江苏省南京市玄武区2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 立足七年级下册核心知识，融合嫦娥六号科技素材与航天展览馆购票等生活情境，通过基础运算、动态几何探究等梯度设计，考查抽象能力、空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|图形对称（安全图标）、代数运算|结合安全教育日情境，考查几何直观| |填空题|10/20|科学记数法（嫦娥六号数据）、新定义运算|融入科技数据，设计换元法解方程组| |解答题|11/88|方案设计（航天展览馆购票）、动态几何（三角尺旋转）|三任务问题解决，探究旋转中角的数量关系|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. 假  9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 或  16. 或或  17. 【小题】 解： ； 【小题】 解： ．   18. 【小题】 解： 得，， 得，， 代入到得，， 解得：， 方程组的解为； 【小题】 解： 解不等式，去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：， 解不等式，去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为．   19. 绿化部分的总面积为平方米；   绿化部分的总面积为平方米．  20. 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 等量代换   21. ；   ，．  22. 解：，； ， ，   23. 解：如图，即为所求． 如图，即为所求； 与成中心对称，对称中心是线段与线段的交点．  24. 解： ； 故答案为：     故答案为：； 原式   25. 设场馆和场馆门票的价格分别为元张、元张， 购买张场馆门票和张场馆门票共需元， 购买张场馆门票和张场馆门票共需元， 依题意得解得 答：场馆和场馆门票的价格分别为元张、元张 设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 购买场馆门票张． 想去场馆的人数不少于人， ． 想参观场馆的人数多于想参观场馆的人数， ，解得，依题意得， 解得，． 是整数，取或， 有两种购买方案． 方案一：购买场馆门票张，则购买场馆门票张，购买场馆门票张 方案二：购买场馆门票张，则购买场馆门票张，购买场馆门票张． 选方案一，理由如下：方案一：元， 方案二：元． ， 仅从经费的使用情况来考虑，选择方案一更好．   26. 解：，   ； ； 由“杨辉三角”可知，原式．  27. 解：，； 当时，，理由如下： 如图， 中，，， ， ， ，， ， 即； 当时，，理由如下： 如图， 中，；， ， ， ，， ， 即； 综上，或； 或．  【解析】 1. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2. 运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则，逐一判断运算正误即可． 【详解】解：、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意． D、当时，，故该选项不符合题意； 3. 解：、，，不等式一定成立，符合题意； B、，，原不等式不一定成立，不符合题意； C、，，原不等式不一定成立，不符合题意； D、，且，，原不等式不一定成立，不符合题意． 故选：． 根据不等式的性质逐一判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 4. 略 5. 略 6. 【分析】 本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 本题主要利用面积公式求证平方差公式，首先分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可验证平方差公式． 【解答】 解：在图中，左边的图形阴影部分的面积， 右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积， 右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积， 右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式． 故选D． 7. 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解： 用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 8. 举出反例即可判断该命题为假命题． 【详解】解：当时，满足，此时，，则， 故原命题为假命题． 9. 解：由平移的性质可知，，与的高相等，设高为． ， ， 解得． ，， ， ． 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 先根据平移的性质，结合的面积求出的高，再计算阴影部分的底边长，最后利用三角形面积公式求解． 本题考查了平移的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用平移前后图形的高不变，先求出三角形的高，再计算阴影部分面积；易错点是混淆平移距离与线段长度，误将的长度直接作为阴影部分的底边长． 10. 略 11. 解：由题意得， 解得：， 为整数， ． 故答案为：． 根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，据此列出不等式组，再求不等式组的解集，最后确定的整数值即可解答． 本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟知以上运算法则是解题的关键． 12. 解：， ， ． 13. 略 14. 解：方程整理得：， 根据方程组解是，得到， 解得：， 故答案为： 方程组整理后，仿照已知方程组的解确定出解即可． 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 15. 因为，所以，则， 因为， 所以， 整理得， 当时，， 则，解得． 因为为整数， 所以 当时，，则， 解得． 因为为整数， 所以． 综上，的值是或． 16. 因为，，，，所以又绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行，所以有或或分类讨论如下：如图，当时，设交于点，则又，，所以所以旋转的时间为秒； 如图，当时，又，所以所以旋转的时间为秒； 如图，当时，延长交于点，则又，，，所以，即所以旋转的时间为秒综上，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒． 17.   本题考查了整式乘法的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则化简，再合并即可；  利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并即可． 18.   利用加减消元法解方程组即可； 本题考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．  先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 19. 解：用含有，的式子表示绿化部分的总面积 平方米． 答：用含有，的式子表示绿化部分的总面积为平方米． 当，时， 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； 把，，代入中算出的式子即可得出答案． 本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． 20. 略 21. 解：， 由得：， 则， 将代入得：， 则， 为正数，为非负数， ， 解得不等式组的解集为：； ， ， 不等式的解为， ， ， ， 的整数值为，． 利用加减消元法解方程组，再解关于的不等式组即可； 根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键． 22. 【分析】 本题主要考查的是不等式的基本性质的有关知识． 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； 不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【解答】 解：因为且，均为正， 所以，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变， 所以不等式的传递性； 见答案 23. 本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； 分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； 根据中心对称图形的定义判断即可． 24. 【分析】利用乘方的含义与分配律的应用可得答案； 利用乘方的含义与乘法的分配律的应用可得答案； 利用中的规律进行运算即可． 本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，掌握“乘方的含义与分配律的应用”是解本题的关键． 25. 略 26. 【分析】 根据展开式的系数规律可得答案； 先根据规律写出，再把，代入即可； 根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 本题考查图形和数式规律问题，根据题中所给式子找到规律是解题的关键． 【解答】 解：由杨辉三角的系数规律可得， ， 展开式共有项，第三项是． 故答案为：，． ， 当，时，原式． 故答案为：． 见答案． 27. 解：中，，， 当时，， 中，，， ， ， 当时，， ， 故答案为：，； 见答案； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ， ； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ， ； 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 根据当时，，当时，，求解即可； 分两种情况：当时或当时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可； 分两种情况：当时或当时，分别列不等式求解即可． 本题考查平行线的判定与性质，一元一次不等式的应用，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 第2页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日是第个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 当心淹溺 B. 当心落水 C. 禁止翻越 D. 急救站 【答案】D  【解析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则，逐一判断运算正误即可． 【详解】解：、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意． D、当时，，故该选项不符合题意； 3.若，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、，，不等式一定成立，符合题意； B、，，原不等式不一定成立，不符合题意； C、，，原不等式不一定成立，不符合题意； D、，且，，原不等式不一定成立，不符合题意． 故选：． 根据不等式的性质逐一判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 4.小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B  【解析】略 6.如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出如图的种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 本题主要利用面积公式求证平方差公式，首先分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可验证平方差公式． 【解答】 解：在图中，左边的图形阴影部分的面积， 右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积， 右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积， 右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式． 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、熔化、经高科技拉成直径约为米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据 用科学记数法表示为          ． 【答案】  【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解： 用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 8.命题“如果，那么”是          命题．填“真”或“假” 【答案】假  【解析】举出反例即可判断该命题为假命题． 【详解】解：当时，满足，此时，，则， 故原命题为假命题． 9.如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为        ． 【答案】  【解析】解：由平移的性质可知，，与的高相等，设高为． ， ， 解得． ，， ， ． 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 先根据平移的性质，结合的面积求出的高，再计算阴影部分的底边长，最后利用三角形面积公式求解． 本题考查了平移的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用平移前后图形的高不变，先求出三角形的高，再计算阴影部分面积；易错点是混淆平移距离与线段长度，误将的长度直接作为阴影部分的底边长． 10.下表中，的值是方程的解的是          ． 【答案】  【解析】略 11.点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：由题意得， 解得：， 为整数， ． 故答案为：． 根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，据此列出不等式组，再求不等式组的解集，最后确定的整数值即可解答． 本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟知以上运算法则是解题的关键． 12.若，则的值是          ． 【答案】  【解析】解：， ， ． 13.如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转          度，会与原图案重合． 【答案】  【解析】略 14.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是      ___． 【答案】  【解析】解：方程整理得：， 根据方程组解是，得到， 解得：， 故答案为： 方程组整理后，仿照已知方程组的解确定出解即可． 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 15.新定义一个运算：例如，用表示大于的最小整数，例如，，按照上述规定，如果整数满足，则的值是          ． 【答案】或  【解析】因为，所以，则， 因为， 所以， 整理得， 当时，， 则，解得． 因为为整数， 所以 当时，，则， 解得． 因为为整数， 所以． 综上，的值是或． 16.如图，直角三角形纸片和直角三角形纸片完全相同，且，两点重合，点在边上，与交于点，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为          秒 【答案】或或  【解析】因为，，，，所以又绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行，所以有或或分类讨论如下：如图，当时，设交于点，则又，，所以所以旋转的时间为秒； 如图，当时，又，所以所以旋转的时间为秒； 如图，当时，延长交于点，则又，，，所以，即所以旋转的时间为秒综上，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 【答案】(1)解： ；   (2)解： ．   【解析】  本题考查了整式乘法的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则化简，再合并即可；  利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并即可． 18.本小题分解方程组或不等式组 解方程组； 解不等式组． 【答案】(1)解：， 得，， 得，， 代入到①得，， 解得：， ∴方程组的解为；   (2)解：， 解不等式①，去括号得：x-2x+2≤1， 合并同类项得：-x+2≤1， 移项得：-x≤1-2, 系数化为1得：， 解不等式②，去分母得：1+x>3(x-1), 去括号得：1+x>3x-3, 移项得：x-3x>-3-1, 合并同类项得：-2x>-4， 系数化为1得：， ∴不等式组的解集为．   【解析】  利用加减消元法解方程组即可； 本题考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．  先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 19.本小题分 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． 用含有，的式子表示绿化部分的总面积；结果写成最简形式 若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】绿化部分的总面积为平方米；   绿化部分的总面积为平方米．  【解析】解：用含有，的式子表示绿化部分的总面积 平方米． 答：用含有，的式子表示绿化部分的总面积为平方米． 当，时， 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； 把，，代入中算出的式子即可得出答案． 本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． 20.本小题分 已知：如图，，，垂足分别为、，． 求证：为的平分线． 证明：，已知，                                    ．                         ，                         ， 又已知，                               ， 即为的平分线． 【答案】垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 等量代换   【解析】略 21.本小题分 已知方程组的解满足为正数，为非负数． 求的取值范围； 若不等式的解为求的整数值． 【答案】；   ，．  【解析】解：， 由得：， 则， 将代入得：， 则， 为正数，为非负数， ， 解得不等式组的解集为：； ， ， 不等式的解为， ， ， ， 的整数值为，． 利用加减消元法解方程组，再解关于的不等式组即可； 根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键． 22.本小题分 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以          ，          不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变 所以不等式的传递性 解决问题： 请将上面的证明过程填写完整． 尝试证明：若，则． 【答案】解：，； ， ，   【解析】【分析】 本题主要考查的是不等式的基本性质的有关知识． 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； 不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【解答】 解：因为且，均为正， 所以，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变， 所以不等式的传递性； 见答案 23.本小题分 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点和格点． 平移，使得点与点重合，画出平移后的 画出关于点成中心对称的 判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 【答案】解：如图，即为所求． 如图，即为所求； 与成中心对称，对称中心是线段与线段的交点．  【解析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； 分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； 根据中心对称图形的定义判断即可． 24.本小题分 阅读并填空：， ， ， 为正整数． 计算：； ． 计算：． 【答案】解： ； 故答案为：     故答案为：； 原式   【解析】【分析】利用乘方的含义与分配律的应用可得答案； 利用乘方的含义与乘法的分配律的应用可得答案； 利用中的规律进行运算即可． 本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，掌握“乘方的含义与分配律的应用”是解本题的关键． 25.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材 某班位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元，场馆门票每张元． 素材 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆门票的价格． 任务 设计购买方案 在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果中，想参观场馆的人数都是想参观场馆人数的倍，且想参观场馆的人数不少于人，而想参观场馆的人数多于想参观场馆的人数，由于班级可用经费仅有元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案． 任务 选择最优购买方案 如果仅从经费的使用情况这一角度来分析，你觉得选择任务中的哪个方案更好？请说明理由． 【答案】设场馆和场馆门票的价格分别为元张、元张， 购买张场馆门票和张场馆门票共需元， 购买张场馆门票和张场馆门票共需元， 依题意得解得 答：场馆和场馆门票的价格分别为元张、元张 设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 购买场馆门票张． 想去场馆的人数不少于人， ． 想参观场馆的人数多于想参观场馆的人数， ，解得，依题意得， 解得，． 是整数，取或， 有两种购买方案． 方案一：购买场馆门票张，则购买场馆门票张，购买场馆门票张 方案二：购买场馆门票张，则购买场馆门票张，购买场馆门票张． 选方案一，理由如下：方案一：元， 方案二：元． ， 仅从经费的使用情况来考虑，选择方案一更好．   【解析】略 26.本小题分 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图的“杨辉三角”就是其中之一．如图，杨辉三角给出了为正整数的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序排列例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数等． 按上述规律，展开式中共有______项，第三项是______； 请直接写出的展开式______． 利用上面的规律计算：． 【答案】解：，   ； ； 由“杨辉三角”可知，原式．  【解析】【分析】 根据展开式的系数规律可得答案； 先根据规律写出，再把，代入即可； 根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 本题考查图形和数式规律问题，根据题中所给式子找到规律是解题的关键． 【解答】 解：由杨辉三角的系数规律可得， ， 展开式共有项，第三项是． 故答案为：，． ， 当，时，原式． 故答案为：． 见答案． 27.本小题分 有一副三角尺，其中中，，；中，，，将这副直角三角尺按如图放置此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． 当        时，；当        时，； 如图，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； 在的条件下，若，直接写出的取值范围        ． 【答案】解：，； 当时，，理由如下： 如图， 中，，， ， ， ，， ， 即； 当时，，理由如下： 如图， 中，；， ， ， ，， ， 即； 综上，或； 或．  【解析】解：中，，， 当时，， 中，，， ， ， 当时，， ， 故答案为：，； 见答案； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ， ； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ， ； 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 根据当时，，当时，，求解即可； 分两种情况：当时或当时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可； 分两种情况：当时或当时，分别列不等式求解即可． 本题考查平行线的判定与性质，一元一次不等式的应用，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 第20页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日是第个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 当心淹溺B. 当心落水C. 禁止翻越D. 急救站 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出如图的种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、熔化、经高科技拉成直径约为米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据 用科学记数法表示为          ． 8.命题“如果，那么”是          命题．填“真”或“假” 9.如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为        ． 10.下表中，的值是方程的解的是          ． 11.点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则的值为        ． 12.若，则的值是          ． 13.如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转          度，会与原图案重合． 14.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是      ___． 15.新定义一个运算：例如，用表示大于的最小整数，例如，，按照上述规定，如果整数满足，则的值是          ． 16.如图，直角三角形纸片和直角三角形纸片完全相同，且，两点重合，点在边上，与交于点，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为          秒 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17本小题分.计算： ； ． 18.本小题分解方程组或不等式组 解方程组； 解不等式组． 19.本小题分如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． 用含有，的式子表示绿化部分的总面积；结果写成最简形式 若，，求出绿化部分的总面积． 20.本小题分已知：如图，，，垂足分别为、，． 求证：为的平分线． 证明：，已知，                                    ．                         ，                         ， 又已知，                               ， 即为的平分线． 21.本小题分 已知方程组的解满足为正数，为非负数． 求的取值范围； 若不等式的解为求的整数值． 22.本小题分 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以          ，          不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变 所以不等式的传递性 解决问题： 请将上面的证明过程填写完整． 尝试证明：若，则． 23.本小题分 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点和格点． 平移，使得点与点重合，画出平移后的 画出关于点成中心对称的 判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 24.本小题分 阅读并填空：， ， ， 为正整数． 计算：； ． 计算：． 25.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材 某班位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元，场馆门票每张元． 素材 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆门票的价格． 任务 设计购买方案 在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果中，想参观场馆的人数都是想参观场馆人数的倍，且想参观场馆的人数不少于人，而想参观场馆的人数多于想参观场馆的人数，由于班级可用经费仅有元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案． 任务 选择最优购买方案 如果仅从经费的使用情况这一角度来分析，你觉得选择任务中的哪个方案更好？请说明理由． 26.本小题分 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图的“杨辉三角”就是其中之一．如图，杨辉三角给出了为正整数的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序排列例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数等． 按上述规律，展开式中共有______项，第三项是______； 请直接写出的展开式______． 利用上面的规律计算：． 27.本小题分 有一副三角尺，其中中，，；中，，，将这副直角三角尺按如图放置此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． 当        时，；当        时，； 如图，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； 在的条件下，若，直接写出的取值范围        ． 第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日.下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是 () A.当心淹溺 B.当心落水 C 禁止翻越 D.急救站 2.下列运算正确的是() A.a2-a2=a2 B.(a-b2=a2+b2 C.a2.a3=a5 D.a5÷a2=a2(a≠0) 3.若a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a+c>b+c B.ac2>bc2 c> D.a2>b2 4.小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大 壮的得分是() ● 小虎19分 大壮分 明明21分 A.20 B.22 C.23 D.25 第1页，共9页 5.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是() ● A.点M B.点N C.点P D.点Q 6.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形将阴影部分通过割、 拼，形成新的图形，给出如图的3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是() 图① 图2 图3 A.①② B.②③ c.①③ D.①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、熔化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗 在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据0.0000167用科学记数法表示为 8.命题“如果a≥b,那么a2>b2”是命题.（填“真”或“假”） 9.如图，△OAB的边OB长为3，把△OAB沿OB方向平移2个单位长度，得到△CDE,连接AC,DB,若△DBE 的面积为3，则图中阴影部分的面积为· D 10.下表中x,y的值是方程3x+y=5的解的是 5 20.4 3 12.85 第2页，共9页 11.点M(1一a,12-4a)在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a的值为一。 12.若a2m+1=a2-3m=2,则an+3m的值是 13.如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转度，会与原图案重合. 1三个同学对问题“若方细的十8品-8解定代二子，求方程+3二5器解，”出 各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试 试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们 的讨论，你认为这个题目的解应该是 15.新定义一个运算：a·b= 022b0之侧21=22×1=2,12=-1+2×2=3用<m >表示大于m的最小整数，例如<1>=2，<3.2>=4，<一3>=-2.按照上述规定，如果整数x满足< -2·3>=-2<1·x>+11,则x的值是 16.如图，直角三角形纸片ABC和直角三角形纸片DEF完全相同，且B,D两点重合，点F在边BC上，AB与EF 交于点G,∠C=∠EFD=90°，∠E=∠ABC=30°.现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向 旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为秒， B(D) 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17(本小题6分).计算： (1)(a3)2+(a2)3-a·a5: (2)2(x+3)(x-3)-(2x-1)(x-2) 第3页，共9页 18.(本小题6分)解方程组或不等式组 x-2(x-1)≤1 (1)解方程组{ x+2y=0 3x+4y=6: ②解不等式组兰>-1 19.(本小题6分)如图，和谐广场有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形土地，现要将阴影部分进 行绿化，在上方两角处留两块边长为（α一b)米的小正方形空地. (1)用含有a,b的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） (2)若a=40,b=20,求出绿化部分的总面积. 2a+b 3a+b 20.(本小题8分)已知：如图，AD1BC,EG1BC,垂足分别为D、G,∠1=∠E. 求证：AD为LBAC的平分线， 证明：AD1BC,EG⊥BC(已知)， .∠ADC=∠EGC=90() ·AD1/(). ×1=(), LE=(), 又~∠1=∠E(已知， ·人=4() 第4页，共9页 即AD为LBAC的平分线. 21.(本小题8分) 已知方程组(》=623m的解满足x为正数，y为非负数。 (1)求m的取值范围： (2)若不等式(2m-1)x-2m<-1的解为x>1.求m的整数值. 22.(本小题8分) 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如 下例题： 例：已知实数x、y满足x>y>0,证明：x2>y2. 证明：因为x>y且x,y均为正， 所以x2>一，xy>一（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2>y(不等式的传递性) 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整， (②)尝试证明：若a<b,则士<b 第5页，共9页 23.(本小题8分) 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和格点O A o B C (1)平移△ABC,使得点A与点O重合，画出平移后的△A'B'C; (2)画出△ABC关于点O成中心对称的△DEF; (3)判断△A'BC与△DEF是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心G. 24.(本小题8分) (1)阅读并填空：22-21=21×(2-1)=21， 23-22=22×(2-1)=22, 24-23=23×(2-1)=23, 2n+1一2”=-=(n为正整数) (2)计算：①2100-29=； ②210+210-211=. (3)计算：21+22+…+21000 第6页，共9页 25.(本小题10分) 根据以下素材，探索完成任务. 如何选择购买方案 某班30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A,B,C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3 张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元. 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观参观当天刚好有优惠 活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票 问题解决 确定 场馆 (1)求A场馆和B场馆门票的价格. 门票 价格 (2)在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发 個设计 现每次统计的结果中，想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人 穷购买 数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元， 2方案 请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案. 选择 最优3)如果仅从经费的使用情况这一角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好？请说明理 购买 由 3 方案 第7页，共9页 26.(本小题10分) 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一，如图2，杨辉三角给出了( a+b)”(n为正整数)的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列.例如，在三角形中第三行的三个 数1,2,1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数：第四行的四个数1,3,3,1，恰好对 应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中各项的系数等。 1 ................(Q+b)2 1.....(atb明 图1 图2 (1)按上述规律，(a+b)4展开式中共有_项，第三项是」 (2)请直接写出(1+y)5的展开式一一-· (3)利用上面的规律计算：26+6×25×(-2+15×24×(-2}2+20×23×(-)3+15×22×(-2)4+6 ×2×(-25+(-26, 第8页，共9页 27.(本小题10分) 有一副三角尺，其中△ABC中，∠A=90°，∠B=45°；△DEF中，∠D=90°，∠F=60°，将这副直角三角 尺按如图①放置此时边BC与EF在同一直线上，且三角尺DEF的顶点E落在边BC的中点处若将三角尺DEF绕 点E按逆时针方向旋转，旋转角为6(0°<日<90)， (1)当0=时，DE//AB:当0=时，EF//AB: (2)如图②，设边EF所在直线与边AB所在直线交于点M,边DE所在直线与边AC所在直线交于点N,记∠AME= a,∠CNE=B.在整个旋转过程中，请探究α与B的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若4x+B<150°，直接写出θ的取值范围一· D F B C E B E 图① 图② 备用图 第9页，共9页