专题12：探索规律 2026年数学小升初毕业备考真题汇编（人教版）

专题12：探索规律（4种类型40题) 2026年小学数学毕业备考真题分类汇编（人教版） 目录概览 考点一：算式的规律…………………………………………………………………………………1 考点二：数字的排列规律……………………………………………………………………………3 考点三：图形的排列规律……………………………………………………………………………4 考点四：数表中的规律………………………………………………………………………………6 题型演练 考点一：算式的规律 1．（2024·浙江金华·毕业考真题）观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝( ) … ( )×( )＝999999999 【答案】 444444444 12345679 81 【分析】观察给出的前三个算式可知，第一个乘数都是12345679，第二个乘数都是9的倍数，第二个乘数是9的几倍，算式的乘积就是9个几；据此解答。 【详解】36＝4×9，12345679×36＝444444444 9×9＝81，12345679×81＝999999999 2．（2024·河北石家庄·毕业考真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【详解】 3．（2022·天津北辰·毕业考真题）观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 【答案】 n2－（n－1）2＝2n－1 55 【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【详解】n2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 即n2－（n－1）2＝2n－1。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5） ＝11×5 ＝55 【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 4．（2022·江苏淮安·毕业考真题）观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 【答案】 20212 1 （n＋1）2－1 【分析】观察一系列等式得到一般性规律，写出规律即可：n（n＋2）＝（n＋1）2－1，据此解答即可。 【详解】由分析可知；2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1 通过观察可得到规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 2020×2022＝20212－1 猜想到的规律用只含一个字母的式子表示：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 【点睛】解答本题关键是找出规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。 5．（2024·河南鹤壁·毕业考真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【分析】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【详解】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 6．（2025·湖南长沙·毕业考真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【分析】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【详解】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 7．（2025·河北石家庄·毕业考真题）规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 【答案】86415 【分析】先观察前面三个算式发现规律：*前面的数字表示加的数字，*后面的数字表示位数。如6*2表示把一个6加到两个6的和。7*5表示把7从一个7加到五个7的和。 【详解】7*5 ＝7＋77＋777＋7777＋77777 ＝86415 8．（2024·重庆沙坪坝·毕业考真题）有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是( )。 【答案】69 【分析】根据题意可知，每一个算式的第一个加数依次从4，5，6，7，…，这是从4开始的自然数，后一个数与前一个数相差1，4可以写成：3＋1；5可以写成5＋2；6可以写成3＋3；7可以写成3＋4；…；第n个算式的第一个加数可以写成n＋3。 每一个算式的第二个加数依次是2，8，14，20，…，后一个数与前一个数相差6；2可以写成：6×1－4；8可以写成：6×2－4；14可以写成：6×3－4；20可以写成：6×4－4；…，第二个数可以写成：（6n－4）；第n个算式的得数是：（n＋3）＋（6n－4），再化简为：7n－1，计算出n＝10时的结果。 【详解】根据分析可知，第n个算式的得数是：7n－1。 当n＝10时： 7×10－1 ＝70－1 ＝69 有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是69。 9．（2022·河南南阳·毕业考真题）探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2）＝（    ） 请展示你的思维过程： 【答案】（1）； （2） 思维过程： ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 【分析】（1）根据异分母的分数的减法计算出结果即可。 （2）通过观察，每个分数都是用1减去它的分数单位得到的，于是把原式变为（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－），然后运用减法的性质变为7－（＋＋＋＋＋＋），括号内的每个分数都可以拆分成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互抵消，得出结果。 【详解】（1）＝－＝ ＝－＝ （2） ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 10．（2024·河南南阳·毕业考真题）观察右边算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，… (1)用含有字母n的式子表示规律：( )。 (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝( )。 【答案】(1)n2－（n－1）2＝2n－1 (2)210 【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【详解】（1）n2－（n－1）2 ＝n＋n－1 ＝2n－1 所以用含有字母n的式子表示规律：n2－（n－1）2＝2n－1。 （2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋4＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×10 ＝210 【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 考点二：数字的排列规律 11．（2025·重庆江北·毕业考真题）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。 【答案】41 【分析】数列规律是：从自然数里去掉所有5的倍数得到的。要找51是第几个数，得算1到51中有多少个5的倍数，用自然数总数减去5的倍数的个数就能得到结果。 【详解】1到51中5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，一共10个，所以51的位置是51－10＝41 【点睛】关键是发现数列去掉所有5的倍数的规律，通过自然数个数减去5的倍数个数确定目标数的位置。 12．（2025·湖南长沙·毕业考真题）观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 【答案】164 【分析】通过观察数列，发现从第三项开始，每一项等于前两项之和再乘2。因此，第六项（空白处）等于第四项和第五项之和再乘2，据此计算；再验证第五项和第六项之和再乘2是否等于第七项，据此解答。 【详解】第三项：（1＋3）×2＝4×2＝8 第四项：（3＋8）×2＝11×2＝22 第五项：（8＋22）×2＝30×2＝60 第六项：（22＋60）×2＝82×2＝164 验证第七项：（60＋164）×2＝224×2＝448，与给定值一致。 因此，观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，164，448。 【点睛】解答本题的关键是找到规律：从第三项开始，每一项等于前两项之和的2倍，并验证后续项以确保规律的正确性。 13．（2025·四川凉山·毕业考真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【详解】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 14．（2025·江苏苏州·毕业考真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 【答案】 21 67 【分析】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【详解】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 【点睛】关键在于识别斐波那契数列的求和规律，并通过“奇、奇、偶”的周期分析来快速计算前100个数中的奇数个数。 15．（2024·河北保定·毕业考真题）340.2，113.4，37.8，□，4.2，按规律填，□处应填（    ）。 A．1.26 B．113.4 C．12.6 【答案】C 【分析】观察这组数字：340.2，113.4，37.8，□，4.2 ；计算相邻两个数的商：340.2÷113.4＝3；113.4÷37.8＝3，由此可发现规律：前一个数除以3得到后一个数 。 【详解】根据上述规律，37.8÷3＝12.6，再验证12.6÷3＝4.2，符合规律。 故答案为：C 16．（2025·湖南长沙·毕业考真题）填上适当的数：，，，，，________，…。 【答案】 【分析】通过分解分母找到与序号的关系，从而确定括号内的数。数列中各数的分母依次为2，6，12，20，30。分解分母：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6。可发现规律：第n个数的分母为n（n＋1）。 【详解】括号内是第6个数，此时n＝6，分母为6×7＝42，分子始终为1，故该数为。 17．（2025·重庆北碚·毕业考真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 【答案】 【分析】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【详解】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 【点睛】观察所给分数的分子和分母，可知可得分母是2、4、6、8...的个数分别是1、2、3、4... 若有m行，则共有个数。找到和2008相邻的两个数，m＝62和63，所以第2008项m＝63，这个分数的分母为63×2，分子为，即可写出第2008项的数。 18．（2025·河南焦作·毕业考真题）按规律填数：，，，( )，，( )。 【答案】 【分析】所给分数的分子依次是1、2、3，呈现出依次加1的规律。所给分数的分母依次是2、3、4，也呈现出依次加1的规律。对于第四个数，分子应该是3＋1＝4，分母应该是4＋1＝5，所以这个数是。对于第六个数，分子应该是5＋1＝6，分母应该是6＋1＝7，所以这个数是。 【详解】由分析可知，分数的分子依次加1的规律，分母也是依次加1的规律。 第四个数： 分子：3＋1＝4 分母：4＋1＝5 所以这个数是。 第六个数： 分子：5＋1＝6 分母：6＋1＝7 所以这个数是。 即，，，，，。 19．（2024·云南昭通·毕业考真题）找规律填数：，，，，，，( )…如果按照这样的规律写下去，越来越接近( )。 【答案】 0 【分析】观察可知规律，分子不变，分母为、、、即依次为前一个数的分母乘2得后一个数的分母，这样写下去，分母越来越大，所以这个分数会越来越小，无限接近0。 【详解】 找规律填数：，，，，，，…如果按照这样的规律写下去，越来越接近0。 20．（2025·重庆渝北·毕业考真题）已知一列数：、、、、、、、、、、（不化简），那么是第______个分数。 【答案】88 【分析】观察数列规律，每个分母为n的分数分子从1递增到n，再递减到1，所以共有2n－1个分数。计算分母1到9的分数总数，再确定分母10中的位置。 【详解】每个分母为n的分数数量为2n−1，因此： 分母为1：1个分数 分母为2：3个分数 分母为3：5个分数 分母为4：7个分数 分母为5：9个分数 分母为6：11个分数 分母为7：13个分数 分母为8：15个分数 分母为9：17个分数 分母为10时，分子从1递增到10，是第7个， 所以（个） 因此，是第88个分数。 考点三：图形的排列规律 21．（2024·广东深圳·毕业考真题）用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 17 （4n＋1）/（1+4n） 【分析】通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需（4n＋1）根小棒；据此解答即可。 【详解】第4个图形需要： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（根） 搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要17根小棒，搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 22．（2022·黑龙江齐齐哈尔·毕业考真题）按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 【答案】 21 51 5n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 23．（2023·福建莆田·毕业考真题）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形…… 以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。 【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形…… 设第n次得到53个正方形。 4n＋1＝53， 解：4n＋1－1＝53－1 4n＝52 4n÷4＝52÷4 n＝13 故答案为：B 【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。 24．（2025·北京西城·毕业考真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 【答案】 19 3n＋1 【分析】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1，等等.可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此可得出答案。 【详解】3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 按照这样的方法摆第6幅图案需要19个等边三角形，摆第n幅图案需要（3n＋1）个等边三角形。 25．（2023·广西柳州·毕业考真题）按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 【答案】 17 4n－3 【分析】根据图示可知：每一个图形上面点的数量比上一个图形点的数量多4个， 第1个图形有（1－1）×4＋1＝1（个）点， 第2个图形有（2－1）×4＋1＝5（个）点， 第3个图形有（3－1）×4＋1＝9（个）点， 第4个图形有（4－1）×4＋1＝13（个）点， …… 第n个图形有（n－1）×4＋1＝（4n－3）个点，据此解答即可。 【详解】（5－1）×4＋1 ＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） （n－1）×4＋1 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3） 所以第5个点阵共有17个点，第n个点阵共有（4n－3）个点。 26．（2025·重庆江北·毕业考真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【分析】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【详解】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 27．（2025·湖南长沙·毕业考真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【分析】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【详解】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 28．（2025·四川达州·毕业考真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【答案】 40 4n 【分析】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【详解】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 29．（2025·湖南长沙·毕业考真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【分析】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【详解】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 30．（2025·湖北武汉·毕业考真题）如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【分析】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【详解】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 31．（2025·重庆渝北·毕业考真题）下图中的图形都是用长度相同的小木棒按一定规律拼成的，依此规律，第88个图形需____根小木棒。 【答案】11748 【分析】通过观察可知，第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要（3＋6）根小棒，第3个图形需要（3＋6＋9）根小棒，也就是3×（1＋2＋3）根小棒，以此类推，第n个图形需要的小棒数量是：3×（1＋2＋3＋…＋n）根，据此解答。 【详解】3×（1＋2＋3＋…＋88） ＝3×（1＋2＋3＋…＋44＋45＋…＋86＋87＋88） ＝3×[（1＋88）＋（2＋87）＋（3＋86）＋…＋（44＋45）] ＝3×[89×44] ＝3×3916 ＝11748（根） 第88个图形需要11748根小木棒。 【点睛】本题考查图形的排列规律，找到小木棒的数量随图形序号变化的规律是解题关键。 32．（2025·重庆北碚·毕业考真题）用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。拼第17个图案需要______个白色的正六边形。 【答案】86 【分析】先把每个图案最左边的这个正六边形看作一个特殊的正六边形，那么每增加一个蓝色的正六边形就增加5个白色的正六边形。如果暂时不算图案最左边的这个正六边形，白色的正六边形是蓝色正六边形的5倍，蓝色正六边形的数量与图案的序号相同。所以白色正六边形数量的规律是蓝色正六边形数量×5＋1。 【详解】17×5＋1 ＝85＋1 ＝86（个） 所以，拼第17个图案需要86个白色的正六边形。 考点四：数表中的规律 33．（2025·湖南长沙·毕业考真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 【答案】 18 30 15 【分析】1. 表一规律推导：观察表一，第1行是1，2，3，4...（第1行第n列数为n），第2行是2，4，6，8...（第2行第n列数为2n），第3行是3，6，9，12...（第3行第n列数为3n）……由此得出核心规律：表一中第m行第n列的数＝（行号与列号的乘积）同时，每一行的数公差为行号m，每一列的数公差为列号n。 2. 求a（表二）：表二数字排布为“12在上，15在中间，a在下”。12是第3行第4列或第4行第3列（3×4＝12），15是第3行第5列或第5行第3列（3×5＝15）（同一行，公差为3），15也属于第5列，a是第3行第6列（或第6行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。 3. 求b（表三）：表三数字排布为“20和24同行，25和b同行，20和25同列”。20是第4行第5列（4×5＝20），24是第4行第6列（4×6＝24，该行公差为4）；25是第5行第5列（5×5＝25，该列公差为5），因此b是第5行第6列，按规律计算得出结果即可。 4. 求c（表四）：表四数字排布为“8和c差一行，c和20同列”。结合答案特征，8为第2行（或第4行），20为第4列（或第5列），故c为第3行第5列（或第5行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。   【详解】1.计算a：第3行第6列：3×6＝18（或第6行第3列：6×3＝18）。故a＝18。 2.计算b：第5行第6列：5×6＝30。故b＝30。 3.计算c：第3行第5列：3×5＝15（或第5行第3列：5×3＝15）。故c＝15。    【点睛】解决数表规律题的核心是先推导行、列通用表达式（如本题“行号×列号”），再结合截取部分的数字排布确定目标数的行、列位置，最后代入计算；若数字有多种位置可能，需通过排布特征筛选唯一解。 34．（2025·上海闵行·毕业考真题）如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是( )。 【答案】26 【分析】从图中我们可以发现，在杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的肩膀上的两个数的和，据此求出a和b的数，再相加，即可解答。 【详解】a：3＋3＝6 b：10＋10＝20 6＋20＝26 三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是26。 35．（2025·四川内江·毕业考真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 【答案】 292 × 364 【分析】分析题目，如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方，即（2n－1）2，因为172＝289，192＝361，即最接近365的奇数的平方是361，据此画出以数361为右下角的数的排列，再根据361右面的一个数比它大1确定362的位置，再根据同一列上面的一个数比下面一个数大1进一步确定出365的位置，最后确定出需要填空的数。 【详解】19×19＝361 根据分析可知，以365为中心的九宫格如图：。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①292；②×；③364。（如果是空格，用“×”表示） 36．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 37．（2024·重庆彭水·毕业考真题）用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 【答案】C 【分析】观察可知，用a表示框中的中间一个数，那么上面可以用（a－10）表示，下面用（a＋10）表示，左边用（a－1）表示，右边用（a＋1）表示，所以5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a，又知a最小是12，最大是89，代入数据分析即可。 【详解】5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a a最小是12，最大是89 A．5a最小是：5×12＝60，所以该说法正确。 B．5a最大是：89×5＝445，所以该说法正确。 C．当5a＝250时，a＝50，观察可知，a＝50时无法框出“十字框”，所以该说法不正确。 D．因为这五个数的和是5a，所以该说法正确。 故答案为：C 38．（2024·山东德州·毕业考真题）三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等，据此可知：第一行的数字和等于第一列的数字和，第一行数字之和为6＋10＋左上角数字，第一列数字之和为12＋a＋左上角数字，因为它们相等，所以可以忽略左上角数字（因为两边都有，会相互抵消），得到等式12＋a＝6＋10，两边同时减去12即可求解。 【详解】12＋a＝6＋10 解：12＋a＝16 12＋a－12＝16－12 a＝4 所以a的值为4。 故答案为：A 39．（2023·四川·毕业考真题）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 【答案】B 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【详解】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 40．（2022·福建泉州·毕业考真题）将任意一个长方形分成a、b、c、d四个小长方形，它们的面积都暗藏规律。请观察下面的几个例子，回答问题。 (1)第三幅图中的小长方形c的面积是( )。 (2)请用一个等式表示a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系。( ) 【答案】(1)72 (2)＝ 【分析】（1）发现规律：b与a的比值与d与c的比值相等，据此规律列出正比例方程，求出c的面积； （2）根据（1）发现的规律写出关系式即可。 【详解】（1）第一幅图：＝＝20 第二幅图：＝＝1.5 ＝ 解：12c＝18×48 12c＝864 12c÷12＝864÷12 c＝72 （2）a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系：＝ 【点睛】关键是发现a、b、c、d这四个小长方形的面积成正比例关系，然后利用规律解题。 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12：探索规律（4种类型40题) 2026年小学数学毕业备考真题分类汇编（人教版） 目录概览 考点一：算式的规律…………………………………………………………………………………1 考点二：数字的排列规律……………………………………………………………………………7 考点三：图形的排列规律……………………………………………………………………………13 考点四：数表中的规律………………………………………………………………………………20 题型演练 考点一：算式的规律 1．（2024·浙江金华·毕业考真题）观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝( ) … ( )×( )＝999999999 2．（2024·河北石家庄·毕业考真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 3．（2022·天津北辰·毕业考真题）观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 4．（2022·江苏淮安·毕业考真题）观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 5．（2024·河南鹤壁·毕业考真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 6．（2025·湖南长沙·毕业考真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105× 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个 7．（2025·河北石家庄·毕业考真题）规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 8．（2024·重庆沙坪坝·毕业考真题）有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是( )。 9．（2022·河南南阳·毕业考真题）探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2）＝（    ） 请展示你的思维过程： 10．（2024·河南南阳·毕业考真题）观察右边算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，… (1)用含有字母n的式子表示规律：( )。 (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝( )。 考点二：数字的排列规律 11．（2025·重庆江北·毕业考真题）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。 12．（2025·湖南长沙·毕业考真题）观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 13．（2025·四川凉山·毕业考真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 14．（2025·江苏苏州·毕业考真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 15．（2024·河北保定·毕业考真题）340.2，113.4，37.8，□，4.2，按规律填，□处应填（    ）。 A．1.26 B．113.4 C．12.6 16．（2025·湖南长沙·毕业考真题）填上适当的数：，，，，，________，…。 17．（2025·重庆北碚·毕业考真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 18．（2025·河南焦作·毕业考真题）按规律填数：，，，( )，，( )。 19．（2024·云南昭通·毕业考真题）找规律填数：，，，，，，( )…如果按照这样的规律写下去，越来越接近( )。 20．（2025·重庆渝北·毕业考真题）已知一列数：、、、、、、、、、、（不化简），那么是第______个分数。 考点三：图形的排列规律 21．（2024·广东深圳·毕业考真题）用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 22．（2022·黑龙江齐齐哈尔·毕业考真题）按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 23．（2023·福建莆田·毕业考真题）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 24．（2025·北京西城·毕业考真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 25．（2023·广西柳州·毕业考真题）按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 26．（2025·重庆江北·毕业考真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 27．（2025·湖南长沙·毕业考真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 28．（2025·四川达州·毕业考真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 29．（2025·湖南长沙·毕业考真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 30．（2025·湖北武汉·毕业考真题）如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 31．（2025·重庆渝北·毕业考真题）下图中的图形都是用长度相同的小木棒按一定规律拼成的，依此规律，第88个图形需____根小木棒。 32．（2025·重庆北碚·毕业考真题）用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。拼第17个图案需要______个白色的正六边形。 考点四：数表中的规律 33．（2025·湖南长沙·毕业考真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 34．（2025·上海闵行·毕业考真题）如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是( )。 35．（2025·四川内江·毕业考真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 36．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 37．（2024·重庆彭水·毕业考真题）用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60B．不可能大于445C．有可能是250 D．一定是5的倍数 38．（2024·山东德州·毕业考真题）三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 39．（2023·四川·毕业考真题）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 40．（2022·福建泉州·毕业考真题）将任意一个长方形分成a、b、c、d四个小长方形，它们的面积都暗藏规律。请观察下面的几个例子，回答问题。 (1)第三幅图中的小长方形c的面积是( )。 (2)请用一个等式表示a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系。( ) 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $