专题01 直线方程全章4考点6题型（期中复习讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题01 直线方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 / 考点二 直线方程的五种形式 / 考点三 两直线的位置关系 / 考点四 距离公式及其应用 05 重难题型突破 题型一 直线的斜率与倾斜角 / 题型二 直线方程 / 题型三 两直线的位置关系 /题型四 距离公式/题型五 对称问题 /题型六 最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 直线方程是解析几何的入门章节，是期中考试的必考内容，既独立命题（选择、填空），又常作为圆与圆锥曲线解答题的工具性基础。 考点 常考题型 分值占比 难度 命题趋势 倾斜角与斜率 选择、填空 约 5 分 ★★ 与三角函数值结合求倾斜角；由斜率范围求倾斜角范围（易失分点） 直线方程的五种形式 选择、填空、解答 5 ～ 8 分 ★★☆ 求直线方程为主，重点考查形式选择与分类讨论（截距为零易漏解） 两直线的平行与垂直 选择、填空 约 5 分 ★★ 含参数求值为主，平行与重合的验证是高频失分点 距离公式与对称 填空、解答 5 ～ 8 分 ★★☆ 点到直线距离、对称问题、与最值结合的综合题，常与后续圆的方程交汇 1.理解直线倾斜角的概念与取值范围 [0°, 180°)，掌握斜率公式与倾斜角、斜率之间的关系，能进行斜率范围与倾斜角范围的互求。 2. 掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）及其适用条件，能根据题目条件灵活选择恰当形式求直线方程。 3. 掌握两直线平行与垂直的判定方法（斜截式判据与一般式判据两套体系），能正确处理含参数的位置关系问题，会检验直线重合的情形。 4.熟练运用两点间距离公式、点到直线距离公式、两平行线间距离公式，掌握点关于点、点关于直线对称问题的求解策略。 5.能综合运用数形结合、分类讨论、转化化归等思想解决直线的定点、最值等综合性问题。 本章知识围绕"倾斜角与斜率——五种方程形式——两直线位置关系——距离与对称"四条主线展开。复习时应先建立整体框架，明确各知识点间的逻辑顺序，再逐点对照表格查漏补缺。 知识体系思维导图 考点一　直线的倾斜角与斜率 ⚠️概念辨析 挖空梳理 1. 2. 方法提炼：  ⚠️避坑指南 考点二　直线方程的五种形式 ⚠️记忆口诀 一点一斜用点斜，一斜一截斜截式； 两点斜截可互化，截距注意不为零； 一般万能最后化，答案标准写 Ax + By + C = 0。 挖空梳理 ⚠️易混易错 "截距" ≠ "距离"：截距是坐标值，可正可负可为零；距离是非负的线段长度。 "截距相等"有两类：一类是直线过原点（两截距都为 0），另一类是两截距为同一个非零数 。分类讨论时切勿漏掉过原点。 点斜式/斜截式的盲区：它们不能表示斜率不存在的竖直直线 . 方法提炼：  "截距相等（或互为相反数）"必分两类：截距为零（过原点）与截距不为零，谨防漏解。 考点三　两直线的位置关系 ⚠️概念辨析 平行与重合的区别：两条直线方向相同，若它们在 y 轴上的截距也相同（或一般式系数成比例），则它们 _____________________；若截距不同，则它们__________________。 垂直的核心：两直线斜率均存在时， =_______；更一般地，对一般式可用 __________________= 0 判定。 挖空梳理 3. 4.用斜率判定之前，必须先讨论 _____________________ 的情形；用一般式判定平行后，必须 _____________________ ⚠️避坑指南 考点四　距离公式及其应用 ⚠️记忆口诀 两点距离套勾股； 点线距离分子绝对值，分母根号下 平行线间先统一，再用点线公式即可替。 挖空梳理 1. 2. 3. ⚠️易混易错 点到直线距离公式的符号：分子是"代入直线左侧的绝对值"，不是直接的距离； 分母是 对称问题勿漏中点：只列"垂直"一个条件会得到两个交点，必须再要求 的中点在直线 上。   04 核心考点精讲 · 挖空梳理答案 考点四：；；； 题型一 直线的倾斜角与斜率 典例1 （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 💡破题要诀 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏·阶段检测）设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线方程 典例2（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 💡破题要诀 方法突破：  求直线方程的通法是待定系数法，三步走——(1) 依条件选形式（涉及斜率用点斜式，涉及截距优先截距式，条件复杂时用一般式设方程）；(2) 待定系数求解；(3) 回顾失分点（斜率不存在？截距为零？）。特殊几何条件（中点、面积、周长）常先转化为截距或斜率条件。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D． 2.（ 25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 题型三 两直线的位置关系 典例3 （多选 25-26高二上·江苏南通·期中）设，已知两条直线和，则（   ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时， D．当时，的交点坐标为 💡破题要诀 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 迁移应用 1.（多选 25-26高二上·江苏无锡·期中）以下四个命题表述正确的有（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 2.（多选 25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 3.（25-26高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标；(2)求直线BC的方程． 题型四 距离公式 典例4（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 💡破题要诀 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏盐城·期中）两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 题型五 对称问题 典例5（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 💡破题要诀  核心是"垂直 + 平分"。点 A 关于直线 l 的对称点 A′：由 AA′ ⊥ l 与 AA′ 中点在 l 上联立求 A′。直线关于直线对称：在已知直线上取两点，分别求对称点，两点定线。光路反射问题：入射光线所在直线即"反射点与光源关于镜面直线的对称点"确定的直线。 迁移应用（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 题型六 距离最值问题 典例6（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀   两条主线——(1) 目标函数几何化：将式子转化为两点间距离、点到直线距离，利用对称、三角形不等式（同侧反射求和最小，异侧直接连线）求最值；(2) 截距设元法：设直线截距式 x/a + y/b = 1，把面积、|OA| + |OB|、|AB| 表示为 a、b 的函数，结合基本不等式（"1" 的代换、乘常数法）求最值。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·河北·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（多选25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线与直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线恒过第二象限 B．坐标原点到直线的最大距离为 C．若，则 D．若，则或 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 3.（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 4.（多选 25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 6.（25-26高二上·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 综合进阶练（限时：15分钟） 1.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 2.（26-27高二上·江苏省扬州·阶段检测）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 4．（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．当时，直线在轴上的截距为 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 6.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线BC的方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 / 考点二 直线方程的五种形式 / 考点三 两直线的位置关系 / 考点四 距离公式及其应用 05 重难题型突破 题型一 直线的斜率与倾斜角 / 题型二 直线方程 / 题型三 两直线的位置关系 /题型四 距离公式/题型五 对称问题 /题型六 最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 直线方程是解析几何的入门章节，是期中考试的必考内容，既独立命题（选择、填空），又常作为圆与圆锥曲线解答题的工具性基础。 考点 常考题型 分值占比 难度 命题趋势 倾斜角与斜率 选择、填空 约 5 分 ★★ 与三角函数值结合求倾斜角；由斜率范围求倾斜角范围（易失分点） 直线方程的五种形式 选择、填空、解答 5 ～ 8 分 ★★☆ 求直线方程为主，重点考查形式选择与分类讨论（截距为零易漏解） 两直线的平行与垂直 选择、填空 约 5 分 ★★ 含参数求值为主，平行与重合的验证是高频失分点 距离公式与对称 填空、解答 5 ～ 8 分 ★★☆ 点到直线距离、对称问题、与最值结合的综合题，常与后续圆的方程交汇 1.理解直线倾斜角的概念与取值范围 [0°, 180°)，掌握斜率公式与倾斜角、斜率之间的关系，能进行斜率范围与倾斜角范围的互求。 2. 掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）及其适用条件，能根据题目条件灵活选择恰当形式求直线方程。 3. 掌握两直线平行与垂直的判定方法（斜截式判据与一般式判据两套体系），能正确处理含参数的位置关系问题，会检验直线重合的情形。 4.熟练运用两点间距离公式、点到直线距离公式、两平行线间距离公式，掌握点关于点、点关于直线对称问题的求解策略。 5.能综合运用数形结合、分类讨论、转化化归等思想解决直线的定点、最值等综合性问题。 本章知识围绕"倾斜角与斜率——五种方程形式——两直线位置关系——距离与对称"四条主线展开。复习时应先建立整体框架，明确各知识点间的逻辑顺序，再逐点对照表格查漏补缺。 知识体系思维导图 考点一　直线的倾斜角与斜率 ⚠️概念辨析 挖空梳理 1. 2. 方法提炼：  ⚠️避坑指南 考点二　直线方程的五种形式 ⚠️记忆口诀 一点一斜用点斜，一斜一截斜截式； 两点斜截可互化，截距注意不为零； 一般万能最后化，答案标准写 Ax + By + C = 0。 挖空梳理 ⚠️易混易错 "截距" ≠ "距离"：截距是坐标值，可正可负可为零；距离是非负的线段长度。 "截距相等"有两类：一类是直线过原点（两截距都为 0），另一类是两截距为同一个非零数 。分类讨论时切勿漏掉过原点。 点斜式/斜截式的盲区：它们不能表示斜率不存在的竖直直线 . 方法提炼：  "截距相等（或互为相反数）"必分两类：截距为零（过原点）与截距不为零，谨防漏解。 考点三　两直线的位置关系 ⚠️概念辨析 平行与重合的区别：两条直线方向相同，若它们在 y 轴上的截距也相同（或一般式系数成比例），则它们 _____________________；若截距不同，则它们__________________。 垂直的核心：两直线斜率均存在时， =_______；更一般地，对一般式可用 __________________= 0 判定。 挖空梳理 3. 4.用斜率判定之前，必须先讨论 _____________________ 的情形；用一般式判定平行后，必须 _____________________ ⚠️避坑指南 考点四　距离公式及其应用 ⚠️记忆口诀 两点距离套勾股； 点线距离分子绝对值，分母根号下 平行线间先统一，再用点线公式即可替。 挖空梳理 1. 2. 3. ⚠️易混易错 点到直线距离公式的符号：分子是"代入直线左侧的绝对值"，不是直接的距离； 分母是 对称问题勿漏中点：只列"垂直"一个条件会得到两个交点，必须再要求 的中点在直线 上。   04 核心考点精讲 · 挖空梳理答案 考点四：；；； 题型一 直线的倾斜角与斜率 典例1 （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 💡破题要诀 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率公式计算即可. 【解答过程】由题意得，经过两点的直线斜率为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 3.（25-26高二上·江苏·阶段检测）设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图：    问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 题型二 直线方程 典例2（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；求出直线方程判断C；分情况求出直线方程即可判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，令，得；令，得；所以直线 在轴上的截距为，在轴上的截距为，直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，倾斜角为的直线斜率为0，则过点并且倾斜角为的直线方程为，故C不正确； 对于D，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故D不正确. 故选：AB. 💡破题要诀  求直线方程的通法是待定系数法，三步走——(1) 依条件选形式（涉及斜率用点斜式，涉及截距优先截距式，条件复杂时用一般式设方程）；(2) 待定系数求解；(3) 回顾失分点（斜率不存在？截距为零？）。特殊几何条件（中点、面积、周长）常先转化为截距或斜率条件。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分为截距为和截距不为进行求解. 【详解】当截距为，则直线的方程为， 当截距不为，设，由直线过点， 故，解得， 即. 因此直线的方程为或. 故选：C 2.（ 25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 题型三 两直线的位置关系 典例3 （多选 25-26高二上·江苏南通·期中）设，已知两条直线和，则（   ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时， D．当时，的交点坐标为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数、求直线交点坐标 【分析】根据两条直线平行，两条直线垂直和求两条直线的交点等逐项分析即可. 【详解】直线进行变形， 令，解得，直线过定点，正确. 当时，，解得或， 当时，直线和，两条直线重合，不符合题意， 当时，直线，，即和，两条直线平行，因此仅当时，，错误 . 当时，直线和，此时， 当时，，正确. 当时，直线和，联立方程组，解得， 当时，的交点坐标为，正确. 故选：ACD. 💡破题要诀 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 迁移应用 1.（多选 25-26高二上·江苏无锡·期中）以下四个命题表述正确的有（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】对于A，求出直线的定点即可；对于B，根据直线垂直的等价条件求值即可；对于C根据直线平行的等价条件求值即可；对于D，分截距为零和不为零讨论求解即可． 【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C错误； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，所以D正确． 故选：BD． 2.（多选 25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题、已知直线平行求参数、求直线交点坐标 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 3.（25-26高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标；(2)求直线BC的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再联立求出点坐标. （2）设，由的中点在直线上求出点，再利用直线的点斜式方程求出直线的方程. 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 题型四 距离公式 典例4（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 💡破题要诀 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏盐城·期中）两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行直线间的距离公式进行求解即可. 【详解】将直线化简得， 故两条平行线间的距离． 故选：C. 2.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 题型五 对称问题 典例5（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题、求直线交点坐标 【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，求出两直线的交点坐标，根据点的位置可求得实数的取值范围.综合可得出实数的取值范围； （2）设为直线关于直线对称的直线上任意一点，求得关于直线的对称点坐标，代入的方程即可求得直线方程. 【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）当时，的直线方程为， 设为直线关于直线对称的直线上任意一点，关于关于直线的对称点坐标， 由题意可得，整理得， 解得，所以， 即，即. 💡破题要诀   核心是"垂直 + 平分"。点 A 关于直线 l 的对称点 A′：由 AA′ ⊥ l 与 AA′ 中点在 l 上联立求 A′。直线关于直线对称：在已知直线上取两点，分别求对称点，两点定线。光路反射问题：入射光线所在直线即"反射点与光源关于镜面直线的对称点"确定的直线。 迁移应用（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 2.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 3.（25-26高二上·江苏·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直角坐标系中的基本公式的应用、直线两点式方程及辨析、直线综合 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    题型六 距离最值问题 典例6（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求平面两点间的距离 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 💡破题要诀   两条主线——(1) 目标函数几何化：将式子转化为两点间距离、点到直线距离，利用对称、三角形不等式（同侧反射求和最小，异侧直接连线）求最值；(2) 截距设元法：设直线截距式 x/a + y/b = 1，把面积、|OA| + |OB|、|AB| 表示为 a、b 的函数，结合基本不等式（"1" 的代换、乘常数法）求最值。 迁移应用 1.（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 2.（25-26高二上·河北·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得. 【详解】，      则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即， 则可知当三点共线时，取得最小值， 即. 故选：A. 3.（多选25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线与直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线恒过第二象限 B．坐标原点到直线的最大距离为 C．若，则 D．若，则或 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】利用分离参数法判断A；利用点到直线距离和两点距离知识判断B；利用两直线垂直充要条件判断C；利用两直线平行的充要条件判断D. 【详解】对于A，将直线变形为. 令，解得， 即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确； 对于B，因为直线恒过定点， 坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离， 根据两点间距离公式，则，B选项正确； 对于C，若，对于直线和， 根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误； 对于D，若，则， 由，可得，解得或， 当时，直线，，满足题意； 当时，直线，，不满足题意，舍去， 所以，则，故D错误. 故选：AB 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，进而即得. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得. 故选：A. 2.（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、求直线的方向向量（平面中）、求直线交点坐标 【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】联立方程，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 3.（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】由直线恒过定点可判断A，由直线垂直和平行的条件可判断B和C，由直线的截距式方程可判断D. 【详解】对于A，变形为. 因为该方程对任意恒成立， 所以必有，解得. 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得或0， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，故C正确； 对于D，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为，又因为直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 4.（多选 25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】对A：令的系数为计算即可得；对B：结合垂直性质计算即可得；对C：当定点为垂足时，距离取最大值，计算即可得；对D：求出两截距后计算即可得. 【详解】对A：可化为， 令，解得，故直线恒过点，故A正确； 对B：由直线斜率为，则有，解得，故B错误； 对C：由直线恒过点，则当为垂足时， 原点到直线的距离的取最大值，此时距离为， 故坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对D：令，则，令，则， 由题意可得，，故, 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 6.（25-26高二上·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）求出点关于轴的对称点，结合点计算即可得； （2）设出该直线截距式方程，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1）点关于轴上的对称点为，则反射光线过点， 则反射光线为，即为； （2）由题可知，该直线不过原点，设该直线方程为， 则有，解得，故直线方程为，即. 综合进阶练（限时：15分钟） 1.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析 【分析】将点代入截距式得到等式，写出三角形面积表达式，用基本不等式求面积最小值. 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 2.（26-27高二上·江苏省扬州·阶段检测）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】联立两直线方程求出点 的坐标，再利用点到直线的距离公式表示距离，转化为关于参数 的函数最值问题. 【详解】由 得 ，代入 ，得 . 所以 ，. 点 到直线 的距离为 . 又 ，当且仅当 时等号成立. 因此 . 3．（多选25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】对A：令的系数为计算即可得；对B：结合垂直性质计算即可得；对C：当定点为垂足时，距离取最大值，计算即可得；对D：求出两截距后计算即可得. 【详解】对A：可化为， 令，解得，故直线恒过点，故A正确； 对B：由直线斜率为，则有，解得，故B错误； 对C：由直线恒过点，则当为垂足时， 原点到直线的距离的取最大值，此时距离为， 故坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对D：令，则，令，则， 由题意可得，，故, 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选 25-26高二上·江苏泰州·期中）对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．当时，直线在轴上的截距为 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、直线截距式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】对A，将方程变形为，即可列方程求解定点判断；对B，令，求出截距判断；对C，求出原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值；对D，根据直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数的取值范围；. 【详解】对于A，直线可变形为， 由，得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，令，得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，因为直线恒过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由选项A知直线恒过定点，如图， 因为，， 要使得直线与线段相交，则或， 解得或，所以的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求平行线间的距离、由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 6.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线BC的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）求出直线AB的方程，与直线联立即可求出点. （2）求点关于直线的对称点，则直线即为直线，利用两点式可得方程. 【详解】（1）由题意，，所以， 直线AB的方程为：，即. 联立直线AB与直线的方程，. 所以点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 则，所以点， 因为直线就是直线， 所以直线的方程为：，即. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $