18.3 正方形（第2课时：正方形的判定） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合应用梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|矩形、菱形、平行四边形判定正方形|选择填空+基础证明，如矩形添加条件证正方形| |B能力提升|几何变换（旋转、折叠）与综合判定|动态问题，如正方形内旋转求线段长| |C综合与实践|跨知识探究正方形判定条件|开放探究，如平行四边形到正方形条件探究|

18.3 正方形（第2课时：正方形的判定） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 2．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据四个点的坐标特征，判断各边的位置关系与长度，再根据特殊四边形的判定确定形状． 【详解】∵ ，，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ，， 横坐标相同， 轴， ， ∵ ，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ， 横坐标相同， 轴， ； 可得且，且 ， 四边形是平行四边形； 又轴，轴， ， 四边形是长方形； ∵邻边，，长度不相等， 因此不是正方形． 3．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 4．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定，掌握相关判定定理是解题关键； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意； 如果，那么四边形是矩形，故B正确，不符合题意； 如果AD平分， 则； ∵， ∴； ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； 如果且，则AD平分， ∴四边形是菱形，故D错误，符合题意； 故选：D 5．如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 6．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 二、填空题 7．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 8．如图，矩形纸片中，已知，，点在边上，沿折叠纸片，使点落在点处，连结，当为直角三角形时，的长为______. 【答案】3或 【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解. 【详解】分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1， ∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线， ∵矩形ABCD的边AD=4， ∴BC=AD=4， 在Rt△ABC中，AC= 设BE=x，则CE=BC-BE=4-x， 由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2， 即x2+22=(4-x)2， 解得x=； ②当∠CEF=90°，如图2 由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AB=3， 故BE的长为3或           【点睛】此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据图形进行分类讨论. 三、解答题 9．如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定．熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 10．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，结合，，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 11．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及正方形的判定，正确添加辅助线准确运用性质和判定定理是正确解答此题的关键． 过E作，根据角平分线的性质可得．再证明四边形是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形． 【详解】证明：过点作，垂足为． ，，是两锐角平分线的交点， ． ，，， ， 四边形为矩形． 又， 矩形为正方形． 12．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 13．如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形性质，菱形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键． （1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可； （2）利用菱形的判定方法得出即可； （3）利用正方形的判定方法得出即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）证明：根据解析（1）可知：为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）证明：∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴根据解析（2）可知，当时，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【B能力提升】 1．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 2．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 【答案】 【分析】过点作轴，作轴，利用证明三角形全等，进而证明四边形是正方形，设，根据相等边建立方程，求出点的坐标，进而代入反比例函数求出值． 【详解】解：如图，过点作轴，作轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，则，， ， ， 解得， ，， 点的坐标为， 将代入，可得． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 5．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形的边长为， 则，点坐标为， ∵， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理：， 且， ∴， 解得， ∴． 6．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) ______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件得到，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，，， ， ． 故答案为； （2）作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； 设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ≌， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、外角平分线性质、矩形与正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线　，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 【C综合与实践】 16．综合与实践 问题解决： (1)如图1，中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 类比迁移： (2)如图2，在（1）的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展应用： (3)在（1）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； (2)解：四边形是矩形；理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (3)解：当且时，四边形是正方形． 证明：当时，由（2）可知，四边形是矩形， ∵， 又∵点是的中点， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，结合中线的定义可得，同时，因此四边形是平行四边形； （2）由等腰三角形的性质可得，结合四边形是平行四边形可得，四边形是矩形； （3）在（2）的基础上，添加，由直角三角形的性质可得，因此此时四边形是正方形． 【详解】（1）证明：略； （2）解：四边形是矩形，理由略； （3）解：当且时，四边形是正方形，证明略， 17．如图，根据图形解答下列问题： (1)以的三边为边分别作等边三角形、等边三角形和等边三角形，判断四边形的形状 (2)在小题（1）中，是否一定存在？若存在，写出应满足的条件；若不一定存在，请说明理由． (3)满足什么条件时，四边形是矩形？ (4)满足什么条件时，四边形是菱形？ (5)满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)解：存在，且需满足的条件是；理由如下： ∵、是等边三角形， ∴； 若，则有， ∴E、A、D三点共线，A、E、F、D构不成四边形； 当时，由（1）知四边形是平行四边形； 故存在平行四边形，且需满足的条件是 (3)满足时，四边形是矩形 (4)满足，且时，四边形是菱形 (5)当满足的等腰三角形时，四边形是正方形 【分析】（1）可通过证，得；然后证，得；从而证得四边形的两组对边分别相等，即可得出是平行四边形； （2）由（1）知四边形是平行四边形，那么只需能构成四边形即可，所以E、A、D不能共线，即； （3）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行求解即可； （4）根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行求解即可； （5）根据（3）（4）进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； ∵、是等边三角形， ∴； ∴； ∴； ∴； 同理可得， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）略 （3）解：满足时，四边形是矩形； ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （4）解：满足，且时，四边形是菱形； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （5）解：当满足的等腰三角形时，四边形是正方形； ∵，， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3 正方形（第2课时：正方形的判定） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 3．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 4．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 5．如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 7．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    8．如图，矩形纸片中，已知，，点在边上，沿折叠纸片，使点落在点处，连结，当为直角三角形时，的长为______. 三、解答题 9．如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 10．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 11．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 12．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 13．如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 【B能力提升】 1．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 2．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 5．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 6．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) ______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）． 【C综合与实践】 1．综合与实践 问题解决： (1)如图1，中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 类比迁移： (2)如图2，在（1）的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展应用： (3)在（1）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明． 2．如图，根据图形解答下列问题： (1)以的三边为边分别作等边三角形、等边三角形和等边三角形，判断四边形的形状 (2)在小题（1）中，是否一定存在？若存在，写出应满足的条件；若不一定存在，请说明理由． (3)满足什么条件时，四边形是矩形？ (4)满足什么条件时，四边形是菱形？ (5)满足什么条件时，四边形是正方形？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $