2025年中考数学复习专题二次函数图像与性质练习

二次函数的图像与性质练习 一、单选题 1．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x﹣5）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣5）2﹣10 D．y＝（x+1）2﹣5 2．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．二次函数图象如图，下列结论：①； ② ③当时， ；④； ⑤若， 且，则，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．5个 4．已知二次函数的图象如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．无最大值，有最小值-3 B．有最大值-2，有最小值-3 C．有最大值2，有最小值-2 D．有最大值2，有最小值-3 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． -5 -5 -9 -17 ．．． 则该函数的对称轴为（　　） A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝ 6．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0） 7．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论：①2a＋b＞﹣1，②3a＋b＞0，③a＋b＜﹣2，④a＞0，⑤a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 8．把抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 9．二次函数，当时，y的取值范围是什么（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若点M(﹣1，y1)，N(1，y2)，P(，y3)都在抛物线y＝﹣ax2+4ax+a2+1（a＞0）上，则y1，y2，y3大小关系是（用＜号连接）_________． 11．如图所示，与的图象交于，两点，则不等式的解集为______． 12．抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 13．已知二次函数，当时，的取值范围为________． 14．若二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … －1 0 1 2 3 … y … －10 0 6 8 6 … 则它的图像与x轴的两个交点横坐标的和为________． 三、解答题 15．已知抛物线与x轴交于点（1，0）和（2，0）且过点（3，2），求抛物线的解析式和抛物线的顶点． 16．如图，抛物线y a(x1)(x2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点 C(0，2)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE． （1）求a的值和点A，B的坐标． （2）求△OBE的面积． 17．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC． （1）求m的值及该抛物线的对称轴； （2）已知该抛物线上有一点D(x，y)（x＞0，y＞0），使得S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标； （3）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B点P、点Q为顶点的四边形为正方形/若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），对称轴为直线x＝4，点M为抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值； （3）在x轴上是否存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，若有，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 19．求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值． 20．已知关于x的抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）与x轴交于点B，C（点B位于点C左侧），与y轴交于点A． （1）若该抛物线经过（﹣1，8），（1，4），（3，10）三点中的一点． ①求m的值； ②直线AB的表达式； （2）当﹣13时，y有最小值﹣3，求此时抛物线的解析式． 21．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的苹果，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售苹果的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示． （1）求出每天销售苹果的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式； （2）求该超市苹果销售单价定为多少元时，每天销售苹果的利润最大，并求最大利润． 22．如图，利用函数y＝x2﹣4x＋3的图象，直接回答： （1）方程x2﹣4x＋3＝0的解是　 　； （2）当x满足　 　时，y随x的增大而增大； （3）当x满足　 　时，函数值大于0； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　． 23．已知二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象与直线y＝x＋3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值； （3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24．“郜台板鸭”是安徽特产，产于王家坝蓄洪区内，历史悠久．某个体商户通过网络销售郜台板鸭，他购进郜台板鸭的进价是50元/只，根据市场调研发现售价是80元/只时，每周可卖出 160只，若销售单价每只降低1元，则每周可多卖出10只． （1）若设销售单价为x元，试用含x的代数式表示每周的销售量； （2）当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ 25．“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）： （1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式； （2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？ 26．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ （3）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 27．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，B(-3，0)，． （1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A2．D3．C4．D5．B6．B7．B8．A9．C10．y1＜y3＜y211．或 12．8 13．﹣4≤y≤357 14．4 15．， 16．(1) ，；（2） 17．（1），抛物线的对称轴为直线；（2）点D的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为或 【详解】 解：（1）把代入抛物线， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵抛物线交y轴于点C， ∴当时，， ∴点C的坐标为． ∵， ∴． 当时，， 解得或， ∴只有符合题意， 点D的坐标为； （3）存在，点Q的坐标为或． ∵C的坐标为，A(4，0)， ∴，故． ①如图，当是正方形的边时，对应的正方形为． ∵， ∴点的坐标为． ②如图，当是正方形的对角线时，对应的正方形为． ∵， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点Q的坐标为． 综上所述，符合题意的点Q的坐标为或． 18．（1）；（2）9；（3）存在，或 【详解】 （1）∵点A、B关于对称轴直线x＝4对称，且B(6，0) ∴点A的横坐标为4−(6−4)=2 即点A的坐标为(2，0) 则抛物线的解析式为 即 （2）在中，令x=0，得y=12 即C(0，12) 设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0) 把B、C两点坐标分别代入上式得： 解得： 即直线BC的解析式为 设点M的坐标为 (m>0) ∵MQ⊥x轴，Q点在直线BC上 ∴点Q的坐标为 ∴ ∴当m=3时，MQ有最大值9 （3）存在 由B、C的坐标知，OB=6，OC=12，由勾股定理得 设点D的坐标为(x，0) ∵BD=BC ∴ 即或 解得：或 即点D的坐标为或 19．最大值为5，最小值为 【详解】 解：抛物线 y＝x2﹣x＋1， 抛物线的对称轴方程为： 则函数图象的开口向上， 当时， 当时， 当时， 而 所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为 20．（1）①1；②；（2）或 【详解】 解：（1）①将分别代入抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）得到的函数值都为0， 故该抛物线不经过和 把点代入抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）得， 解得，； ②由①可得抛物线 当时，即 解得， ∴点 当时， ∴点 设直线AB的解析式为，将点的坐标代入，得 解得， ∴直线AB的解析式为：； （2） 当时，抛物线开口向上，y有最小值 ∵当﹣13时，y有最小值﹣3， ∴是抛物线的顶点坐标， ∴ ∴该抛物线的解析式为： 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， ∵的对称轴为x=2，且当﹣13时，y有最小值﹣3， ∴当x=-1时，y=-3， ∴ 解得，， ∴该抛物线的解析式为： 综上，抛物线的解析式为：或 21．(1) y＝−2x+128(8≤x≤12) ；(2)12元，416元 【详解】 解(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将(9,110)，(10,108)代入，得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝−2x+128(8≤x≤12)； (2) 设每天的销售利润为W（元），则： W＝(x−8)y ＝(x−8)(−2x+128) ＝−2(x−8)(x−64)， ∵a＝−2<0， ∴当 即x<36时，W随x的增大而增大, ∵8≤x≤12， ∴当x＝12时，W取得最大值． Wmax=-2×(12-8) ×(12-64)=416元 答：当超市苹果销售单价定为12元时，每天销售的苹果利润最大为416元． 22．（1）x1＝1，x2＝3；（2）x＞2；（3）x＜1或x＞3；（4）﹣1≤y＜8． 23．（1）y=-x2-2x+3；（2）2；（3）Q(1，0)或Q(-4，-5)，理由见详解； 【详解】 解：（1）∵y=x+3与x轴交点A(-3，0)，与y轴交点B(0，3)， ∴y=-x2+bx+c经过A(-3，0)，B(0，3)， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4 ∴抛物线向右平移m个单位的新抛物线解析式为：y=-（x+1-m）2+4， ∵新抛物线y=-（x+1-m）2+4与△ABP有且只有一个公共点， ∴y=-（x+1-m）2+4经过点B(0，3)， ∴-（1-m）2+4=3 ∴m1=0(舍去)，m2=2， 即m=2； （3）作PC⊥x轴交AB于C，作QD⊥x轴交AB于D， ∵y=-（x+1）2+4顶点P(-1，4)，PC⊥x轴， ∴C(-1，2)， ∴×（4-2）×3=3， 设点Q(n，-n2-2n+3)， ∵QD⊥x轴， ∴D(n，n+3)， ∴DQ=n+3-(- n2-2n+3)= n2+3n ∴ ( n2+3n)×3=n2+n， ∵， ∴n2+n =2×3， ∴解得：n1=1，n2=-4， ∴当Q(1，0)或Q(-4，-5)时，. 24．（1）；（2）销售单价为73元时，每周销售利润最大，最大利润为5290元 解：（1）由题意，得每周的销售量为（只）． （2）设每周获得的利润为元． 由题意，得 ． 由，可知当时，有最大值为5290． 即当销售单价为73元时，每周销售利润最大，最大利润为5290元． 25．（1）；（2），当x=45时，w最大值=1250． 【详解】 （1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b，其中a≠0， 根据题意，得， 解得， 故y=x+20； 当40＜x≤60时，设y=mx+n，其中m≠0， 根据题意，得， 解得，故 y=﹣2x+140； 故每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式是： （2）， 当20≤x≤40时，w=x2﹣400， 由于1＞0，抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40， 因此当x=40时，w最大值=402﹣400=1200； 当40＜x≤60时，w=﹣2x2+180x﹣2800=﹣2（x﹣45）2+1250， 由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60， 所以当x=45时，w最大值=1250． 综上所述，当x=45时，w最大值=1250． 26．（1）；（2）5米；（3）能，花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米 【详解】 解(1)由题可知，花圃的宽为x米，则为米，面积． (2)将化为， 解得． 由，得， 不合题意，舍去，即花圃的宽为5米 (3) 对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，S有最大值， 此时， 故能围成面积比45平方米更大的花圃 围法: (米)，即花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米． 27．（1），；（2）；（3）， 【详解】 （1）依题意，得，解之，得 ∴抛物线解析式为． ∵对称轴为，且抛物线经过，∴． 把、分别直线，得 ，解之，得． ∴直线BC的解析式为． （2）∵， ∴． ∴使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点． 设直线BC与对称轴的交点为M， 把代入直线，得， ∴． （3）过点P作轴，设， ∴，，，， ∴， ， ， ∴， ∴当时，有大面积，此时，最大面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$