山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高二下学期数学周测6月1日

**基本信息** 2024级高二数学周测15聚焦函数与导数核心内容，通过基础辨析、综合应用及实际问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二下学期知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数极值、单调性、充分条件|基础概念辨析，如第3题函数极值求解| |多选|3/18|函数奇偶性、导数应用|多选项分层，如第11题三次函数对称中心综合| |填空|3/15|减函数参数、单调区间、切线|小综合应用，如第14题切线与二次函数相切| |解答|5/60|切线方程、不等式恒成立、实际利润问题|梯度设计，如第17题工厂利润优化体现应用意识|

2024级高二数学下学期周测15 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知，则(    ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 2.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数在处有极值8，则等于(    ) A. B. 16 C. 或16 D. 16或18 4.设，则“”是“函数为增函数”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.定义在R上的函数满足，且时，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，若且，则的最小值为(    ) A. 2 B. 3 C. D. 7.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则(    ) A. B. C. D. 8.已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于x的不等式的解集为    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知函数，，则(    ) A. 函数为偶函数 B. 函数为奇函数 C. 函数在区间上的最大值与最小值之和为0 D. 设，则的解集为 10.已知函数，则(    ) A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 11.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数，若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则(    ) A. B. C. m的值可能是 D. m的值可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为______. 13.函数的单调递减区间是_________. 14.若函数在处的切线与的图象相切，则实数a的值为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 若函数在处取得极小值 求的图象在点处的切线方程； 若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 16.本小题12分 已知函数 讨论函数的单调性； 证明：当时，，使得 17.本小题12分 某工厂某种产品的年产量为1 000 x吨，其中，需要投入的成本为单位：万元，当时，；当时，若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. 写出年利润单位：万元关于x的函数关系式； 年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？ 18.本小题12分 已知函数 当时，讨论的单调性; 当时，，求a的取值范围. 19.本小题12分 已知函数 若的图象恒在x轴上方，求m的取值范围； 若存在正数，，满足，证明： 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 由分段函数求出，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】 解：， … 2.【答案】A  【解析】解：结合导数与单调性的关系及已知函数图象可知， 当和时，函数单调递增，， 当，函数单调递减，， 由可得，或， 解可得，或 故选： 结合图象可知，当和时，函数单调递增，，当，函数单调递减，，结合已知不等式可求． 本题主要考查了导数与单调性关系的简单应用，属于基础试题． 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出检验，求出的解析式，求出的值即可． 【解答】 解：， 若函数在处有极值8， 则，即， 解得：或， 经检验，，不合题意，舍去， 故，， 故， 故， 故选： 4.【答案】A  【解析】解：根据题意，，其定义域为， 其导数， 若函数为增函数， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 因为， 所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件． 故选： 根据题意，利用导数求出函数为增函数时a的取值范围，利用集合的包含关系即可求出结果． 本题考查函数导数与单调性的关系，涉及充分必要条件的判定，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：令，则， 因为时，， 所以时，，单调递增， 所以，， 即，所以，故C错误； ，，， 因为定义在R上的函数满足， 所以，，，， 所以，即，故A正确； 所以，即，故B错误； 所以，即，故D错误． 故选： 令，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的性质逐项判断即可得结论． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，是中档题． 作出函数的图象，由题意结合图象可得m的取值范围，再由把n用含有m的代数式表示，可得，然后再由导数求最值得答案． 【解答】 解：作出函数的图象如图， 由且，可得 而，，则， ， 令， 则， 当时，，当时，， 当时，取得最小值为 7.【答案】D  【解析】解：因为为奇函数，所以，即，所以 又 ， 由，得 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性及单调性，考查推理能力和计算能力，属于中档题. 【解答】 解： 因为是定义在R上的奇函数，则是定义在R上的偶函数， 且在上单调递增，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， ， 解得： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，涉及函数最值的分析，属中档题． 根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，其定义域为R，有， 则为奇函数，A错误； 对于B，，其定义域为R， 有，则为奇函数，B正确； 对于C，函数，、都是奇函数， 则也是奇函数，在区间上的最大值与最小值互为相反数， 必有在区间上的最大值与最小值之和为0，C正确； 对于D，， 则在R上为减函数，， 则在R上也为减函数， 若，即，必有，解可得， 即的解集为，D正确； 故选： 10.【答案】BC  【解析】解：，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得极大值为，故A错误，B正确； 因为，所以在点处的切线方程为，即，故C正确； 当时，，当时，，当时，，又， 所以可得的图象如图所示： 因为函数的零点个数即为函数与图象交点的个数， 由图可知当时，函数与的图象有一个交点，即函数有一个零点； 当时，函数与的图象有两个交点，即函数有两个零点，故D错误． 故选： 对求导，利用导数求出函数的单调性与极值，从而判断选项A，B；利用导数的几何意义可判断选项C；作出函数的图象，由函数的零点与方程根的关系即可判断选项 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：由题意得， ，， ，解得，，故A，B正确； 此时， ，，等价于， 当时，，则当且仅当时，等号成立， 从而，故，故C正确，D错误． 故选： 由题意可得且，由此列式求得a与b的值，可得A，B正确；，等价于，利用放缩法求得不等式右侧的最小值，可得m的范围判断C与 本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属难题． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数单调性的定义以及应用，注意函数单调性的定义，属于基础题． 根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，是R上的减函数， 则有，解可得：， 即a的取值范围为： 故答案为： 13.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查利用函数的导数来求函数的单调性，考查对两函数的商的导数的求导公式的掌握情况． 利用导数求函数的单调区间的步骤是：①求导函数；②令或，解不等式；③得到函数的增区间或减区间 本题中需先求出导函数，令，解得函数的单调增区间． 【解答】 解：由已知得：， 当且时，， 故函数的单调递减区间是， 故答案为， 14.【答案】1  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，公切线问题的解题思路，属于中档题． 先求出函数在处的切线方程，再表示出的切线方程，两方程是同一个，根据对应系数相等，即可求出a的值． 【解答】 解：由得，切点为，， 故切线方程为，即①， 设函数在处的切线与的图象切于点， 而，， 故切线方程为，即②， 由已知，①②是同一方程，故，解得 故答案为： 15.【答案】解：因为， 则， 因为函数在处取得极小值0， 则， 解得， 此时，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 所以函数在处取得极小值，合乎题意， 则，， 因此的图象在点处的切线方程为， 即 由可得， 设，则， 因为， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以， 故实数m的取值范围为  【解析】分析可得，求出a、b的值，然后利用函数的极值与导数的关系验证即可，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； 由参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数m的取值范围． 本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 16.【答案】解：因为，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时， 当时，，单调递减，时，，单调递增； 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 证明：由可知，当时，在处取得最小值， 若，使得， 只需，即恒成立即可， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故当时，， 所以，使得  【解析】对求导，利用导数与函数单调性的关系，分与两种情况讨论，即可求解； 结合中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证． 本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，化归转化思想，属难题． 17.【答案】解：由题意， 当时，， 由，得；由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，； 当时，单调递增， ， 当，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为万元．   【解析】本题考查分段函数模型，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题. 利润等于销售收入减去投入成本，根据产量的范围列出分段函数解析式； 当时，利用导数法求最值，当时，利用函数的单调性求最值，比较可得所获利润最大值． 18.【答案】解：当时，，， 记， 因为，所以在R上单调递增， 又， 得当时，即在上单调递增； 当时，即在上单调递减. 所以在上单调递减，在上单调递增. ①当时，； ②当时，即， 令， 记， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，即 所以在上单调递增，即， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是   【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，属于较难题. 当时，，两次求导，利用导数即可确定函数的单调区间； 分类讨论，当时，不等式恒成立，当时，利用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而求得a的取值范围. 19.【答案】解：的定义域为， ， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因此，当时，， 因为的图象恒在x轴上方， 所以恒成立 则，即，解得， 所以m的取值范围为； 证明：由及的单调性可知，， 构造函数，， 则， 当时，，，即， 所以在区间上单调递减， 因为，所以，即， 由题意，所以， 因为在，且单调递增，，， 所以，即  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数与不等式的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 求出的定义域，求出，将问题转化为求解函数的最小值，通过导函数的正负确定函数的单调性，然后求出函数的最小值，即可得到答案； 利用中的结论，得到，构造函数，，利用导数研究的单调性，可得，从而，再利用的单调性，即可证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $