18.3 正方形（第1课时：正方形的性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本练习通过A、B、C三级分层设计，实现从正方形性质基础辨析到综合应用再到实践探究的递进式知识巩固，适配八年级下册课时教学目标，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|正方形性质（对角线、角度、边长）、简单推理与计算|以选择、填空、解答题夯实基础，如性质对比（第1题）、折叠计算（第8题），培养运算能力与几何直观| |B能力提升|正方形与矩形、旋转结合，动态问题与多图形综合|通过动态图形（第5题）、正方形旋转（第3题）提升综合应用，发展推理能力与空间观念| |C综合与实践|折纸操作、跨知识整合（勾股定理证明）|以折纸实践（第1题）、定理证明（第2题）培养创新意识与数学表达能力，体现应用意识|

18.3 正方形（第1课时：正方形的性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 2．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再求出，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ， ． 3．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接，交于H点，如图，利用基本作图得到垂直平分，先根据正方形的性质得到，所以，然后根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 4．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于点，作轴于点，由正方形的性质，可得，，证明，可得，，即可得点的坐标． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 6．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 二、填空题 7．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 8．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 10．如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）得到点的坐标为，再利用待定系数法求解析式即可； （2）把点代入可得，再求交点即可． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点坐标分别为，， ∴，轴， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把及，代入， 得，解得， 直线的解析式为； （2）由题意知：， ∴点的坐标为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立得，解得， 点的坐标为． 11．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 【B能力提升】 1．如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形及矩形的性质可得，即，进而列出边的比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 2．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】仔细观察图象，根据正方形的性质，利用周长公式，计算阴影部分的周长； 最后比较和的大小即可解答本题． 【详解】解： 设底面正方形盒底的边长为，三张大小相同的正方形卡片A，B，C的边长为， 对图①，，， 故阴影的总周长； 对图②，，， 故阴影的总周长； 因此． 3．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 4．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 5．如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 【答案】或 【分析】分当点E在上时和当点E在的延长线上时两种情况求解，过点F作于点G，则，证明，由全等三角形的性质求出，，过点F作于点H，则四边形为矩形，最后由矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点E在上时， 过点F作于点G，则， ∵是正方形， ∴， 由旋转的性质得出，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点F作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 当点E在的延长线上时， 过点F作于点G，则， 同理可证得， ∴，， 过点F作与点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 综上：的长为或． 6．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时． (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证； （2）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解． 【详解】(1)证明：∵四边形ADEF为正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABD≌△ACF(SAS)； (2)解：由(1)知△ABD≌△ACF， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACF＝135°， 由(1)知∠ACB＝45°， ∴∠DCF＝90°， ∵正方形ADEF边长为， ∴DF＝4， ∴OC＝DF＝×4＝2． 【C综合与实践】 1．综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得结论：，； （2）如图，过点作于点．先证明，再证明，可得结论． 【详解】（1）解： ，； （2）证明：如图，由折叠可知，， ， ， ， 过点作于点， 则四边形是长方形， ， ， ， 四边形是正方形对折得到的长方形，得， ， ， ， ． 2．如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由正方形性质可得，，，然后证明，所以，，又，，则有，然后通过三角形内角和定理得出； （）连接，，，设与交于点，由（）得：，，则有，然后代入即可求解； （）由四边形和为正方形，则，，，证明，所以，根据两条平行线之间的距离处处相等，，，然后通过即可求证． 【详解】（1）解：，，理由如下， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，，，设与交于点， 由（）得：，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为， 故答案为：； （3）证明：∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 根据两条平行线之间的距离处处相等，，， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3 正方形（第1课时：正方形的性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 2．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 7．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 8．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 三、解答题 9．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 10．如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 11．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【B能力提升】 1．如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 2．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 4．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 5．如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 6．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时． (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 【C综合与实践】 1．综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 2．如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $