专题07 探索规律 2026年小学数学毕业备考真题分类汇编（北京专版）

**基本信息** 北京多区县近年小升初及期末真题分类汇编，聚焦探索规律专题，涵盖图形排列、数列变化、实际应用等规律类型，适配毕业备考专项突破。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|5|图形总长规律（圆排列）、三角形数与正方形数关系|结合经典数学概念（毕达哥拉斯学派），考查规律归纳能力| |填空题|11|图形计数（等边三角形摆放）、数列公式（分数排列）、日历数字规律|从具体到抽象，要求用代数式表示第n项规律，梯度分明| |解答题|5|程序运算规律、密码学加密规则、棋子摆放规律|综合应用数学思维，如密码学问题融合字母表循环逻辑，体现跨学科实践|

专题07 探索规律 2026年小学数学毕业备考真题分类汇编（北京专版） 一、选择题 1．（20-21六年级下·北京丰台·期末）按照下图的规律摆圆，如果每个圆的直径都是10厘米，那么图10的总长是（    ）厘米。 A．50 B．55 C．95 D．100 2．（2021·北京西城·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 3．（21-22六年级下·北京丰台·期末）按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 4．（2024·北京顺义·小升初真题）下面分数是有规律排列的，、、、……根据这个规律，第20个分数是（    ）。 A． B． C． D． 5．（2024·北京房山·小升初真题）某餐厅里，一张桌子可坐6人，如下图，按照上面的规律，张桌子能坐（    ）人。 …… A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·北京昌平·小升初真题）观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是________，第100幅图中的个数是________，第n幅图中的个数是________。 7．（2025·北京西城·小升初真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 8．（2024·北京房山·小升初真题）同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 9．（2024·北京西城·小升初真题）用完全一样的火柴棍拼图形（如图）。 按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍( )根，拼成第n个图形需要火柴棍( )根。 10．（2024·北京昌平·小升初真题）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）。照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数的和为( )。 11．（2024·北京西城·小升初真题）下面的图案是有规律排列的。第1个图案上有5朵，第2个图案上有8朵，第3个图案上有11朵…… 照这样的规律，第4个图案上有( )朵，第个图案上有( )朵。 12．（2024·北京海淀·小升初真题）观察按下顺序排列的等式： 90101，91211，92321，93431，94541， 按以上各式成立的规律，写出第12个等式是：_____ 13．（2024·北京海淀·小升初真题）如图，将一些宽9厘米、长18厘米的长方形按如图规律摆放，共摆10层，则一共有_________个长方形，这10层构成的整个图形的周长为__________厘米。 14．（24-25六年级下·北京顺义·期末）如图是用小棒拼摆的3个不同的图形，按照这个规律，第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 15．（23-24六年级下·北京房山·期末）同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 16．（2024·北京房山·小升初真题）找规律填空。 1＋3＝( )＝( )2 1＋3＋5＝( )＝( )2 1＋3＋5＋7＝( )＝( )2 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝( )＝( )2 三、解答题 17.（2023·北京海淀·小升初真题）丽丽在信息课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图所示）。根据这个计算程序： （1）输入7，会输出数（    ）； （2）输入数（    ），会输出数13； （3）小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来。 18．（24-25六年级下·北京海淀·期末）如图所示，摆第一个图案需要7枚棋子，摆第二个图案需要19枚棋子，摆第三个图案需要37枚棋子。按这个方式摆下去： （1）摆第五个图案需要多少枚棋子？ （2）摆第十个图案需要多少枚棋子呢？ 19．（2024·北京昌平·小升初真题）下图是用小棒摆出的图形，填表后想一想，说一说有什么规律。 摆出三角形的个数 1 2 3 4 5 … 所用小棒的根数 … 20．（2024·北京·小升初模拟）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，请你按图中箭头所指方向（即…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，… （1）当数到12时，对应的字母是______； （2）求当字母C第201次出现时，恰好数到的数是多少？ （3）当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是多少？（用含n的代数式表示）。 21．（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】图1：有1个圆，总长是10厘米，可表示为5＋5×1； 图2：有2个圆，总长是15厘米，可表示为5＋5×2； 图3：有3个圆，总长是20厘米，可表示为5＋5×3； 由此可推出，图n的总长为（5＋5n）厘米，求图10的总长度，将n＝10代入其中计算即可。 【详解】观察发现：图n的总长为（5＋5n）厘米 当n＝10时， 5＋5n ＝5＋5×10 ＝5＋50 ＝55 因此图10的总长度是55厘米。 故答案为：B 2．C 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 3．B 【分析】通过观察可知，后一幅图比前一幅图的长度多4厘米，那么第12幅图比第一幅图多（12－1）×4＝44厘米，然后加上8厘米即可解答。 【详解】（12－1）×4＋8 ＝44＋8 ＝52（厘米） 故答案为：B 【点睛】此题主要考查学生对图形规律问题的解答。 4．D 【分析】分子的排列9、16、25、36……，从3²开始，依次是4²、5²、6²……，第20个分数数的分子是（20＋3－1）的平方；分母的排列5、12、21、32……，是按＋7、＋9、＋11，后边的数和前边相邻的数的差每次多2，到第20个数是5＋7＋9＋…＋（19×2＋5），据此分别求出分子和分母，写出第20个分数即可。 【详解】根据分析： （20＋3－1）²＝22²＝22×22＝484 5＋7＋9＋…＋（19×2＋5）＝5＋7＋9＋…＋43＝（5＋43）×20÷2＝48×10＝480 第20个分数是。 故答案为：D 【点睛】本题考查了数字的排列规律，关键是观察前后相邻数之间的变化，发现规律，寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。。 5．C 【分析】根据桌子数×4＋2＝能坐的人数，进行分析。 【详解】n×4＋2＝4n＋2 故答案为：C 【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 6． 16 301 （1＋3n） 【分析】 观察发现，第1幅图的个数是1＋3； 第2幅图的个数是1＋3×2； 第3幅图的个数是1＋3×3； …… 依此类推，第n幅图的个数是1＋3×n＝1＋3n。 【详解】 第5幅图中的个数是1＋3×5 ＝1＋15 ＝16 第100幅图中的个数是1＋3×100 ＝1＋300 ＝301 第n幅图中的个数是1＋3×n ＝1＋3n 7． 19 3n＋1 【分析】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1，等等.可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此可得出答案。 【详解】3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 按照这样的方法摆第6幅图案需要19个等边三角形，摆第n幅图案需要（3n＋1）个等边三角形。 8． 31 （6n＋1） 【分析】第1幅图有7枚棋子，第2幅图有13枚棋子，第3幅图有19枚棋子，由此可知，下一幅图比上一幅图多6枚棋子。 第1幅图有7枚棋子，可以写成：6×1＋1； 第2幅图有13枚棋子，可以写成：6×2＋1； 第3幅图有19枚棋子，可以写成：6×3＋1； …… 由此可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子，据此求出第5幅图有棋子的个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子。 当n＝5时： 6×5＋1 ＝30＋1 ＝31（枚） 同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚棋子。 9． 34 （8n＋2）/（2＋8n） 【分析】根据题图可知： 第1个图形需要的火柴棍为：10根； 第2图形需要的火柴棍为：18根，18＝10＋8×1； 第3个图形需要的火柴棍为：26根，26＝10＋8×2； 第4个图形需要的火柴棍为：34根，26＝10＋8×3； …… 第n个图形需要的火柴棍根数为；10＋8×（n－1）＝8n＋2。 据此解答。 【详解】下午第n个图形需要的火柴棍根数为；10＋8×（n－1）＝8n＋2。 当n＝4时， 8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 拼成第4个图形需要火柴棍34根，拼成第n个图形需要火柴棍（8n＋2）或（2＋8n）根。 10．115 【分析】由图可知，这5个数上下两个数的平均数是中间数，左右两个数的平均数也是中间数，最大数与最小数就是上下两个数，求出其平均数，乘5即可。 【详解】46÷2×5 ＝23×5 ＝115 这5个数的和为115。 【点睛】此题考查了数字排列规律，找出其中的规律是解题关键。 11． 14 3n+2 【分析】观察图形可知：第1个图案有5（5＝3＋2）朵花，第2个图案有8（8＝3＋3＋2）朵花，第3个图案有11（11＝3＋3＋3＋2）朵花，第4个图案有3＋3＋3＋3＋2＝14朵花，……，由此可推断第n个图案有（3n＋2）朵花。 【详解】由分析可得：照这样的规律，第4个图案上有14朵，第个图案上有2＋3n朵。 故答案为：14； 3n＋2 【点睛】本题主要考查学生观察图形及其变化的能力，解题的关键是找到图形的变化规律。 12．91112111 【详解】略 13． 55 540 【分析】分析列表如下： 叠的层数 1 2 3 4 …… 10 长方形个数（个） 1 2 3 4 …… 10 周长（厘米） （9＋18）×2＝54 （9×2＋18×2）×2＝54×2 54×3 54×4 …… 54×10 【详解】（1）1＋2＋3＋……＋10＝（1＋10）×10÷2＝55（个） （2）54×10＝540（厘米） 14． 60 2n（n＋1） 【分析】根据图示可知： 第1幅图小棒根数：4根 第2幅图小棒根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1） 第3幅图小棒根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1） …… 第n幅图小棒根数：2n（n＋1），据此解答。 【详解】根据分析，第n幅图小棒根数：2n（n＋1） 当n＝5，2n（n＋1）＝2×5×（5＋1）＝60 第五个图形需要60根小棒，第n个图形需要2n（n＋1）根小棒。 15． 31 【分析】观察发现，每增加一个图形，黑色的点就在外面多一圈，也是多6个。 第一幅图：7个 第二幅图：7＋6＝13（个） 第三幅图：7＋6×2＝19（个） …… 第n幅图：7＋6（n－1） 据此规律解答。 【详解】7＋6×（5－1） ＝7＋6×4 ＝7＋24 ＝31（枚） 7＋6（n－1） ＝7＋6n－6 ＝6n＋1 第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚。 16． 4 2 9 3 16 4 2500 50 【分析】计算前3个算式，可以发现结果是平方数，加数的个数是几就是几的平方，最后一个算式用（最大数－最小数）÷2＋1，求出个数，共50个数，所以是50的平方。 【详解】1＋3＝4＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝2500＝502 【点睛】本题考查了算式的规律，最后一题关键是求出加数的个数。 17．（1）15 （2）6 （3）2n＋1 【分析】（1）观察算式可得：5×2＋1＝11，8×2＋1＝17，10×2＋1＝21，根据已知计算方法可知，用7×2＋1即可计算输入7后得到的数字； （2）用输出的数字13减去1，再除以2即可求出输入的数字； （3）用字母n表示输入的数字，用含有字母n的式子表示出运算规律即可。 【详解】（1）7×2＋1＝14＋1＝15 输入7，会输出数15。 （2）（13－1）÷2 ＝12÷2 ＝6 输入数6，会输出数13； （3）答：小程序的运算规律是若用字母n表示输入的数字，输出的数是2n＋1。 （答案不唯一） 18．91枚；331枚 【分析】根据已知条件依次推出摆第一、二、三个图案需要的棋子数，再根据规律类推出五个图案、第十个图案需要的棋子数。 【详解】第一个图案需要7＝1＋6枚棋子； 第二个图案需要19＝1＋6＋12枚棋子； 第三个图案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子； 则第四个图案需要61＝1＋6＋12＋18＋24枚棋子； …… 第n个图案需要1＋6＋12＋……＋6n＝3n2＋3n＋1枚棋子； 将n＝5带入3n2＋3n＋1得第五个图案需要： 3×52＋3×5＋1 ＝75＋15＋1 ＝91枚棋子； 将n＝10带入3n2＋3n＋1得第十个图案需要： 3×102＋3×10＋1 ＝300＋30＋1 ＝331枚棋子 答：摆第五个图案需要91枚棋子，摆第十个图案需要331枚棋子。 【点睛】对于找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 19．3；5；7；9；11 摆n个三角形需要3＋（n－1）×2根小棒 【分析】根据题图可知，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要3＋2＝5根小棒，摆3个三角形需要3＋2×2＝7根小棒，摆4个三角形需要3＋3×2＝9根小棒，摆5个三角形需要3＋4×2＝11根小棒，每多摆一个三角形多需要2根小棒，则摆n个三角形需要3＋（n－1）×2根小棒。 【详解】 摆出三角形的个数 1 2 3 4 5 … 所用小棒的根数 3 5 7 9 11 … 摆n个三角形需要3＋（n－1）×2根小棒。 【点睛】解决本题的关键是根据已知三角形个数与小棒根数，求出三角形个数与小棒根数之间的关系，再进行解答。 20．（1）B；（2）603；（3）6n＋3 【分析】（1）仔细观察可以发现：六个字母为一循环，后边不断重复，12除以6，由余数来判断是什么字母； （2）每组中C字母出现两次，字母C出现201次就是这组字母出现100次，再加3； （3）字母C出现次就是这组字母出现n次，再加3。 【详解】解：（1）通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现。 当数到12时因为12除6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，所以最后一个字母应该是B。 （2）当字母C第201次出现时，由于每组字母中C出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C字母出现，而第一个C字母在第三个出现，所以应该是：。 （3）当字母C第次出现时，则这组字母应该出现2n次后还要加一次C字母出现，所以应该是。 故答案为：（1）B；（2）603；（3）6n＋3。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 21．①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 ②SDQGD；FRIEND ③ZOO 【分析】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。 通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。 同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。 （2）应用规律进行加密和解密即可。 （3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。 【详解】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 （2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD； 解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。 （3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。 （写一写，画一画见字母表中） 【点睛】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $