精品解析：贵州贵阳市清华中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

贵阳市清华中学2028届高一下数学第二次月考 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. （ ） A. i B. C. D. 3. 下列为旋转体的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇.有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间存在关系，其中k为常数.在电池容量不变的条件下，当时，：当时，.则电池的容量C为（ ） A. 6600 B. 6800 C. 7000 D. 7200 8. 已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若，则向量与向量所成的角为锐角 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的表面积为_____________. 13. 甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，始建于明万历二十六年（1598年），是贵阳历史的见证.为了测量甲秀楼的高度，某同学选取了与甲秀楼底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则甲秀楼的高为________米. 14. 已知，均为正数，若，则最小值为________. 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，且函数. （1）求平面向量的模和函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求； （2）若的面积为，求，； （3）求周长的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 19. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）证明：在区间上单调递增； （3）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市清华中学2028届高一下数学第二次月考 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，可得或， 又，则. 故选：D 2. （ ） A. i B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 下列为旋转体的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的概念判断即可. 【详解】对于A，球是旋转体，直径是球的旋转轴，故A符合题意； 对于B，长方体是多面体，故B不符合题意； 对于C，四棱锥是多面体，故C不符合题意； 对于D，三棱柱是多面体，故D不符合题意. 4. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为边的中点，， 所以. 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果. 【详解】在中，由余弦定理得， 将已知条件代入，得， 即，化简得， 整理得，因式分解得，所以或， 因为三角形边长为正数，所以. 故选项C正确. 7. 近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇.有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间存在关系，其中k为常数.在电池容量不变的条件下，当时，：当时，.则电池的容量C为（ ） A. 6600 B. 6800 C. 7000 D. 7200 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程组可求得结果. 【详解】根据题意可得，即，化简得， 所以，则， 故选：D. 8. 已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用外接球的性质先找到球心，分别取、的外心作所在平面的垂线，两条垂线的交点即球心，再计算出球半径，即可求出球的体积. 【详解】由于，， 所以，， ，， 又，故为等边三角形， 分别取、的外心作所在平面的垂线, 两条垂线的交点即球心， 连接交于点,连接,则点为中点，由于为等边三角形, 那么,由于平面平面， 平面,平面平面, 所以，平面， 同理，可得 平面 又平面,平面 所以，四边形为矩形， 设、的外接圆半径分别为，那么, ， 设球为，则, . 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若，则向量与向量所成的角为锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义求得判断A；对于B，C，D，根据向量数量积的运算律，向量垂直的表达式以及向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由取平方，可得，即得， 因，则， 又，则，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，由，可知向量与向量垂直，故C正确； 对于D，由， 当时，，但是，当时，与共线且方向相同， 此时向量与向量所成的角不为锐角，故D错误. 故选：BC. 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的表面积为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】设底面直径，则底面半径，而母线，则圆锥的表面积. 13. 甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，始建于明万历二十六年（1598年），是贵阳历史的见证.为了测量甲秀楼的高度，某同学选取了与甲秀楼底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则甲秀楼的高为________米. 【答案】20 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，设，则，，由余弦定理列出方程，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 设， 因为，，则，， ，， 由余弦定理得， 即，解得，负值舍去， 故甲秀楼的高为20米. 故答案为：20 14. 已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当​，即时取等号， 故的最小值为. 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，且函数. （1）求平面向量的模和函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1），最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）应用坐标公式求向量的模，再由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数式，进而求最小正周期； （2）根据正弦函数的性质求递增区间即可. 【小问1详解】 由， 由题设， 所以最小正周期为； 【小问2详解】 令，解得， 故函数的单调递增区间为 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求； （2）若的面积为，求，； （3）求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简即可以求出角的值； （2）利用三角形面积公式结合（1）中角的可以求得，，再使用余弦定理，，，联立方程求出; （3）方法一：由正弦定理，得，，把周长转化为三角函数求解周长的取值范围；方法二：因为，，由余弦定理，得，使用均值不等式求出周长的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得 , , 由于， ， 因为，所以， 因为，解得； 【小问2详解】 由（1）知，则，所以， 由余弦定理，，又， 则 ， 解得，所以； 【小问3详解】 （法一）因为，，由正弦定理， 得， 又因为，所以 所以 又因为，所以 所以 ，所以 即，所以 所以三角形的周长的取值范围. （法二）因为，，由余弦定理，得， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，又因为，所以，所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 18. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 19. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）证明：在区间上单调递增； （3）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明：函数，则，解得或， 即函数的定义域为， 又，所以为奇函数. （2）证明：任取，，且，则.因为，所以，又因为在区间上单调递增，所以，故，所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行判断； （2）利用定义法判断函数的单调性即可； （3）将条件转化为存在，使得成立的问题，等价于属于 的值域求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 函数代入方程，整理可得， 等价于在内有实数根，对于任意，，故的条件 对于方程的任意实数根自动满足，并整理得， 令，化简得. 令，由得，则. 对勾函数​在单调递减，在单调递增， 最小值为（当时取等），且对任意，都存在对应， ，且时， 因此的值域为，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $