， 由题意可知是该一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得 ， 因为轴平分，所以的中点在轴上，因此中点纵坐标满足，即， 将，代入得 ， 因式分解得，因为，所以，解得 故答案为 例5．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 【答案】或． 【分析】先求出二次函数（）的对称轴为，再根据的正负性分情况讨论函数在上的最小值情况，进而求解的值． 【详解】解：对于二次函数（）， 其对称轴公式为，这里，， 对称轴， 当时， 抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值， 在内， 当时，取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件， 当时 抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小， 计算和到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ， 当时，函数取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件． 综上，的值为或． 例6．（2026·吉林长春·模拟预测）将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【答案】5 【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离． 【详解】解：原抛物线化为顶点式：， 故顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为：， 由两点间距离公式得：， 所以抛物线顶点平移的最短距离为5． 变式1．（2026·河南周口·二模）如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】首先根据二次函数 的图象与x轴交于点，得,直线 过点得，求得，根据函数的图象与x轴只有一个交点得，即可求得． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于点，， ∴, ∵直线 过点， ∴， 解得：， ∴， ∴ ； ∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当时，， ∴， 整理得， 解得：． 变式2．（2026·山东聊城·二模）为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是（    ） A．当时， B．点到的最小值为9 C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作于点，当，即时，点运动到点的位置，则由题意和图象可得，即，即可判断A选项正确；当点运动到点时，最小，即，此时，从而可得，即可判断B选项正确， 在中，由勾股定理可得，，当时，点运动到点的位置，则，由等腰三角形的性质得出，求出，即可判断D选项错误；当时，点在点的位置，再由勾股定理即可判断C正确． 【详解】解：如图，作于点， 当，即时，点运动到点的位置，则由题意和图象可得，即（负值不符合题意，舍去），故A选项正确，不符合题意； 当点运动到点时，最小，即，此时， ∴（负值不符合题意，舍去），即点到的最小值为9，故B选项正确，不符合题意； 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，， 当时，点运动到点的位置，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故D选项错误，符合题意； 当时，点在点的位置，由勾股定理可得， ∴点的纵坐标为，故C选项正确，不符合题意． 变式3．（2026·贵州安顺·二模）如图，二次函数的图象过和，做出如下判断： ①当时，函数有最小值为0；②若点，在二次函数图象上，则；③将这个二次函数图象向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为；④若一次函数的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点，则或．其中说法错误的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断①正确；根据两个点关于抛物线对称轴对称，可判断②正确；待定系数法求出抛物线的函数解析式，再根据抛物线的平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，即可判断③错误；联立两函数解析式，可得当一次函数的图像与这个二次函数的图象有唯一的公共点时，方程有两个相等的实数根，即可判断④正确． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向上， ∴①当时，函数有最小值为0，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵点，在二次函数图象上，且， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的表达式为， 把点代入得：， ∴此抛物线的表达式为， ∴将这个二次函数图象向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为，故③错误； 联立得：， ∵一次函数的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：或，故④正确． 综上所述，说法错误的个数为1个． 变式4．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 变式5．（2026·安徽阜阳·三模）已知抛物线，（a，b，c是实数，）． （1）若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为______； （2）设函数的最大值为m，函数的最小值为n，若a与c互为相反数，则的值为______． 【答案】 0 【分析】（1）由两个抛物线有交点，得到，整理得，结合，得到； （2）根据最值得到，，即可得到，再由 a与c互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵两个抛物线有交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵函数的最大值为m， ∴，， ∵函数的最小值为n， ∴，， ∴． ∵a与c互为相反数， ∴， ∴． 变式6．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先利用点和点纵坐标相等，求出抛物线对称轴，再结合开口向上的二次函数性质，函数值越大对应点到对称轴距离越大，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 即， 点和纵坐标相等， 关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为 ， ， 即， ，， 点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为， ，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ， 即或 ， 解得或， 当时， ， 点在抛物线上， ，即 ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即 ， 两边平方得：， 展开得： ， 整理得： ， 解得， ∵对称轴在轴右侧 ∴， 即， 综上，的取值范围是或． 考点二 二次函数图像与系数的关系 例1．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．抛物线的图象的最低点坐标为 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定的符号及关系，利用对称性求出另一个交点坐标，进而判断各选项即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，， 抛物线的对称轴为，因为，所以， 抛物线与轴的交点在负半轴，即时，， 所以，，故A选项错误； B、抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为， 根据抛物线的对称性可知，与轴的另一个交点为， 将代入抛物线解析式可得，①， 又因为抛物线的对称轴为，，代入①中，，整理得，， 即，故B选项错误； C、将代入抛物线解析式可得，，即， 方程的根的判别式， 因为，， 所以， 所以，方程有两个不相等的实数根，故C选项错误； D、抛物线开口向上， 抛物线有最低点，即顶点， 对称轴为直线， 顶点的横坐标为， 当时，， ，， ， 最低点坐标为，故D选项正确． 例2．（2026·陕西西安·一模）已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质，判断开口方向，对称轴位置，与轴交点，判别式，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过第一，第二，第四象限， 若开口向下，图象必然经过第三象限， ∴，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵得， ∴，选项A错误； 当时，，即函数与轴交点为， 若图象只经过第一，第二，第四象限，则交点不在轴负半轴，即 ， ∴，选项C正确； ∵图象经过第四象限，说明二次函数与轴有两个不同交点， ∴判别式 ，选项D错误； 对于选项B，举反例：取，， ，二次函数 符合过第一，第二，第四象限的要求，此时 ，故B错误． 综上，答案选C． 例3．（2026·四川成都·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】由抛物线的开口向下知，与轴的交点在正半轴上得到，由对称轴为，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图象可对③进行判断；当时，，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， ， ，故②正确； ③把代入解析式，，根据图象时，， ，故③错误； ④当时，， ， ，故④错误； ⑤当时，为最大值， ， ， 故，故⑤正确． 例4．（2026·湖北武汉·一模）抛物线的开口向下，图象与轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于的一元二次方程有实数根；⑤关于的不等式的解集为．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，交点坐标判断的符号，判断①，结合交点式得到与的关系，根据的范围判断②，利用二次函数性质，比较两点到对称轴的距离判断③，利用顶点纵坐标判断方程是否有实根，判断④，整理不等式求解集判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交于和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴ 则对称轴在轴右侧， 即， ∵， ∴， 将代入抛物线得， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确． 抛物线可写成交点式， ∴， ∵，， ∴不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则， 平方得， 化简得， 即，故当时，，故③正确． 关于的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标，， 代入不等式得， 即， ∵， ∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得 ，由得， 代入得， 即， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． 故正确的结论是①②③⑤． 例5．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质确定符号即可判断①；由抛物线上点且即可判断②抛物线在处取到最大值，结合、，用表示出，代入，由不等式性质求解即可判断③；关于的一元二次方程的解的个数可转化为抛物线与直线交点的个数，在同一个平面直角坐标系中作出图象即可判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，即；对称轴为直线，即，则；由抛物线与轴的一个交点坐标是，则；抛物线与轴交点坐标是且，则，且； ，即，①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标是， 则当时，，②错误； 抛物线开口向下，对称轴是直线， 抛物线在处取到最大值，为， ， ，则， ， ， ，即， ，③正确； 将关于的一元二次方程恒等变形为， 则关于的一元二次方程的解的个数可转化为抛物线与直线交点的个数， 直线与轴的交点坐标为、与轴的交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和、与轴的交点坐标为， 抛物线与直线均过点，且直线与轴交点在下方， 在同一个平面直角坐标系中作出抛物线与直线，如图所示： 抛物线与直线有两个不同的交点，即关于的一元二次方程必有两个不相等实根，④正确； 综上所述，正确的结论有①③④，共个． 变式2．（2026·河南周口·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向，与轴交点位置以及对称轴的位置确定，，，即可判断A；根据时，即可判断B；根据对称轴的位置可得对称轴，即可判断C；由抛物线经过点可得，再结合B、C选项判断D即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴；，故A错误，不符合题意； 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∵， ∴，即，故C错误，不符合题意； 由图可知，当时，，故B错误，不符合题意； 由图象可得，当时， ∴ ∵ ∴ ∴ 将代入，则，故D正确，符合题意． 变式3．（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 变式4．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点是， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 则当时，， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点是， ∴当时，函数有最大值为， ∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间， ∴方程的两个根在和之间， ∴．故④正确； 综上：正确的是①④． 变式5．（25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 【答案】3 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点和，且， ∴， 由图象知：，，， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴交于点和， ∴， 又因为 ∴，故结论②正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故结论③错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上：正确的结论有①②④， 所以正确的结论有3个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $