专题05 一次函数（2）（期末真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 北京各区期末真题汇编，聚焦一次函数平移与面积、含参问题、实际应用三大高频考点，通过几何动态问题与真实情境探究题，实现基础巩固与能力提升的分层考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6题|一次函数平移（丰台期末题）、含参交点（海淀期末题）|结合菱形、矩形动态问题考查几何直观| |填空|10题|函数图像变换（大兴期末题）、实际应用数据分析（密云货车行程题）|注重基础公式应用与图像信息提取| |解答题|24题|面积计算（海淀实验中学题）、含参不等式（朝阳期末题）、跨学科探究（怀柔浮力实验题）|真实情境（无人机飞行、新能源汽车费用）与逻辑推理结合，呼应北京期末命题趋势|

专题05 一次函数（2） 3大高频考点概览 考点01 一次函数平移、面积问题 考点02 一次函数含参问题与二元一次方程 考点03 函数实际应用与探究 地 城 考点01 一次函数平移、面积问题 一、单选题 1．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 二、填空题 2．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度后，得到的直线解析式为___________． 3．(24-25八下·北京大兴区·期末)将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)一次函数的图象与轴的交点坐标为___________． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是______． 6．(24-25八下·北京燕山区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 三、解答题 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)点是一次函数的图象与轴交点，点是该函数图象上一动点（不与点重合）． ①___________； ②___________（填“”，“”或“”）； (2)点在轴上，且的面积为6，则符合条件的点的坐标是___________． 9．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)求的面积． 10．(24-25八下·北京东城区·期末)已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 11．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)求直线，直线与轴围成的三角形的面积． 12．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 地 城 考点02 一次函数含参问题与二元一次方程 一、单选题 1．(24-25八下·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，函数与的图象交于点A，那么关于x，y的方程组的解是________． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是___________． 三、解答题 5．(24-25八下·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出n的取值范围． 6．(24-25八下·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 7．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图像，直接写出m的取值范围． 9．(24-25八下·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)若，求这个正比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 10．(24-25八下·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． (1)若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； (2)若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 11．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 12．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． (1)求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； (2)若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 13．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． (1)求，的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 14．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． (1)求一次函数解析式； (2)点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； (3)当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 地 城 考点03 函数实际应用与探究 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 2．(24-25八下·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．(24-25八下·北京大兴区·期末)某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25八下·北京密云区·期末)货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 6．(24-25八下·北京怀柔区·期末)新能源汽车主要使用电力、太阳能、氢气等清洁能源作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低．下表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）是已行驶里程x（）的一次函数，现测得已行驶里程x与仪表盘显示电量y的几组对应值： 汽车行驶过程 已行驶里程x（） 0 100 200 300 … 显示电量y（%） 100 75 50 25 … 这辆新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260后，求此时汽车仪表盘显示的电量是______． 7．(24-25八下·北京西城区·期末)如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 8．(24-25八下·北京朝阳区·期末)同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距______km；甲车行驶______h，甲、乙两车相距． 9．(24-25八下·北京丰台区·期末)某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 10．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为______． 三、解答题 11．(24-25八下·北京门头沟区·期末)五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 12．(24-25八下·北京密云区·期末)学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)函数中自变量的取值范围是 ； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； (3)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (4)结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； (5)进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 13．(24-25八下·北京怀柔区·期末)小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 14．(24-25八下·北京怀柔区·期末)学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示： (1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多； (2)求方案二y关于x的函数解析式：（不用体现自变量的取值范围） (3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？ 15．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 42 54 (1)补全表格： (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象． (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________； ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点． 16．(24-25八下·北京西城区·期末)小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； (2)由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 17．(24-25八下·北京东城区·期末)小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 (1)请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； (2)根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 18．(24-25八下·北京海淀区·期末)北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目．在素质项目中，女子的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6 5 4 时间 分值 3 2 1 0 在女子的考试现场，两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：s）时，A同学跑步的路程为（单位：m），B同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（） 0 50 200 450 550 600 650 a 800 (1)a的值为______． (2)请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． (3)根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面； ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． (4)假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 19．(24-25八下·北京大兴区·期末)某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 20．(24-25八下·北京朝阳区·期末)学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 (1)写出表中的值；（结果保留小数点后一位） (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 21．(24-25八下·北京丰台区·期末)小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，没入液体中不同深度，如下图所示． 在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度（单位：）与弹簧测力计 读数（单位：）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力（单位：），如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 0 0.4 0.8 1.2 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 (1)表中的值为___________； (2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点，，并画出的图象； (3)结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度约为___________（结果保留小数点后一位）． 22．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是____； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的____； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质． (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且当，时总有成立，则的取值范围是___． 23．(24-25八·北京二中教育集团·期末)请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． (1)画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． (2)利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 24．(24-25八·北京二中教育集团·期末)共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示． (1)A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元． (2)已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数（2） 3大高频考点概览 考点01 一次函数平移、面积问题 考点02 一次函数含参问题与二元一次方程 考点03 函数实际应用与探究 地 城 考点01 一次函数平移、面积问题 一、单选题 1．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 【答案】C 【分析】过点C作轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段扫过的面积． 【详解】过点C作轴于点D，如图所示． ∵点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴． ∴点C的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点C平移后的坐标为． ∴沿x轴向左平移个单位长度， ∴线段扫过的面积． 故选C． 【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 二、填空题 2．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度后，得到的直线解析式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换．依据题意，由直线向下平移1个单位长度，从而根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可判断得解． 【详解】解：∵直线向下平移1个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得，平移后的直线解析式为． 故答案为：． 3．(24-25八下·北京大兴区·期末)将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质，向上平移则加上平移的单位长度，然后进行整理即可． 【详解】解：根据函数图象平移的性质得，将一次函数的图象向上平移6个单位长度， 则平移后的函数解析为， 故答案为：． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)一次函数的图象与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过一次函数的解析式求与坐标轴的交点坐标，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 利用交点坐标的特点，即与轴的交点坐标，代入解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入解析式得，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，根据直线平移k值不变，只有b发生改变解答即可，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 【详解】∵直线向下平移了2个单位长度， ∴由“上加下减”的原则得：平移后的解析式为：，即， 故答案为：． 6．(24-25八下·北京燕山区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴k值不变，， ∴一次函数为：， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为：， 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)点是一次函数的图象与轴交点，点是该函数图象上一动点（不与点重合）． ①___________； ②___________（填“”，“”或“”）； (2)点在轴上，且的面积为6，则符合条件的点的坐标是___________． 【答案】(1)2， (2)或 【分析】本题主要考查了网格中的三角形，根据一次函数解析式求交点坐标，求三角形的面积，利用待定系数法求一次函数解析式，根据解析式判定直线平行，勾股定理及其逆定理，利用三角形的位似求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）①利用一次函数的解析式求出交点坐标，利用割补法求出三角形的面积即可； ②利用待定系数法求直线的解析式，根据值相等得出两直线平行，进而可确定面积的大小； （2）先求出高的长度，分类讨论，利用位似三角形的相似比求出线段的长度，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：①由一次函数解析式得， 当时，， ∴， 又∵点的坐标为，点的坐标为， 如果沿着三个顶点作矩形，则； ②假设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由值相等可得，一次函数的图象与直线平行， ∴； 故答案为：2，； （2）解：由勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 即， ∵，的面积为6， ∴边上的高为， 假设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， 如图，在轴上找一点，过点作，交直线与点， 所以此时，与关于点成位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，同理，当与关于点成位似图形，且相似比为时，仍满足题意， 此时，点与点关于点对称， ∴， 综上点的坐标为或． 9．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点以及坐标系中求三角形的面积等知识，正确求出一次函数的解析式是关键； （1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，再进一步求直线与x轴的交点坐标即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入，得 ，解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （2）解： ． 10．(24-25八下·北京东城区·期末)已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 【答案】(1) (2)；向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到即可 ） 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把点和代入解析式求得与的值即可； （2）设平移后的直线表达式为．把代入求出m的值，对比原解析式与平移后，通过纵坐标变化确定平移方向和距离，如向上平移个单位（或其他合理组合平移 ）． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ， 解得． 一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线表达式为． 把代入得到，， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 平移方法：原函数，要得到，需向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到 ）． 11．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)求直线，直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，画一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据点和画出函数图像； （3）求出交点坐标和两直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， 解得 一次函数的解析式是． （2）解：该一次函数的图象如图所示． （3）解：设直线与轴的交点为，与直线的交点为． 对于一次函数，令，解得． 点的坐标为． 解方程组得 点的坐标为． 设所求三角形的面积为． ． 12．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）m的值为3，一次函数的表达式为；（2） 点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2） 【分析】（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数y=x中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值进而得到一次函数解析式； （2）利用△BPC的面积为6，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上， ∴ m，，即点C坐标为（3，4）． ∵ 一次函数 经过A（－3，0）、点C（3，4）， ∴   解得： ， ∴ 一次函数的表达式为 ； （2）∵△BPC的面积为6， ∴， 解得：BP=4， 对于，当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入函数y=kx+b中，计算出k、b的值是解题关键． 地 城 考点02 一次函数含参问题与二元一次方程 一、单选题 1．(24-25八下·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解，两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，已知交点，将代入直线方程即可求出的值，从而确定方程组的解． 【详解】解：直线与相交于点， 该点的坐标同时满足两个直线方程， 将代入， 得：， 因此， 交点坐标为， 方程组的解即为两条直线的交点坐标，故解为， 故选：B． 二、填空题 3．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，函数与的图象交于点A，那么关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标即为两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可得点A的坐标为， ∵函数与的图象交于点A， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的图象交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：解：∵一次函数和的图象的交点坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八下·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系； （1）依据题意，由一次函数的图象与函数的图象交于点，则，且，进而计算可以得解； （2）方法一：依据题意，由当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，则，且，可得，且．故，进而计算可以得解； 方法二：在同一坐标系作出函数和的图象，又当时，，再令，则，又当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，然后结合图象即可判断得解． 【详解】（1）由题意，∵一次函数的图象与函数的图象交于点， ∴，且． ∴，； （2）解：方法一：∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， ∴，且． ∴，且． ∴． ∴． 方法二：在同一坐标系作出函数和的图象． 由题意得，当时，， ∴令，则． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， ∴结合图象可得，． 6．(24-25八下·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； （2）解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 如图， 当时，， 把代入，得 ， ∴． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 7．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点问题等知识． （1）先求出n的值，再利用待定系数法即可求出k，b的值． （2）画出函数图像，根据函数图像即可得出当时，一次函数的值既大于的值，也大于函数的值． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 则一次函数的图象经过点，且与的图象交于点， 把点，点代入， 得：， 解得：， 则一次函数． （2）解：根据函数图像可知：当时，时，一次函数在一次函数上面，也在一次函数的上方， 则当，时，一次函数的值既大于的值，也大于函数的值． 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用一次函数图象平移时不变，先确定的值，再将已知点代入函数求． （2）结合函数图象，根据两函数的位置关系确定的取值范围． 本题主要考查一次函数的平移性质、函数解析式的求解以及函数图象的应用，熟练掌握一次函数的性质和平移规律，结合图象分析函数值大小关系是解题的关键． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ． 函数的图象经过点， ． 解得． ，． （2）解：结合函数图像，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时． 9．(24-25八下·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)若，求这个正比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的综合问题，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入一次函数解析式求出b，再将点P代入一次函数解析式求出k的值即可得解； （2）求出根据点P的坐标结合图象求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式是：； （2）由题意可知：正比例函数图象介于如下两根虚线之间(含平行的虚线，不含过点P的虚线)， ∴． 10．(24-25八下·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． (1)若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； (2)若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，两点距离计算公式，解不等式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出点A坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而求出点C的坐标即可； （2）把点B坐标代入一次函数解析式求出b的值，再求出点C的坐标，利用两点距离计算公式用含k的式子表示出，再根据线段的长度小于5建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解；∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵线段的长度小于5， ∴， ∴， ∴或． 11．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象的交点确定函数系数的取值范围能内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． （1）根据函数图象平移的性质确定值，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据题意先确定临界点坐标，再根据图象的性质确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据图象平移的性质可得，即， 将代入解析式得， 解得， ∴该函数的解析式为； （2）解：如图所示， 当时，代入得，， 当经过点时，即， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 此时，． 12．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． (1)求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； (2)若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线经过点和，利用待定系数法即可求得表达式，然后求得当时，的值，得到与轴的交点的坐标； （2）根据函数的值小于函数的值，且大于0，列出不等式组求得，结合，得到，解之即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴，解得， ∴该直线的表达式为， ∵当时，， ∴该直线与轴交点的坐标为． （2）解：根据题意可得， 解得 ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 13．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． (1)求，的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点的坐标代入先求出的值，然后再代入求出b值即可； （2）借助图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴交点坐标为， 把代入得； （2）解：直线解析式为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴． 14．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． (1)求一次函数解析式； (2)点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； (3)当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的性质，确定一次函数解析式，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键 （1）由题意可设一次函数，再结合待定系数法求得解析式； （2）根据题意确定，设，利用面积建立方程求解即可； （3）根据题意，分三种情况分析，列出不等式，即可求得解． 【详解】（1）解：由题意可设一次函数， ∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数． （2）一次函数， 当时，， ∴， ∵点P为x轴上一点， ∴设， ∴， ∵的面积是2， ∴， 解得：或， ∴或 （3）由题意得当时，，得， ①当时，； ②当时，，则，解得， ∵， ∴，则有； ③当时，，则，解得，不符合题意； ④根据题意得：， 综上所述，或． 地 城 考点03 函数实际应用与探究 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八下·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 3．(24-25八下·北京大兴区·期末)某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是从函数图象中获取信息并进行分析计算． 通过观察函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质，对四个结论逐一分析判断． 【详解】当时，，此时过滤时间为0，即初始状态，所以初始污水总量为5升，结论①正确； 从图象中可以看到，当时，对应的，这表示当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升，结论②正确； 根据图象，2分钟内过滤的污水量是初始污水量5升减去2分钟时剩余的4升，即升．根据“速度过滤的污水量时间“，可得污水过滤速度为升/分钟，结论③正确； 已知初始污水总量为5升，污水过滤速度为0.5升／分钟．根据“时间总量速度“，可得过滤全部污水需要的时间为分钟，结论④正确． 故选：D． 4．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 二、填空题 5．(24-25八下·北京密云区·期末)货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 【答案】/④① 【分析】本题考查了函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键： 看图象中轿车初始距甲地的距离，确定①正确．用货车行驶全程的路程除以总时间，得速度，故②错误． 先算相遇时间，再减去轿车行驶的时间，得休息，所以③错误．分别算出货车、轿车（行驶用时+休息）的时间，作差得，故④正确． 【详解】①由图象知轿车初始距甲地，故甲乙两地相距，正确． ②货车行驶，速度为，错误． ③相遇时货车行驶，用时；轿车行驶用时，休息时长为，错误． ④货车行驶全程用，轿车行驶全程（含休息）：行驶需，休息，总用时，，正确． 正确结论序号为． 故答案为：． 6．(24-25八下·北京怀柔区·期末)新能源汽车主要使用电力、太阳能、氢气等清洁能源作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低．下表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）是已行驶里程x（）的一次函数，现测得已行驶里程x与仪表盘显示电量y的几组对应值： 汽车行驶过程 已行驶里程x（） 0 100 200 300 … 显示电量y（%） 100 75 50 25 … 这辆新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260后，求此时汽车仪表盘显示的电量是______． 【答案】35 【分析】本题考查了一次函数的解析式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 该一次函数的解析式为，将分别代入可得该一次函数的解析式为，再将代入，即可解答． 【详解】解：该一次函数的解析式为，将分别代入，得： ， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：35． 7．(24-25八下·北京西城区·期末)如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 3 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 8．(24-25八下·北京朝阳区·期末)同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距______km；甲车行驶______h，甲、乙两车相距． 【答案】 20 【分析】（1）根据图象的信息即可解答； （2）求出点E的坐标，分甲车在线段段、甲车在线段段、甲车在线段段三种情况解答即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， 两地相距， 故答案为：20； 当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发， 乙车中途休息，22,60 从点过程中，只有甲车行驶， 甲车的速度为， 点甲行驶的时间为， ， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得， 综上，甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车相距． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． 9．(24-25八下·北京丰台区·期末)某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 10．(24-25八·北京二中教育集团·期末)如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为______． 【答案】2或7 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，根据函数图象可得当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6，，由矩形的性质可得，则；求出，再分点Q在上，点Q在上和点Q在上，根据的面积是3分别建立方程求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵点P是中点， ∴； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 综上所述，x的值为2或7， 故答案为：2或7． 三、解答题 11．(24-25八下·北京门头沟区·期末)五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 【答案】(1)见解析 (2)①30，10；②6；③4或8 【分析】本题考查一次函数的应用，（1）描点并连线即可； （2）①根据路程等于速度乘时间分别写出y1与x，y2与x之间的函数关系式，当时，求出对应y1的值，当时，求出对应x的值即可； ②当时，列关于x的一元一次方程并求解即可； ③当时，列关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：用描点法画出y1与x的函数图象如图所示： （2）解：①1号无人机上升速度为6米/秒，则y1与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为30米； 2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为10秒． 故答案为：30，10． ②当时，得， 解得， ∴当1号，2号两架无人机上升6秒时，距离地面的竖直高度相同． 故答案为：6． ③当时，得， 解得或， ∴当1号，2号两架无人机上升4秒或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 故答案为：4或8． 12．(24-25八下·北京密云区·期末)学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)函数中自变量的取值范围是 ； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； (3)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (4)结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； (5)进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】(1)一切实数 (2) (3)图象见解析 (4)①2；② (5) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式的意义条件得，求解即可； （2）把代入 中，求出y值即为m值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （5）由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【详解】（1）解：由二次根式的意义条件，得 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　 故答案为：一切实数． （2）解：把代入 中，得 ， ∴． （3）解：函数的图象如图所示： （4）解：如图， ①∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． （5）解：由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．(24-25八下·北京怀柔区·期末)小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 14．(24-25八下·北京怀柔区·期末)学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示： (1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多； (2)求方案二y关于x的函数解析式：（不用体现自变量的取值范围） (3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？ 【答案】(1)当购买30件产品时，两种方案付费一样多； (2)方案二关于的函数解析式为：； (3)若购买件数件， 当，则选择方案一； 当，则两个方案选择哪一个都可以； 当，则选择方案二 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象获得必要的数学信息是解题的关键． （1）根据两图象交点坐标作答即可； （2）求出方案二奖品的单价，从而求出关于的函数解析式即可； （3）根据图象，比较两种方案的函数值即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当购买30件奖品时，两种方案付费一样多． （2）解：由图象可知：方案二关于的函数图象经过点，， 设方案二关于的函数解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴方案二关于的函数解析式为． （3）解：根据图象，当购买不足30件时，即当时，即选择方案一更省钱， 当购买30件时，即当时，方案一和方案二费用相同，任选一个方案购买即可， 当购买超过30件，即当时，选择方案二更省钱． 15．(24-25八下·北京燕山区·期末)如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 42 54 (1)补全表格： (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象． (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________； ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)①；②， 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据表格数据增长规律作答即可； （2）由表格描点，连线即可； （3）①根据函数图象可得y与之间的函数表达式是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式，将代入计算即可； ②求出时的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6， ∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为； （2）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图： （3）①解：设解析式为， 当， 则有， 解得， ∴解析式为：， ∵时，， ∴函数解析式为：， 将代入得， 故答案为：； ②解：当时，即， 解得：， 即经过，箭尺读数为， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当箭尺读数为时是． 故答案为：，． 16．(24-25八下·北京西城区·期末)小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； (2)由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)全体实数， (2)见解析 (3)①； ②或；③ 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图像，即可解答；②根据函数图像，即可解答；③画出一次函数，的图像，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：由函数得 ∴自变量的取值范围是全体实数，的取值范围是． 故答案为：全体实数，． （2）如图所示 （3）①由图像可知，当时，；； ②由图像可知，当时，或； ③如图所示 ∵对于的每一个值，函数的值都小于函数的值， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∴k的取值范围为． 17．(24-25八下·北京东城区·期末)小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 (1)请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； (2)根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)；图象见详解 (2)双层部分的长度为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．画一次函数，求一次函数解析式等． （1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据得求出x的值，从而求出y的值即可． 【详解】（1）解：描点如下： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为 (k、b为常数，且)， 将坐标和分别代入， 得：， 解得： 则， 当时，，当时，得时，解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． （2）解：根据题意，， 即， 解得：， 当时，得， 解得：， ∴此时双层部分的长度为． 18．(24-25八下·北京海淀区·期末)北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目．在素质项目中，女子的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6 5 4 时间 分值 3 2 1 0 在女子的考试现场，两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：s）时，A同学跑步的路程为（单位：m），B同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（） 0 50 200 450 550 600 650 a 800 (1)a的值为______． (2)请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． (3)根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面； ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． (4)假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 【答案】(1)700 (2)见详解 (3)①③ (4) 【分析】（1）从表中可知在这一时间段内呈现匀速变化，先算出这一时间段的速度，再根据的间隔，结合已求出的速度算出这段时间增加的路程，最后加上时的路程，即可求出的值； （2）在平面直角坐标系中准确找出这些点的位置，然后按照顺序用平滑的曲线将这些点连接起来，就可以完成图像的补全； （3）①对于判断同学位置关系，我们只需在这个时间段内，对比和每个时刻对应的路程大小判断即可；②判断同学跑得分，需要先从表格中找出同学跑对应的时间，再对照评分标准确定相应的分值判断即可；③判断同学匀速跑步阶段速度是否相同，我们分别计算出同学在各自匀速跑步阶段的路程和时间，然后根据速度公式算出速度，最后比较两个速度是否相等即可； （4）利用已知的跑这一条件，通过比例关系求出跑所用的时间，再依据评分标准确定同学的得分即可． 本题考查了数据的分析与解读和应用能力，函数的图像与描点以及对评分标准的理解，对数据表的解读是解本题的关键． 【详解】（1）解:观察的数据规律，发现从到，路程从增加到，根据匀速部分的规律,从到,时间经过了,路程增加了,则每秒跑了，到经过，增加的路程是，故， 故答案为:700； （2）根据表2中的的时间和路程数据，在平面直角坐标系中依次找出对应点，然后用平滑的曲线连接起来，如图所示， （3）当时,同学的路程始终大于同学的路程,从表中还可以看出同学在每个时间点的路程都超过同学的路程,因此①正确； 同学完成的时间为，即4分20秒；根据评分标准，4分25秒对应6分，4分16秒对应6.5分，因此4分20秒对应6分，结论②错误； 同学在匀速阶段阶段的速度为：从到，跑了，速度为；同学在匀速阶段的速度为：从到，跑了，速度为； 因此，两名同学在匀速跑阶段速度相同，结论③正确； 故答案为：①③； （4）同学在时跑了，匀速速度为，剩余的路程为，以匀速速度完成需要，因此同学完成的总时间 为4分0秒，根据评分标准，4分01秒对应分； 综上分析，同学可以得到7.5分， 故答案为： 19．(24-25八下·北京大兴区·期末)某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 20．(24-25八下·北京朝阳区·期末)学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 (1)写出表中的值；（结果保留小数点后一位） (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)3.6； (2)见解析 (3)①；②（答案不唯一） 【分析】本题考查函数与图象，从数据中发现规律，得到函数关系是解题的关键． （1）观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，据此即可解答； （2）将表格数据描点，并连线即可解答； （3）①观察函数图象，得到体积相差最大时所对应的自变量的值即可解答； ②观察函数图象，得到1号装置停止加工，2号装置大约在什么时刻得到和1号装置相同的体积，减去①中得到的时间即为2号装置再加工需要的时间． 【详解】（1）解：观察表格可发现，当x每增加时，的值增加， ∴； （2）解：将表格数据描点，并连线，得 （3） 解： ①观察函数图象可得，当时，实验液体的体积相差最大． ②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等， ∴2号装置再加工的时间为：（小时）． 故答案为：①；②（答案不唯一） 21．(24-25八下·北京丰台区·期末)小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，没入液体中不同深度，如下图所示． 在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度（单位：）与弹簧测力计 读数（单位：）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力（单位：），如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 0 0.4 0.8 1.2 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 (1)表中的值为___________； (2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点，，并画出的图象； (3)结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度约为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.6 (2)见解析 (3)①增大，不变；② 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． （1）根据随h的变化规律计算即可； （2）补充点并连线即可； （3）①根据表格或图象填空即可；②观察图象即可． 【详解】（1）解：由表格可知，h增加，增加， ∴． 故答案为：1.6； （2）解：补充点及图象如图所示： ； （3）解：①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力增大；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力不变． 故答案为：增大，不变； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为． 故答案为：． 22．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是____； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的____； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质． (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且当，时总有成立，则的取值范围是___． 【答案】(1)； (2)4； (3)作图见解析，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可） (4) 【分析】（1）根据分式的分母不等于零求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；观察图象即可得出该函数的性质； （4）根据题意表示出点A和点B到对称轴直线的距离的范围，然后根据点A到对称轴直线的距离大于点B到对称轴直线的距离列不等式，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：将代入 故答案为：4； （3）解：如图所示， 由图象可得，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）； （4）解：∵点和点在函数的图象上， ∴点A到对称轴直线的距离为， ∵ ∴点A到对称轴直线的距离的范围为到 ∴点B到对称轴直线的距离为， ∵ ∴点B到对称轴直线的距离的范围为到 ∵总有成立 ∴点A到对称轴直线的距离大于点B到对称轴直线的距离 ∵ ∴当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得 ∴； 当时，，解得，恒成立，符合题意 ∴ 综上可得，． 【点睛】此题考查了函数的图象和性质，分式有意义的条件，求函数值，画函数图象，比较函数值大小等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．(24-25八·北京二中教育集团·期末)请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． (1)画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． (2)利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①函数图象关于对称；②；③或 【分析】题目主要考查函数图象的性质，画函数图象，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）①根据题意代入计算填表即可；②结合表格，描点、连线即可； （2）①根据函数图象写出性质即可；②根据函数图象确定取值范围；③根据函数图象及题意即可确定取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … ②函数图象如图所示： （2）①函数图象关于对称（答案不唯一）， 故答案为：函数图象关于对称； ②由函数图象得，当时，， 故答案为：； ③∵， ∴， ∵对于，，都有， ∴结合图象得：或， 故答案为：或． 24．(24-25八·北京二中教育集团·期末)共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示． (1)A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元． (2)已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差． 【答案】(1)；6； (2)选择A品牌，价格差1元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得出结果，结合图象信息即可确定B品牌收费； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得；分别确定两个函数解析式，然后代入计算即可确定差值． 【详解】（1）解：根据图象得：元， 骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元， 故答案为：；6； （2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以选择A品牌共享电动车会更省钱 设，将点代入得：， 解得：， ∴， 设，将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，，， 元． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $