18.3 正方形分层练习2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 华师大版八年级下册18.3正方形同步练，以“性质应用-判定证明-综合拓展”分层，覆盖正方形性质与判定全知识点，通过基础辨析、推理证明到动态综合题，培养几何直观、推理能力与创新意识，适配新授课“基础巩固+能力提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |性质求解|正方形性质直接应用|选择/填空/解答题，含动点、折叠情境，强化几何直观| |性质证明|性质推理与多结论辨析|证明题与结论判断题，提升推理能力| |判定证明|正方形判定条件应用|添加条件题，培养抽象能力| |综合应用|性质与判定综合应用|动态几何、图形变换题，发展创新意识|

华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 分层练习 利用正方形的性质进行求解 1如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为(　　) A. B. C. D. 2如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)    A. B. C. D. 3如图，在正方形外侧，作等边，则为(　　) A. B. C. D. 4如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是        ． 5如图，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为      ． 6如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 7如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积． 利用正方形的性质进行证明 1如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3如图，在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有      (填正确的序号)． 4如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：． 5如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：． 添加一个条件证明是正方形 1如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　) A. B. C. D. 2在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　) A. B. C. D. 3如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)    A. B. C. D. 4如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件        ，使四边形是正方形（填一个即可）．    5如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件：        ．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）    6如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； (2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 综合利用正方形的判定与性质进行证明 1正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN是菱形； ③存在无数个四边形PMQN是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN是正方形． 正确的结论的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形． 4如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形． 综合利用正方形的判定与性质进行求解 1如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是      ． 2如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为          ．    3如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 4如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 分层练习（参考答案） 1利用正方形的性质进行求解 1如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，在上取点关于的对称点，连接，交于点，      ， ∴在与中， ， ∴， ∴ ， ∴， 三点共线，   ， ， ∴四边形为矩形， ∴ ， 同理， ∴ ， ， ， ∴为直角三角形， ∴， 故选：D． 2如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】是正方形的对角线， ， 是菱形的对角线， ． 故选：B． 3如图，在正方形外侧，作等边，则为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在正方形外侧，作等边， ，，， ， ， ， 故选C． 4如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是        ． 【答案】 【解析】连接交于点，如图所示， 四边形为正方形， ，， ， ，即， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形， ， ，, 由勾股定理得： 四边形的周长为． 故答案为：． 5如图，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为      ． 【答案】5 【解析】将绕点B逆时针旋转，即，连接， ， 由于旋转得，，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 6如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【答案】解：四边形是正方形，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 7如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积． 【答案】解： 四边形为正方形， ∴， 由旋转得，，， ，、、在一条直线上． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴正方形的边长为7， ∴正方形的面积． 2利用正方形的性质进行证明 1如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得：， 故， 故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ， 故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， 故四边形是菱形， 故④正确． ，， ， 四边形是菱形， ， ， ． 故⑤正确． 故选：B． 2如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， （故①正确）； ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴（故④正确）； ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴， 一定成立（故②正确）； 假设， ， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，（故③错误）； ∴正确的有①②④共3个正确， 故选：C． 3如图，在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有      (填正确的序号)． 【答案】①②④ 【解析】∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ∵， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 连接，    ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； 故答案是①②④． 4如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：． 【答案】证明：在正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 5如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：． 【答案】证明：∵正方形， ∴， ∵， 设， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴． 3添加一个条件证明是正方形 1如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.，， ， ， 四边形是菱形， ，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B.四边形是菱形， ，， 故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意； C.四边形是菱形， ，， ， 故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D.四边形是菱形， 平行于， ， ， ， 菱形是正方形，故D符合题意． 故选：D． 2在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是菱形， 若添加，则该四边形是正方形． 故选：A． 3如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意， 当时，四边形是正方形，故B符合题意， 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意， 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 4如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件        ，使四边形是正方形（填一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【解析】∵在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形， 添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形； 添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形． 故答案为：．（答案不唯一） 5如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件：        ．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）    【答案】且（答案不唯一） 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴当且时，四边形为正方形， 故答案为∶且（答案不唯一）． 6如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； (2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 【答案】解：（1）当时，四边形是矩形， 四边形是矩形， ， 是矩形边的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 当时，四边形是矩形， （2）动点运动到中点时，矩形变为正方形， 由（1）可知， 是等腰直角三角形， 要使四边形是正方形，则, ，， 在的角平分线上， ， ， 动点运动到中点时，矩形变为正方形． 4综合利用正方形的判定与性质进行证明 1正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN是菱形； ③存在无数个四边形PMQN是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN是正方形． 正确的结论的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q． ∵PQ垂直平分线段MN， ∴PM＝PN，QM＝QN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PAN＝∠QAN＝45°， ∴∠APQ＝∠AQP＝45°， ∴AP＝AQ， ∴AC垂直平分线段PQ， ∴MP＝MQ， ∴四边形PMQN是菱形， 在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形， ∴至少存在一个四边形PMQN是正方形， ∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2， ∴不可能存在无数个矩形， ∴①②④正确， 故选：C． 2如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°， ∵BE＝CF＝DG＝AH， ∴AB+BE＝BC+CF＝CD+DG＝DA+AH， 即AE＝BF＝CG＝DH， 在△FBE和△GCF中， ， ∴△FBE≌△GCF（SAS）， ∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF， ∵∠GCF＝90°， ∴∠CGF+∠GFC＝90°， ∴∠BFE+∠GFC＝90°， 即∠EFG＝90°， 同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE， ∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形， 又∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． 故选：D． 3如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠EBF＝90°， ∴四边形PEBF是矩形， ∵∠FBP＝∠FPB＝45°， ∴FB＝FP， ∴四边形PEBF是正方形． 4如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形． 【答案】证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． 5综合利用正方形的判定与性质进行求解 1如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是      ． 【答案】34 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG． 在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， ∴EH=FE=GF=GH=， 所以正方形EFGH的面积. 2如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为          ．    【答案】 【解析】如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点， ∴四边形是矩形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为， 故答案为：． 3如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， ． 在中，为中点， ． ， 矩形是正方形， ， ． 4如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 过点D作于点G，    ∵平分， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $