专题03 四边形综合（期末真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 北京多区期末四边形综合专题汇编，含选填压轴与几何综合压轴题，聚焦菱形、正方形动态问题及性质综合应用，适配期末复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9题|菱形性质与函数图像（门头沟区）、正方形旋转（怀柔区）|动态几何与多结论判断（密云区）| |填空题|6题|四边形折叠（大兴区）、正方形坐标规律（燕山区）|动点与函数关系（西城区）| |解答题|11题|正方形旋转综合（二中教育集团）、矩形与角平分线（西城区）|多问递进设计，结合轴对称与全等（朝阳区）|

专题03 四边形综合 2大高频考点概览 考点01 四边形选填压轴 考点02 四边形几何综合压轴 地 城 考点01 四边形选填压轴 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 2．(24-25八下·北京密云区·期末)如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，正方形中，点是中点，点在边上，点关于的对称点为，连接，，，若的边长为2，当四边形是正方形时，＝（   ）    A． B． C． D．3 5．(24-25八下·北京东城区·期末)平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （   ）          以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 6．(24-25八下·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（    ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在四边形中，，点E在上，且，，取的中点P，连接，，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 11．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在中，分别是的中点，点M是和平分线的交点，连接．有以下结论：①四边形是菱形；②的面积是面积的；③；④当且时，四边形是正方形．其中正确结论是：______（填序号即可） 12．(24-25八下·北京燕山区·期末)正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 13．(24-25八下·北京西城区·期末)如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 14．(24-25八下·北京大兴区·期末)如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 15．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为______． 地 城 考点02 四边形几何综合压轴 一、解答题 1．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G． (1)补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明； (2)用等式表示线段与的数量关系并证明． 2．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图，在正方形中，点是线段上的一点（不与点重合），于点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，连接，，用等式表示与的数量关系，并证明． 3．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），四边形为正方形． (1)直接写出与之间的数量关系； (2)过点作，垂足为，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段（点不与点重合），连接．过点作直线的垂线，垂足为点，连接，． (1)如图，当时． ①依据题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段的数量关系，并证明； (2)当时，直接用等式表示，，的数量关系． 5．(24-25八下·北京海淀区·期末)已知E为正方形内部一点，且满足，连接、、． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，射线交线段于点M． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)在正方形中，为平面上一点(不与点重合)，且，连接，． (1)若为正方形内一点， ①在图1中依题意补全图形，并求的度数； ②射线交于点，点在边上，，连接，写出，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当为正方形外一点时，的平分线交射线于点，交于点，若，直接写出的长． 7．(24-25八下·北京西城区·期末)在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 9．(24-25八下·北京怀柔区·期末)如图，中，，是的中点，，过点作于点．延长至点，使，连接并延长交延长线于点． (1)①依题意补全图形； ②猜想的度数，并证明． (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 10．(24-25八下·北京密云区·期末)在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． (1)如图1，当点在线段上时，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出正方形边长的值． 11．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形综合 2大高频考点概览 考点01 四边形选填压轴 考点02 四边形几何综合压轴 地 城 考点01 四边形选填压轴 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．先画出图形，根据菱形的性质可得，再证出、，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行四边形和菱形的判定即可得①③正确；若菱形是正方形时，证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得④正确，②错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴必经过的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴存在无数个四边形是平行四边形，则结论①正确； 存在无数个四边形是菱形，则结论③正确； 若菱形是正方形时（正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性）， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当菱形是正方形时，菱形是正方形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴至少存在一个四边形是正方形，则结论④正确； 不存在无数个四边形是矩形，则结论②错误； 综上，结论正确的是①③④， 故选：C． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 根据题意，由勾股定理即可判断；过P点作，延长交于Q点，通过分析可证即可判断；将绕点A顺时针旋转得到，证，即可判断． 【详解】解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F， 是直角三角形， 正确； 如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 正确； 将绕点A顺时针旋转得到，如图2， ， ， C，B，H共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 正确； 综上，均正确． 故答案为：D． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，正方形中，点是中点，点在边上，点关于的对称点为，连接，，，若的边长为2，当四边形是正方形时，＝（   ）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接，连接，由正方形的性质可得，平分，，平分，即可推得点，点，点三点共线，即可求解． 【详解】解：如图，连接，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵为边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴点，点，点三点共线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 5．(24-25八下·北京东城区·期末)平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （   ）          以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，涉及到平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质、基本尺规作图等知识点，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， , , 在和中， ， ， , 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ,, , 在和中， ， ， , 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形； 故选：C． 6．(24-25八下·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示． 过点E作垂直y轴，垂足为M． 很显然，， ∵， ∴， ∴．故结论①错误． ②如图2所示，、、互相平行， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形，，都是平行四边形， ∴， ∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形． 故结论③正确． 故选：B 7．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，通过证明三角形全等得出边和角的关系，进而判断各个结论是否正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②由折叠得，， ∴， ∴，故②正确； ③由①可知，， 同理可得 ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形为菱形，故③正确； ④连接、、，、分别与交于点，如图， 由折叠得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C． 8．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．①设，则，进而得证明是等腰直角三角形得，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此可对结论①进行判断； ②根据正方形性质得是等腰直角三角形，的，再根据是等腰直角三角形得，进而得，继而得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出得，证明，再根据，得，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①设， ∴， 由全等三角形的性质得：， ∴， ∴ ∵是直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②在正方形中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故选：D． 9．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（    ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定，三角形三边的不等关系，掌握这些知识是解题的关键；由题意得四边形是矩形，同理易得四边形，四边形，四边形均是矩形，由可判定①；利用矩形的性质可判定②；利用三角形三边关系及勾股定理可分别判定③与④，最后可确定答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 同理得四边形，四边形，四边形均是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； 故①正确； ∵，， ∴， 即四边形与四边形的面积相等； 故②正确； ∵， ∴； 在中，， 即； 故③错误； 如图，连接， ∵，； 在中，，当点P位于对角线上时，等号成立； ∴； 故④不正确； 综上，正确的有2个； 故选：B． 二、填空题 10．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在四边形中，，点E在上，且，，取的中点P，连接，，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】③ 【分析】①根据已知条件可依据“”判定和全等得，在中，根据得，由此即可对结论①进行判断； ②过点A作于点F，过点P作于点H，证明四边形是矩形得，在中，根据得，由此即可对结论②进行判断； ③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，证明，得到，，推出是的中位线，那么，，得到，结合，进而得到，在中，由勾股定理得：，进而得，由此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出结论． 【详解】解：①在和中， ，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论①不正确； ②过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②不正确； ③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示： ， ， ，， ， ，， ， 是的中位线， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是③． 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线，平行的性质，勾股定理是解决问题的关键． 11．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在中，分别是的中点，点M是和平分线的交点，连接．有以下结论：①四边形是菱形；②的面积是面积的；③；④当且时，四边形是正方形．其中正确结论是：______（填序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、面积关系、特殊四边形的判定，相似三角形的判定和性质等几何知识，解题的关键在于三角形中位线定理，面积比例关系，特殊四边形的判定，角度关系的推导．根据三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形角内角和定理，特殊四边形的判定逐个判断即可． 【详解】解：分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故①四边形是菱形错误； 四边形是平行四边形， ， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， 故②的面积是面积的正确； 点M是和平分线的交点， ， ， 在中，， ， ， 故③正确； 若，， 则， 内角和大于，显示不成立， 故④当且时，不能构成三角形，则四边形是正方形的说法错误． 综上，答案为：②③． 12．(24-25八下·北京燕山区·期末)正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与正方形的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、正方形性质及规律探究．关键是通过分析、的坐标关系，结合直线解析式推导通用规律，利用规律求解具体点坐标．先通过、坐标确定、坐标，用待定系数法求直线解析式，再结合正方形边长与坐标的关系，推导坐标规律，进而求解、的坐标． 【详解】解： ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即； ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即． 把、代入， ， 解得，即直线解析式为． 推导坐标规律 观察，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； ，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； 对于，正方形的边长为（由在直线上，结合规律 ∴横坐标为，纵坐标为 ），则横坐标为，纵坐标为，即； 归纳 ∴坐标为． 当时，； 当时，． 故答案为：，． 13．(24-25八下·北京西城区·期末)如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 3 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 14．(24-25八下·北京大兴区·期末)如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，于是根据“”判定依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，进而可得的周长，再进而根据求出五边形的面积解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由折叠可知：， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形边长是，点是的中点， ∴， 设， 则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得： ， ∴，，， ∴的周长是， 故②错误； ， ， 由折叠可得，， ，故③正确； ，故④正确． 故答案为： ①③④． 15．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系及完全平方公式的应用，正确得出的值最大时，直线在外部，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质得出，得出当直线在内部时，，当直线在外部时，，可得的值最大时，直线在外部，根据勾股定理，利用完全平方公式得出，结合三角形三边关系即可的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当直线在内部时，， 当直线在外部时，， ∴的值最大时，直线在外部， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为： 地 城 考点02 四边形几何综合压轴 一、解答题 1．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G． (1)补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明； (2)用等式表示线段与的数量关系并证明． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意，补全图形即可，然后连接，根据正方形的性质及勾股定理即可得出结果； （2）过点B作于点H，过点B作于点M，根据矩形的判定得出四边形为矩形，再由全等三角形的判定得出，确定，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 2．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图，在正方形中，点是线段上的一点（不与点重合），于点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，连接，，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）依题意得，证明，进而依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点N作于点P，连接，，证明四边形是正方形得，进而依据判定和全等得，，再证明得是等腰直角三角形，由勾股定理得，再证明和全等得，由此即可得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系是：，证明如下： 过点N作于点P，连接，，如图所示： ∴， 在正方形中，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， 由（1）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 3．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），四边形为正方形． (1)直接写出与之间的数量关系； (2)过点作，垂足为，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果； （2）作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，再由矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （3）作于点，根据正方形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵，四边形为正方形． ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，作，交的延长线于点 ， 四边形为正方形， 设交于点， ， 四边形为矩形 矩形为正方形 ； （3） 证明：如图，作于点. 四边形为正方形， ， 在中，根据勾股定理得 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段（点不与点重合），连接．过点作直线的垂线，垂足为点，连接，． (1)如图，当时． ①依据题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段的数量关系，并证明； (2)当时，直接用等式表示，，的数量关系． 【答案】(1)①见解析，② (2) 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）①依据题意补全图形，有， 求出，，即可解答；②在上截取，连接，令交点为，先证明，，则，可得，推导出，，根据勾股定理，得，即可解答． （2）当时，在上截取，连接，令交点为， 同理推导出，，根据勾股定理，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，如图，由旋转，得 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：的度数为． ②在上截取，连接，令交点为，如图 ∵四边形是正方形，于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ． （2）当时，在上截取，连接，令交点为，如图， ∵四边形是正方形，于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ． 5．(24-25八下·北京海淀区·期末)已知E为正方形内部一点，且满足，连接、、． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，射线交线段于点M． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，推出是等边三角形，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可求出的大小； （2）①根据题意补全图形即可； ②连接、，过点作交的延长线于点，由旋转的性质易证，得到，．根据等边对等角的性质，得到，进而得出，再证明出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，． ∵，， ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：①依题意补全图2如图所示： ②，证明如下： 如图，连接、，过点作交的延长线于点， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，． ∴，即． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴， ． ∴． ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)在正方形中，为平面上一点(不与点重合)，且，连接，． (1)若为正方形内一点， ①在图1中依题意补全图形，并求的度数； ②射线交于点，点在边上，，连接，写出，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当为正方形外一点时，的平分线交射线于点，交于点，若，直接写出的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①先画出图形，利用等边对等角得到，两式子相加，结合即可得解； ②作出图形，并将绕着点C逆时针旋转90°，则，证明，得到点E、N、P三点共线，再利用是等腰直角三角形即可得解． （2）过点B作于点Q，则，，三线合一得到，与（1）①同理可得得到，继而求出，最后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①依题意画图如下： 则，， ∴， ∴ ∴； ②，理由如下： 作出图形图下，并将绕着点C逆时针旋转90°， 连接、，由可知点M旋转到点N处， 则， ∴， 由①可知：，则， ∴， ∴点E、N、P三点共线， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点B作于点Q， 同理：，， ∴， ∴ ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交射线于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质和全等三角形的综合问题等知识，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 7．(24-25八下·北京西城区·期末)在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而得到即可解题； （2）①连接，证明即可得到，然后根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边得到结论即可； ②连接，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而求出，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图． 四边形为矩形， ． 的平分线交于点， ． ， ． ． ． ． ， ． （2）①证明：如图，连接． 已证． ． ． ． ， ， ． ． ． ，即点为线段的中点． ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接，． 的中点为， 分别是的外角， 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由．得到．则．证明，，由即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意补全图形如下： （2）证明：连接． ∵点D关于直线的对称点为E，， ，． ． ， ． ． ， ． ． （3）用等式表示线段与的数量关系是：． 证明：连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 9．(24-25八下·北京怀柔区·期末)如图，中，，是的中点，，过点作于点．延长至点，使，连接并延长交延长线于点． (1)①依题意补全图形； ②猜想的度数，并证明． (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①补图见解析；②，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据描述作图即可；②由直角三角形作边中线的性质得出．进而可得．用含的式子表示出和，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）作于点H，于点N，证明，得出．由是的中位线，可得．由是等腰直角三角形，可得． 【详解】（1）解：①补图如图所示 ②． 证明：∵中，，E是AC的中点， ． ， ． ． ， ． ， ． （2）解：，证明如下： 作于点H，于点N， ． ，， ， ． ． ， 在和中， ， ． ， ∴H是的中点，是的中位线． ． 于点N， 是等腰直角三角形． ． ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等，正确添加辅助线是解题的关键． 10．(24-25八下·北京密云区·期末)在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． (1)如图1，当点在线段上时，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出正方形边长的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，，即可得出结论； （2）①如图，过点H作于G，连接，先证明，得到，从而求得，进而得出，得到，再由勾股定理求得，然后证明是的中位线，得到，即可得出结论． ②根据直角三角形的性质求得，然后根据可证，得到，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，然后由勾股定理求得，最后由正方形的性质得． 【详解】（1）证明：如图1， ∵正方形， ∴， ∵点是线段的中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①． 证明：如图，过点H作于G，连接， ∵正方形， ∴，， ∵点是线段的中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即G是的中点， ∵点是线段的中， ∴是的中位线， ∴， ∴； ②∵点是线段的中， ∴ ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵正方形， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 11．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $