23.4 实际问题与一次函数 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一次函数”中的方案问题，通过游泳馆年卡套餐等生活实例导入，引导学生分析变量、建立分段函数，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，衔接一次函数概念与应用。 其亮点是以租车、进货等真实情境为载体，通过问题驱动和模型建构，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。例如通过比较不同套餐费用函数，引导学生用数学思维分析最优方案，小结流程清晰，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富教学案例。

人教·八年级数学下册 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 方案问题 新知导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的. 在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数． 探究新知 下表给出了某游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 该问题要我们做什么？ 选择方案的依据是什么？ 根据省钱原则选择方案 一、选择方案 探究新知 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 1.哪种游泳费用是会变化的？哪种不变？ 2.在A，B两种套餐中，游泳费用哪些部分组成？ 3.影响套餐外游泳费用的变量是什么？ 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ A、B会变化，C不变. 游泳费=年卡费用+套餐外费用. 套餐外游泳次数. 没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关. 探究新知 5.设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数，要比较它们，需在 x ≥ 0 时，考虑何时 （1） y1 = y2； （2） y1 < y2； （3） y1 > y2. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 6.在套餐A中，套餐外收费一定会产生吗？什么情况下才会有套餐外费用？ 不一定，只有在年有用次数超过20次时才会产生． 探究新知 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 当0≤x≤20时，y1=600 当x＞20时，y1=600+40（x-20）=40x-200 6.在套餐A中，套餐外收费一定会产生吗？什么情况下才会有套餐外费用？ 不一定，只有在年有用次数超过20次时才会产生． 探究新知 7.你能自己写出套餐B的游泳y2关于年游泳次数x的函数解析式吗? 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 套餐C的游泳费用y3关于年游泳次数x的函数解析式呢? 当x≥0时，y3=1 800. 探究新知 8.当年游泳次数________时，选择套餐A能节省游泳费用. 当年游泳次数_________时，选择套餐B能节省游泳费用. 当年游泳次数_________时，选择套餐C能节省游泳费用. 在同一坐标系画出它们的图象： 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 400 y/元 x/h O 20 800 30 600 200 10 40 50 60 0＜x≤35 y1=y2时，x=35. 35≤x≤65 y2=y3时，x=65. x＞65 探究新知 这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？ 实际问题 一次函数问题 设变量找对应关系 实际问题的解 一次函数问题的解 解释实际意义 探究新知 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 解决方案问题步骤： 1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）. 2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围. 3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳方案. 新知应用 某公司要印制产品宣传材料. 甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收 1 元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收 2.5 元印制费. （1）分别写出两家印刷厂的收费 y（单位：元）关于印制宣传材料数量 x（单位：份）的函数解析式； （2）选择哪家印刷厂比较合算？ 解：（1）由题意得， y甲 = 1500 + x（x≥0,且x为整数） y乙 = 2.5x （x≥0,且x为整数） 新知应用 （2） 当y甲 ＞ y乙时 , 1500 + x＞2.5x , 解得： x＜1000 当y甲 ＝ y乙时 , 1500 + x＝2.5x , 解得： x＝1000 当y甲 ＜ y乙时 , 1500 + x＜2.5x , 解得： x＞1000 ∴当0＜x＜1000时，选择乙印刷厂合算； 当x＝1000时，选择甲、乙印刷厂一样合算； 当x＞1000时，选择甲印刷厂合算 探究新知 二、设计方案 上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择，但如果方案不是指定的，需要自己制定，又该怎么做呢？ 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. ①要保证240名师生乘车都有座位； ②要使每辆客车上至少有1名教师. 探究新知 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题1：影响租车费用的因素有哪些？ 甲、乙两种车所租辆数. 问题2：客车总数又与哪些因素有关？ 与乘车人数有关. 问题3：租车有哪几种方案？ （1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；（3）甲、乙两种车都租 问题4：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 单独租甲种车要 6 辆，单独租乙种车要 8 辆. 240÷30 = 8 探究新知 问题5：如何由乘车人数确定客车总数呢？ ①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6． ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6． 综合起来可知客车总数为6辆． 问题6：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车 x 辆，你能求出租车费用吗？ 解：设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车(6－x)辆， 设租车费用为y元，根据表格可知： y=400x+280(6－x) 化简，得y=120x+1680 探究新知 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题7：如何确定y=120x+1680中x的取值？ 为使240名师生乘车都有座位，则 45x+30(6－x) ≥ 240 为使租车费用不超过2300元，则 120x+1680 ≤ 2300 由题意得 45x+30(6－x) ≥ 240， 120x+1680 ≤ 2300， 解得 4 ≤ x ≤ ∴x的取值为4或5 探究新知 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题8：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由． 方案一：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车 y1=120×4+1680＝2160 方案二：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车 y2=120×5+1680＝2280 由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小. 探究新知 【归纳总结】 方案设计型问题的解题策略： 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： ①根据题意求出函数解析式； ②由图象、题设信息列不等式（组）求得自变量的取值范围； ③利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案. 新知应用 某文具店购进 A，B 两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过 2 000 元的资金采购这两种计算器共 100 台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 新知应用 解：设购进 A 型号计算器 x 台，利润为 y 元，则购进 B 型号计算器(100－x)台. 由题意，得 y = (32－22)x + (25－19)(100－x) = 4x + 600 ∴y 随 x 的增大而增大 ∵22x +19（100-x）≤2000 又 ∵x 为整数， ∴当 x = 33 时，y 取最大值， 最大值为 4×33 + 600 = 732. 答：利润最大的进货方案为购进 A 型号计算器 33 台，B 型号计算器 67 台，最大利润为 732 元. ∵k =4＞0 课堂小结 选择方案—物资调配类问题 建立数学模型 确定自变量取值范围 利用函数增减性选出最佳方案 拓展 2. 汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服＋景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件(2种服装都要)，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价/(元/件) 售价/(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． 金P86 拓展 金P86 (1)求y与x之间的函数解析式，写出自变量的范围； 解：(1)由题意，得y＝(100－80)x＋(200－100)(120－x)＝－80x＋12 000. ∴y与x之间的函数解析式为y＝－80x＋12 000(0<x<120)． (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服选购多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． (2)由题意得，120－x≤2x 解得x≥40 由(1)，知y＝－80x＋12 000 ∵k＝－80<0 ∴y随x的增大而减小 ∴当x＝40时，y取最大值 y最大＝－80×40＋12 000＝8 800 答：当甲汉服选购40件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多，最大利润为8 800元． 拓展 例 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示: 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 （1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ （2）该厂如何生产获得最大利润？ （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本） 分析：可用信息： ①A、B两种型号的挖掘机共100台； ②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元； ③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出. 拓展 解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，根据题意得 （1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ 分析：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意得不等式组 ； ∴有三种生产方案， 方案一、A型38台，B型62台； 方案二、A型39台，B型61台； 方案三、A型40台， B型60台. 解得 37.5≤x≤40 ∵x取正整数, ∴x取38、39、40 拓展 （2）该厂如何生产获得最大利润？ 分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖掘机数量的函数关系式; ∴当x=38时，W最大=－10x＋6000=－10×38+6000= 5620 （万元） 根据题意得，W=50x＋60（100－x）= －10x＋6000 解：设获得利润为W（万元） ∴生产A型38台，B型62台时，获得利润最大. 拓展 （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？ 分析：在（2）的基础上，售价改变，则应重新建立利润与挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m的取值范围. ③当m＞10时，取x=40，W最大， 即A型挖掘机生产40台，B型生产60台. 解：由题意知：W=（50+m）x+60（100-x）= (m-10)x+6000 ∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ， 即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台； ②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等； 拓展 金P91 17． “地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息： 类别 甲商品 乙商品 进价/(元/件) 65 5 售价/(元/件) 90 10 小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元． (1)求出y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围； 解：(1)由题意购进甲商品x件，则购进乙商品(100－x)件． ∴y＝(90－65)x＋(10－5)(100－x)． ∴y＝20x＋500(0≤x≤100)． 拓展 金P91 17． “地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息： 类别 甲商品 乙商品 进价/(元/件) 65 5 售价/(元/件) 90 10 小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元． (2)小明用不超过3 500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围； (2)由题意，得65x＋5(100－x)≤3 500 ∴0≤x≤50 解得x≤50 又∵x≥0 拓展 金P91 (3)在(2)的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1 450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？ (3)由题意，得20x＋500≥1 450 解得x≥47.5 ∴47.5≤x≤50 又∵x为整数 ∴x＝48，49，50 由（2）可知，x≤50 ∴进货方案有3种： 方案1、甲商品进48件，乙商品进52件； 方案2、甲商品进49件，乙商品进51件； 方案3、甲商品进50件，乙商品进50件． ∵y＝20x＋500，k＝20>0 ∴y随x的增大而增大 ∴当x＝50时，有最大利润． ∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值． ∴最大利润为20×50＋500＝1 500(元)． $