高效同步练习18.3 正方形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（华东师大版·新教材）

3.解：D,E,F分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE是△ABC的中 位线，DEB=2AC.:DB=5cm,AC=2DE=10cm:AH是 △ABC的高，∠AHC=90°，又F是AC的中点，HF=)AG F2×10=5(cm),即F的长为5cm 4.D 5.解：延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE.D是AB的中 点，.AD=DB,四边形ACBE是平行四边形，又：CD=)AB, CD=2CE,.AB=CE,.平行四边形ACBE是矩形，LACB= 90°，∴.△ABC为直角三角形. 高效同步练习18.2.1菱形的性质 1.=2.2对角线3.B4.C 5A【解析】小：四边形ABCD是菱形，A0=2AC=3,B0= 2BD=4,AC⊥BD,在Rt△A0B中，由勾股定理，得AB=5, .菱形的周长为4×5=20.故选A. 6.D7.C 8.解：(1)，DE⊥AB于点E,且E为AB的中点，.AD=BD.四 边形ABCD是菱形，∴.AD=BA,∴.AB=AD=BD,∴.△ABD是等 边三角形，∴.∠DAB=60°； (2).:四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,..∠AOD=90°..BD =2,△ABD是等边三角形，∴.D0=1,AD=2.∴.A0= WAD2-D02=√3，.AC=2W3. 9.B 【归纳总结】(1)菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高；(2) 菱形的对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形. 10.A【解析】在菱形ABCD中，AC=12,BD=16,.B0=。BD= 8,0c= 2AC=6,ACBDBC=6=10.AELBC, S支Cm=2AC·BD=BC·AE,AB=9.6,故选A 11.D12.(-5.4) 13.60°【解析】连结AC,CE,CP.四边形ABCD是菱形，.BD 垂直平分AC,∴.AP=CP..∠BCD=120°，∴.∠ABC=60°， △ABC和△ACD都是等边三角形.又：点E为AD的中点， CE⊥AD.·PA+PE=CP+PE≥CE,.当C,P,E三，点共线时 PA+PE的值最小，等于CE的长，此时AP=DP,.∠ADP= ∠DAP=30°，∴.∠APB=60°. 14.(1)证明：连结AC.·BD,AC是菱形ABCD的对角线，.BD垂 直平分AC,∴.AE=EC; (2)解：点F是线段BC的中点.理由如下：四边形ABCD是 菱形，∴.AB=CB.又.·∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形. .'AE=EC,.∠EAC=∠ECA.,:∠EAC+∠ECA=∠CEF ∠CEF=60°，∴.∠EAC= 2∠CEF=30°.又：LBAF=∠BAC ∠EAC=30°=∠EAC,..AF是等边三角形ABC的角平分线， ∴.BF=CF,∴.点F是线段BC的中点. 15解，I深入探究】S=Swt5em=D·AB+BD CE=2BD (AE+CE)-BDAC-2 2 ×40x30=600(cm2). 两条对角线乘积的一半 【拓展提高】连结BD,过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M.S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=)BD·AN+)BD ·CM=2B0·(aN+CM)=×40x30=60(cm2) 一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之 和的积的一半 高效同步练习18.2.2菱形的判定 1.B 2.四条边都相等的四边形是菱形 3证明：由题意，得AB=AE=DE=CD=BC,∠BAE=180×(5-2) 5 同步练习，精炼高效抓考》 =108°，.∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，.. ∠FAE=108°-36°=72°.∴.∠AFE=180°-72°-36°=72°，∴.AE =EF,同理BC=CF,∴.EF=CF=DE=CD,∴.四边形CDEF为 菱形. 4.菱形 5.解：赞成小洁的说法，补充一个条件为OA=OC,证明如下： OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.AC⊥BD, .平行四边形ABCD是菱形.（答案不唯一） 6.C 7.C 【解后反思】本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题的 关键是熟练掌握菱形的判定方法，通过作图痕迹得出信息，进而 作出判断 8.AB=BC(答案不唯一)9.45 2 cm 10.(1)证明：.·四边形ABCD是矩形，∴.AO=CO,AD∥BC,. ∠OAE=∠OCF..EF⊥AC,∴.∠AOE=∠COF=90°，在△AE0 I∠OAE=∠OCF 和△CF0中，{A0=C0 ∴.△AE0≌△CFO(ASA),.: ,∠AOE=∠C0F OE=OF.AO=C0,∴.四边形AECF是平行四边形.·EF⊥ AC,.四边形AECF是菱形： （2)解：设AF=x,则BF=4-x.在Rt△ABF中，由勾股定理可 2 得：AF2=AB2+BF2,即x2=(4-x)2+32,解得x= 8菱形 AECF的周长=4× 2525 8=2 11.解：(1)12 (2)当点P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形.理由如 下：连结AP.PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边 形.AB=AC,P为BC的中点，∴.∠PAD=∠PAE.,PE∥AB ∴.∠PAD=∠APE,∴.∠PAE=∠APE,.EA=EP,∴.四边形 ADPE是菱形： (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形 连结AP..PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边形 :AP平分LBAC,∠BAP=∠CAP.AB∥EP, .∠BAP= ∠APE,∴.∠CAP=∠APE,∴AE=EP,.平行四边形ADPE是 菱形. 高效同步练习18.3正方形 1.B 2.D【解析】解法一：·四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC LABC=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,即 2AB2=4,.AB2=2,即正方形ABCD的面积是2cm2.解法二：. 四边形ABCD是正方形，AC=2cm,∴.AC⊥BD,AC=BD=2cm, ,∴.S正方形ABCD= 2AC·BD=2cm2.故选D. 3.C【解析】在正方形ABCD中，AC平分∠BAD,∴.∠BAE=45°. AB=AE,.∠ABE=∠AEB=180°-45 =67.5°，∴.∠BEC= 180°-67.5°=112.5°.故选C. 4.C 5.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，.∠D=∠B=90°，AD=AB =BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点，∴.DE=BF.在 （AD=AB, △ADE和△ABF中 ∠D=∠B,.△ADE≌△ABF(SAS). DE=BF. (2)解：由题意，得∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4 DE=CE=BF=CF=2.∴.S△AEr=SE方形ABCD-S△ADE-S△ABr-S△Ec=4 ×4- 2*4x2 1 2 ×4×2- 22x2=6 6.D7.B 8.证明：，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴，AC⊥BD OB=OD..OE=OF=OB,∴.OE=OF=OB=0D,∴.四边形BFDE 是平行四边形，BD=EF,.平行四边形BFDE是矩形.又，BD ⊥EF,∴.四边形BFDE是正方形. 9.C【解析】.四边形ABCD为正方形，∴.AB=AD,∠BAD=90° .:△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°，.AD =AE.,·∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°，.∴.∠ADE=∠AED= 180°-150° =15°，.∴.∠BED=60°-15°=45°.故选C. 10.C【解析】.'四边形ABCD是正方形，.∠DBC=∠BDC= 45°.：正方形ABCD的边长为6，BC+CD=12.四边形 EFCG是矩形，·.∠EFB=∠EGD=90°，∴.△BEF与△DEG是 ZBH八年级数学下册 77 等腰直角三角形，∴.BF=EF,EG=DG,∴.矩形EFCG的周长 是：EF+FC+CG+EG=BF+FC+CG+DG=BC+CD=12.故选C. 11.C【解析】连结BN、BM,:四边形ABCD是正方形，.B、D关 于AC对称，.DN=BN,.DN+MN=BN+NM≥BM,当B、N、M 在一条直线上时，DN+MN最小为BM.在Rt△BMC中，. ∠BCM=90°，BC=16,CM=CD-DM=12,∴.BM=√BC+CM =20.故选C. 12.（1)证明：.·AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC=90°， ∴.∠BAD=∠CAD= 方∠BAC.:AW是△ABC的外角平分线， ·∠CAW=1 2∠CAM,.LCAN+LDAC= 2∠CAM+ 2∠BAC 2（LCAM+∠BAC)=90°，即∠DAN=90°.CE⊥AW, ∠AEC=90°，∴.∠AEC=∠ADC=∠DAN=90°，∴.四边形ADCE 为矩形 (2)解：当△ABC满足∠BAC=90时，四边形ADCE是一个正 方形.证明：AB=AC,∠BAC=90°，.∠ACB=∠B=45°. AD⊥BC,∴.∠DAC=45°，.∠ACB=∠DAC,∴.DC=AD.由(1) 得四边形ADCE为矩形，∴.四边形ADCE为正方形. 13.解：(1)BE=DGBE⊥DG (2)(1)的结论仍然成立，理由如下：设BE交AD于点O,交 DG于交点N.:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°，∴.∠BAE=∠DAG,在 (AB=AD △ABE和△ADG中，{∠BAE=∠DAG,∴.△ABE≌△ADG AE=AG (SAS),∴.BE=DG,∠ABE=∠ADG.,∠ABE+∠AOB=90° ∠AOB=∠D0N,∴.∠ADG+∠DON=90°，∴.∠DN0=90°， BE⊥DG; (3)73【解析】当点E在线段AB上时，BE有最小值，为 AB-AE=5-2=3,当，点E在线段BA的延长线上时，BE有最大 值，为AB+AE=5+2=7. 数学活动探索图形变化中的不变量 1.B 2.解：连结OE,过B作BH⊥AC于H,.四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°，BC=AD=12,C0=B0,.AB=5,BC=12,∴.AC= √AB2+BC2=13.S△ABC= 2AC·BH=号BC·AB,BH= 2 BC·AB60 1 AC 13SAONG=SomE+Soc0C.BH=20B. 60 GE+OC EF,GE+EF=BH,.EG+EF= 13 3.(1)证明：过P作MN∥AD,交AB于M,交CD于N,.PB⊥PE ∴.∠BPE=90°，∴.∠MPB+∠EPN=90°，.·四边形ABCD是正 方形，.∠BAD=∠D=90°，AD∥MW,LBMP=∠BAD= ∠PNE=∠D=90°，.∠MPB+∠MBP=90°，∴.∠EPN= ∠MBP,在Rt△PNC中，∠PCN=45°，·.△PNC是等腰直角三 角形，∴.PN=CN,.·∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°，∴.四边形 MBCN是矩形，∴.BM=CN,∴.BM=PN,.△BMP≌△PNE (ASA),∴.PB=PE; (2)解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，为√互， 【解析】连结OB,点O是正方形ABCD对角线AC的中点， OB⊥AC,.∠AOB=90°，∴.∠AOB=∠EFP=90°，.∠OBP+ ∠BP0=90°，.·∠BPE=90°，∴.∠BP0+∠OPE=90°，∴.∠OBP =∠OPE,由(1)得：PB=PE,∴.△OBP≌△FPE(AAS),∴.PF= OB,:AB=2,△AB0是等腰直角三角形，.OB2+OA2=AB2,即 20B2=4,.0B=√2，.PF为定值√2. 4.（1)证明：连结AC..菱形ABCD中，∠BAD=120°，.∠BAC= ∠DAC=60°，∴.∠BAE+∠EAC=60°，.△AEF为正三角形， ∠CAF+∠EAC=60°，∴.∠BAE=∠CAF,.·BC∥AD,∴.∠ABC= ∠BAC=∠ACB=60°，.△ABC、△ACD为等边三角形，∴ ∠ACD=60°，AC=AB,..△ABE≌△ACF(ASA),.∴.BE=CF; (2)解：四边形AECF的面积不变.理由：由(1)得△ABE≌ △ACF,则SAAE=S△ACF,故S四边形ABCP=S△MEC+SAACF=S△ABC+S△ABE =S△Bc,是定值，作AH⊥BC于H点，则BH三2，AH= VAB-BF=25,Sa地形e=SAce=2BC·AH=45, 78 同步练习，精炼高效抓考 追梦第18章章末复习矩形、菱形与正方形 1.A2.C3.B4.C 5.C【解析】.四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠B=∠ADC =DAF=90°，∠BAC=45°..·BE=AF,∴.△ABE≌△DAF(SAS), .∠ADF=∠BAE.·AE平分∠BAC,.∠BAE=22.5°， ∠ADF=22.5°，∴.∠CDF=∠ADC-∠ADF=67.5°.故选C. 6.A【解析】设PQ交MN于点F,连结AF、CF、AC,:四边形 ABCD是矩形，PQ∥BC,MN∥AB,∴.四边形APFM、四边形 CQFN是矩形，∴.PM=AF,NQ=CF,.PM+NQ=AF+CF,·FA+ FC≥AC,AC=√32+4=5，.AF+FC的最小值为5，∴.PM+NQ 的最小值为5.故选A. 7.∠ABC=90°（答案不唯一）8.10 9.(2+√3,1)【解析】过点D作DG⊥x轴于点G,DM⊥BC于点 M,易证四边形MCGD为矩形，.MC=DG.,:四边形BDCE是 菱形，.BD=CD..·BC=2,∠D=60°，∴.△BCD是等边三角形， ∴.CM=DG=1,CD=2..:∠DGC=90°，∴.CG=√22-12=√3，. D(2+W3,1) 10.2W3+2【解析】连结DE,DB.DE与AC的交点为P',连结 BP'.BE的长度固定，∴.当PB+PE的长度最小时，△PBE的 周长最小.：四边形ABCD是菱形，.AC与BD互相垂直平 分，.P'D=P'B,.PB+PE的最小长度为DE的长.菱形 ABCD的边长为4，E为BC的中，点，∠ADC=120°，.∴.AD∥BC DC=BC,∴.∠DCB=180°-∠ADC=60°，.△BCD是等边三角 形，.DE⊥BC,BD=4,BE=2,.DE=√BD-DE2=23, △PBE的最小周长=DE+BE=23+2. 11.（1)证明：：DECA,AEBD,.四边形AODE是平行四边形， 在矩形ABCD中，OA= 24C,0D= 2 BD,AC=BD,.OA=OD. ,·.四边形AODE是菱形： （2)解：四边形AODE是矩形.理由如下：.·DE∥CA,AE∥BD .四边形AODE是平行四边形.在菱形ABCD中，AC⊥BD, ∠AOD=90°，∴.四边形AODE是矩形. 12.（1)解：，：∠A=60°，AG=EG,.△AGE是等边三角形，. ∠AGE=60°，∴.∠EGB=120° (2)证明：由(1)知，∠EGB=120°，.四边形ABCD为菱形，. AB∥CD,AB=AD,∴.∠A+∠D=180°.·∠A=60°，.∠D= 120°，∴.∠DEF+∠DFE=60°，∠D=∠EGB.:△AGE是等边 三角形，.AE=AG,∠AEG=60°，∴.DE=GB.∠BEF=60°，∴ ∠DEF+∠GEB=60°，∴.∠DFE=∠GEB,∴.△DFE≌△GEB (AAS),∴.EF=BE. 13.解：(1)二 (2)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.∠FAO =∠ECO.·EF是AC的垂直平分线，∴.EF⊥AC,OA=OC.: ∠AOF=∠COE,∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.E0=FO.,A0= CO,.四边形AECF是平行四边形.EF⊥AC,.平行四边形 AECF是菱形. 高效同步练习19.1.1平均数的意义 1.C2.C3.5 4.解：最高分为9.8分，最低分为9.0分，去掉一个最高分，一个 最低分后的平均分为8×(9.1+9.3+9.4+9.4+9.5+9.6+9.6+ 9.7)=9.45(分)，故这位选手的最后得分为9.45分 5.B【解析】原数据的平均数为： 6×(180+185+188+189+192+ 88(cm,斯数据的平均数为石×(180+185+188 189+194)=187.5(cm).188>187.5,∴.与换人前相比，场上 队员的身高平均数变小.故选B 6.717.8 8.解：“品行规范”的平均分为.95+90+85 =90(分)，“学习规范” 3 的平均分为： 80+85+90 3 =85(分)，由题意可得：两项均满足的 为乙同学，故应推选乙 高效同步练习19.1.2加权平均数 1.B2.C3.86分 4.解：根据加权平均数的计算公式可得：9×40%+7×30%+8×30% =8.1(分)，答：该班的最终得分是8.1分 ZBH八年级数学下册高效同步练习18 知识点①正方形的定义及性质 1.(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质 是( ) A.四边相等 B.对角线相等 C.对角相等 D.对角线互相垂直 2.一题多解(3分)如图，在正方形ABCD中，对 角线AC的长为2cm,则该正方形的面积 为( ）cm2. 1 A. B.1 C.√2 D.2 2 第2题图 第3题图 3.(3分)如图所示，在正方形ABCD中，E是AC 上的一点，且AB=AE,则∠BEC的度 数是( A.135° B.120° C.112.5° D.110 【技巧点拨】求解正方形中的相关角度时一般要运 用正方形的性质，即四个内角均等于90°、对角线平 章 分一组对角等，通常还要结合其他知识，如等腰直 角三角形的性质等。 4.学科内部融合(3分)如图，在平面直角坐标 系中，正方形OABC的顶点O,B的坐标分别 是(0,0)，(2,0)，则顶点C的坐标是( A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1) 54 25分钟同步练习，精炼高效抓 .3 正方形 5.（10分)如图，正方形ABCD的边长为4，E,F 分别为DC,BC的中点 (1)求证：△ADE≌△ABF; (2)求△AEF的面积 知识点②正方形的判定 6.（3分)下列叙述错误的是( A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.有一个角是直角的菱形是正方形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 7.[教练习变式](3分)小明用次数最少的对折 方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方 形，他对折了( ) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 8.(9分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,在AC上截取OE=OF=OB,顺次连 结B,F,D,E四点.求证：四边形BFDE是正方 形 考点ZBH八年级数学下册 9.(3分)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ABE,则∠BED的大小为() A.15° B.35° C.45° D.55 10.（3分)如图，点E是边长为6的正 方形ABCD对角线上的一动点，若 四边形EFCG为矩形，则矩形EFCG 的周长为() A.6 B.10 C.12 D.无法确定 A 第10题图 第11题图 11.学习情境·动点探究(3分)如图，正方形AB CD的边长为16，点M在边DC上，且DM= 4,点N是对角线AC上一动点，则线段DN+ MW的最小值为( A.12 B.16 C.20 D.24 12.新趋势·开放性试题(10分)如图，已知在 △ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂 足为点E (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明 25分钟同步练习，精炼高效抓 13.学科素养·推理能力[教材复习题变式](10 分)已知四边形ABCD和AEFG均为正方形 观察猜想 (1)如图1，当点A,B,G三点在一条直线上 时，连结BE,DG,则线段BE与DG的数量关 系是 ,位置关系是 类比探究 (2)如图2，将正方形AEFG在平面内绕点A 逆时针旋转到图2时，则(1)的结论是否成 立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； 拓展延伸 (3)在(2)的条件下，将正方形AEFG在平面 内绕点A任意旋转，若AE=2,AB=5,则BE 的最大值为 ,最小值为 D 图1 图2 第18章 考点ZBH八年级数学下册 55 数学活动 探索图形变化中的不变量 1.（3分)如图，已知平行四边形框架ABCD,现 (1)求证：PB=PE; 将木条BC固定不动，向右推动框架至AB⊥ (2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2，若正方 BC,整个变化过程中，下列说法不正确的 形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程 是() 中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直 接写出这个不变的值；若变化，请说明理由， A.四边形ABCD由平行四边形变成矩形 B.点B,D之间的距离不变 图 图2 C.四边形ABCD的面积变大 D.四边形ABCD的周长不变 2.(8分)出入相补原理是我国古代数学的重要 成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创 建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形， 几何图形的总面积保持不变，等于所分割成 的小图形的面积之和”是该原理的重要内容 4.(9分)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4, 之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12, ∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分 对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的 别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、 一个动点，EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点 C、D重合 F,G,求EF+EG的长 (1)证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总 有BE=CF; (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边 形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求 章 出这个定值；如果变化，求出最大（或最 小)值. 3.(9分)如图1，正方形ABCD中，点O是对角 线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O 重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边 CD于点E. 56 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBH八年级数学下册