期末备考专项讲与练09——线线、线面、面面的平行问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材例题为根基，系统构建线线、线面、面面平行的证明方法体系，通过三级递进逻辑培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|8道教材原题|提炼定义法、判定定理、性质转化等核心证法|从基础定义到定理应用，形成"线线→线面→面面"递进逻辑| |基础知识|3类平行证明方法|总结11种具体证法，强调判定定理中相交线条件|概念生成→原理推导→应用拓展的完整链条| |跟踪训练|16道分层题|涵盖选择、填空、解答，突出转化思想与模型应用|题型与方法对应，典例覆盖核心考法与易错点|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练07 测试范围：线线、线面、面面平行问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.5.3节例4】如图，已知正方体，求证：平面平面. 【人教A版必修二第8.5.3节练习第3题】如图，在正方体中，分别是棱的中点，. 求证：平面平面； 【人教A版必修二习题8.5第5题】如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证： (1)平面EFG；(2)平面EFG. 【人教A版必修二习题8.5第7题】如图，，求证. 【人教A版必修二习题8.5第8题】如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面. 【人教A版必修二习题8.5第14题】如图，已知a､b是异面直线，，，，. 求证：. 【人教A版必修二习题第8.6.2节练习第3题P155页】如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面. 【人教A版必修二复习参考题8第11题】如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．求证：平面BCD． 基础知识： 1、线线平行的证明方法: (1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； (2)利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； (3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2、判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 3、证明面面平行的常用方法： (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 跟踪训练： 一、单选题 1．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 2．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 3．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 4．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 6．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 二、多选题 8．如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A． B．若为中点，则平面 C．存在点使得平面平面 D．存在点使得平面平面 9．在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 10．在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 三、填空题 11．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______． 四、解答题 13．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 14．（人教A版习题8.5.2练习第2题改编）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 15．如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 16．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练07 测试范围：线线、线面、面面平行问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.5.3节例4】如图，已知正方体，求证：平面平面. 【答案】证明见解析. 【解析】先证明四边形为平行四边形，可得平面，同理平面，可得证明. 【详解】证明：为正方体，.. ∴四边形为平行四边形..又平面，平面, ∴平面.同理平面.又，∴平面平面. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，属于中档题. 【人教A版必修二第8.5.3节练习第3题】如图，在正方体中，分别是棱的中点，. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. 【详解】证明：连接，因为分别是棱的中点，所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面；连接，则， 且，可得四边形为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面. 【人教A版必修二习题8.5第5题】如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证： (1)平面EFG；(2)平面EFG. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论. 【详解】（1）F，G分别是BC，CD的中点，. 平面EFG，平面EFG，平面EFG. （2）E.F分别是AB，BC的中点，, 在平面EFG，平面EFG，平面EFG. 【人教A版必修二习题8.5第7题】如图，，求证. 【答案】证明见解析 【解析】直接利用线面平行的性质定理证明，，再利用平行公理可得结论. 【详解】证明：..同理，于是. 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及平行公理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题. 【人教A版必修二习题8.5第8题】如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面. 【答案】证明见解析 【解析】利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得，从而由线面平行的判定定理可得平面，同理可证AB//平面，进而由面面平行的判定定理可得结论. 【详解】与相于点O,.又. .又平面，平面.平面. 同理可证AB//平面.又平面ABC，平面ABC，，∴平面平面. 【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意线面平行的判定定理与面面平行的判定定理的应用条件，本题属于中档题. 【人教A版必修二习题8.5第14题】如图，已知a､b是异面直线，，，，. 求证：. 【答案】证明见解析 【分析】过a作平面，使.因为，所以,利用反证法证得与b相交，进而证得结果. 【详解】过a作平面，使.因为，所以.下面证明直线与b相交.假设.由，可得，与已知a与b是异面矛盾，所以直线与b相交.又，所以平面上有两条相交直线b和都与平面平行.所以. 【人教A版必修二习题第8.6.2节练习第3题P155页】如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】欲证平面，即证平行于平面中的一条直线，取的中点G，证明四边形为平行四边形，即可得到，从而得证。 【详解】证明：如图，取的中点G，连接.是的中点，. 平面，平面，. ，，， ∴四边形是行四边形，， 平面，平面，平面. 【点睛】本题考查了线面平行的问题，证明线面平行就是要证线线平行，线线平行的证明常见途径是中位线、平行四边形等等。 【人教A版必修二复习参考题8第11题】如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．求证：平面BCD． 【答案】证明见解析 【分析】要证线面平行，需找线线平行，取BD中点O，且P是BM中点，取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，通过四边形OPQH为平行四边形及线面平行的判定定理即得结论． 【详解】证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点，∴PO//MD且POMD， 取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，∴PO//QH且PO＝QH， ∴四边形OPQH为平行四边形，∴PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH⊂平面BCD，∴PQ//平面BCD． 基础知识： 1、线线平行的证明方法: (1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； (2)利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； (3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2、判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 3、证明面面平行的常用方法： (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 跟踪训练： 一、单选题 1．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 2．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，证明为平行四边形，结合线面平行判定定理即可作出判断. 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，    所以，即，且，即，则为平行四边形，故，由平面平面，则平面．故选：B 3．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【详解】平面，平面，平面，故A正确；平面，平面，平面，故B正确；因为平面，平面，平面平面，平面，平面， 平面，故C正确；∵，，∴，，正方体中与的夹角为，与夹角为，不垂直，故D错误． 4．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出的比值，再结合，得到的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点，过点作直线，使得，交于点，所以，所以，故. 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接，与交于点，连接，交于G，连接，由于平面，平面，平面平面，所以，由于O是的中点，所以， 过F作，交于H，则，因为，所以，所以. 6．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点，则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面，平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾，因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，所以平面平面，若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件．故选：B. 7．如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误；如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 二、多选题 8．如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A． B．若为中点，则平面 C．存在点使得平面平面 D．存在点使得平面平面 【答案】ABD 【分析】A线面垂直的性质定理可得；B取线段的中点，先证明为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；C利用反证法以及面面平行的性质定理即可；D当为中点时，先求证平面，再结合B选项即可求出. 【详解】因和都垂直于平面，则，故A正确；取线段的中点，连接，因为中点，则，，又，则，，故,，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面，故B正确；假设存在点使得平面平面，因平面平面，平面平面，则，显然是不成立的，故假设不成立，故C错误；当点为中点时，平面平面，证明如下：因，则，因平面，平面，则，又平面，则平面，由B选项可知，则四点共面，又平面，则平面平面，故D正确.故选：ABD 9．在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面，由于平面，所以平面，A选项正确.B选项，连接，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以,因为分别是的中点，所以，所以，所以B选项正确.C选项，由于分别是的中点，所以，由于平面,平面，所以平面，C选项正确.D选项，由于，，，所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 10．在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】BC 【详解】对于A，显然，可知四点共面，而，故与相交，A错误； 对于B，由平面，平面平面，得平面，B正确； 对于C，由平面，平面平面，平面平面，得，由平面，平面知平面，C正确； 对于D，取的中点，中点，若平面平面，则平面， 但由知与相交，而平面，则与平面相交，矛盾，D错误．    三、填空题 11．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面，所以，则为中点，所以，又，则，所以，则. 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______． 【答案】/ 【分析】过M作，由中位线性质可得，连接BP，根据线面平行的判定定理与性质定理确定的值. 【详解】过M作，MP为梯形EFCD中位线，，连接BP，，，，则M，N，B，P四点共面，平面BCF，∴平面平面，平面，，又，∴四边形为平行四边形， ，. ．   四、解答题 13．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，； （2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解. 【详解】（1）因为与相交于点O，所以与共面， 在和中，可得，又因为，所以， 所以，，所以同理，. （2） 因为，，且和，和的方向相反，∴. 同理，因此，又，所以. 14．（人教A版习题8.5.2练习第2题改编）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接，则为的中点，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，于是平面，由（1）知平面，而，平面，所以平面平面． （3）由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角，令正方体的棱长，则，，因此，所以异面直线与所成角的余弦值为. 15．如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，证明线线平行； （2）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明线面平行； （3）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用面面平行判定定理证明面面平行． 【详解】（1），分别是，的中点，，又，且， 四边形是平行四边形，，． （2）连接，交于点，连接，四边形为平行四边形，则点是的中点， 是的中点，是的中位线，，又平面，平面，平面． （3）连接，，，则四边形是平行四边形，， ，，则四边形是平行四边形，，， 又，，四边形是平行四边形，， ，平面平面． 16．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面，所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以，，而， 由平面平面，所以平面， 法一：取中点P，连接，如图，，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且，∴四边形是平行四边形，， 综上，，平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得，， 分别为的中点，易得， ，又，即，∴四边形为平行四边形， 平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以时，平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $