八年级数学下学期期末模拟卷（新教材北京版）

**基本信息** 立足北京版八年级下册全册内容，以现实情境与分层设计为特色，融合几何、代数与统计，通过项目化制作、漏水问题分析等真实任务，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图形性质（轴对称与中心对称）、方程概念、函数应用、箱线图分析|第5题箱线图比较两班成绩，体现数据意识；第7题行程函数图象分析，考查几何直观| |填空题|8/24|坐标、中点性质、根与系数关系、统计频数、正方形综合|第16题“差根方程”创新定义，融合一元二次方程与直角三角形，培养创新意识| |解答题|10/72|方程求解、函数建模、数据分析、几何证明、项目化实践|23题长方体收纳盒制作（模型意识）、24题漏水问题函数建模（应用意识）、25题矩形与等边三角形综合（推理能力）|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解： A. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 3．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 4．如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质；由平行四边形性质可得，又因为，可得是等腰三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 7．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则，解得； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 8．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．点P在第二象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征作答即可． 【详解】解：∵点P在第二象限内， ∴其横、纵坐标分别为负数、正数， 又∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， 故点P的坐标为． 10．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知点分别是的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】解：点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】确定方程的二次项系数与一次项系数后，代入公式即可求解. 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为 ，则 , ∵一元二次方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 12．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 【答案】12 【分析】先计算出不合格的人数，根据频数的定义，不合格人数即为不合格学生的频数． 【详解】解：由题意可得，总人数为，优秀人数为，合格人数为． 不合格人数为： ． 根据频数的定义，可知不合格学生的频数为． 13．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 14．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 16．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）解方程求出方程的两个解，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （2）根据“差根方程”的定义和勾股定理求出的长，设出满足题意的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得或， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴， 解得； （2）不妨设， ∵的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根， ∴， ∴，即， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设符合题意的方程为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴符合题意的方程为（答案不唯一）． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18．（5分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 19．（6分）已知一次函数的图象经过点与． (1)求该函数的解析式； (2)说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)随的增大而减小； 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）写出函数的增减性，根据增减性确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点与代入函数解析式，得， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵图象过点， ∴当时，． 20．（6分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩： 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3    【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图； (2)填空： ， ； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)91； (3)八年级（1）班成绩更好一些；理由见解析 【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，众数，方差． （1）找出八年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可； （2）先得出八年级（1）班成绩为90分的学生人数和95分人数，然后求出其平均分和中位数即可； （3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可； 【详解】（1）解：根据八年级（3）班20名学生成绩，补全条形统计图，如图所示：    （2）解：根据题意可得：，， ∴ 从小到大排列得：， 最中间的两个为 90 和 95 ， ； （3）解：我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为： 八年级（3）班的众数为， 平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，综上所述，八年级（1）班成绩更好一些． 21．（6分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 22．（8分）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【分析】本题考查折线图及数据分析，从折线图上获得信息是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 23．（8分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【分析】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 24．（8分）综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … (1)请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． (2)根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 (3)已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ (4)若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 【答案】(1)作图见解析，一 (2) (3) (4)小时 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点、连线，通过观察图象特征，判断函数类型． （2）利用待定系数法，结合表格数据求一次函数表达式． （3）将量筒最大容量代入函数表达式，求出对应时间，再计算达到最大容量的时刻． （4）将成年人日饮水量代入函数表达式，求出对应时间，再换算为小时并估算结果． 【详解】（1）解：如图， 由图象可得发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的一次函数关系； （2）解：设关于的函数表达式为（）． 将，代入，得， 将，和代入，得， 解得， ； （3）解：令，则， 解得， 分钟， ∴量筒内的水刚好达到最大容量； （4）解：令，得， 解得， 分钟小时， ∴这个水龙头小时的漏水量可供一个成年人一天饮用． 25．（10分）在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 【答案】(1)见解析； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，设交于点K，由矩形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，由三角形中位线定理得到；由勾股定理得到；取的中点L，连接，则；；根据，可得； （2）①延长到点G，使得，连接，可证明，得到；证明，得到，则，即可证明C、F、G三点共线，再由直角三角形的性质可得结论；②由正方形的性质得到；取的中点P，连接，同理可得，根据，可得当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：补全图形如下所示， 连接，设交于点K， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为的中位线， ∴； 在中，； 如图所示，取的中点L，连接， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴； （2）解：①，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴点O是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、F、G三点共线， 在中，， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，取的中点P，连接， 同理可得， ∵， ∴当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若，且，则称点P为线段的“-相关点”．已知，． (1)如图1，当时， ①在点中，是线段的“-相关点”的是 ； ②当时，直线上存在线段的“-相关点”，则b的取值范围是 ； (2)当时，直线上存在2个线段的“-相关点”，求k的取值范围； (3)当时，若点P为线段的“-相关点”，其中，且点P与原点O在直线同侧，直接写出所有满足条件的点P构成的图形面积． 【答案】(1)①，；②或 (2)或或 (3) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）①根据“-相关点”的定义，只要，且，据此即可判断；②线段的“-相关点”为与，“-相关点”为与，当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点），要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、，据此即可求出b的取值范围； （2）当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰，连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上，直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点，据此即可求出k的取值范围； （3）以为边作等边，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到，同理以为底边作等腰，且，则点从运动到，得出所有满足条件的点P构成的图形面积，求出面积即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴，显然与是线段的“-相关点”， ∵，，， ∴， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴， ∴与是线段的“-相关点”， 而， ∴不是线段的“-相关点”， 如图所示： ②如图所示，由①得线段的“-相关点”为与， 在坐标系中取点，， ∴， ∴、都是等边三角形，即， ∴线段的“-相关点”为与， ∴当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点）， 要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、， 经过时，； 经过时，； 经过时，； 经过时，； ∴或． （2）解：当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰， 连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上， ∴直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点， 过轴、轴， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； ∴或或． （3）解：以为边作等腰，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到， 同理以为底边作等腰，且，则点从运动到， ∴对于每一个点都会有线段与之对应，随着在与之间运动，则扫出如下阴影部分图形， ∵，，， ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 7．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 8．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．点P在第二象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为_________． 10．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 12．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 13．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 14．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 16．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（5分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 19．（6分）已知一次函数的图象经过点与． (1)求该函数的解析式； (2)说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 20．（6分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩： 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3    【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图； (2)填空： ， ； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； 21．（6分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 22．（8分）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 23．（8分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 24．（8分）综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … (1)请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． (2)根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 (3)已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ (4)若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 25．（10分）在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若，且，则称点P为线段的“-相关点”．已知，． (1)如图1，当时， ①在点中，是线段的“-相关点”的是 ； ②当时，直线上存在线段的“-相关点”，则b的取值范围是 ； (2)当时，直线上存在2个线段的“-相关点”，求k的取值范围； (3)当时，若点P为线段的“-相关点”，其中，且点P与原点O在直线同侧，直接写出所有满足条件的点P构成的图形面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 7．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 8．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．点P在第二象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为_________． 10．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 12．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 13．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 14．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 16．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（5分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 19．（6分）已知一次函数的图象经过点与． (1)求该函数的解析式； (2)说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 20．（6分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩： 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3    【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图； (2)填空： ， ； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； 21．（6分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 22．（8分）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 23．（8分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 24．（8分）综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … (1)请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． (2)根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 (3)已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ (4)若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 25．（10分）在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若，且，则称点P为线段的“-相关点”．已知，． (1)如图1，当时， ①在点中，是线段的“-相关点”的是 ； ②当时，直线上存在线段的“-相关点”，则b的取值范围是 ； (2)当时，直线上存在2个线段的“-相关点”，求k的取值范围； (3)当时，若点P为线段的“-相关点”，其中，且点P与原点O在直线同侧，直接写出所有满足条件的点P构成的图形面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A A C B C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10． 11． 12．12 13． 14． 15． 16． （答案不唯一） 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，；·······································2分 （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，．·······································5分 18．（5分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根；·······································2分 （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ．·······································5分 19．（6分） 【答案】(1) (2)随的增大而减小； 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）写出函数的增减性，根据增减性确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点与代入函数解析式，得， 解得， ∴；·······································3分 （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵图象过点， ∴当时，．·······································6分 20．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)91； (3)八年级（1）班成绩更好一些；理由见解析 【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，众数，方差． （1）找出八年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可； （2）先得出八年级（1）班成绩为90分的学生人数和95分人数，然后求出其平均分和中位数即可； （3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可； 【详解】（1）解：根据八年级（3）班20名学生成绩，补全条形统计图，如图所示：   ·······································2分 （2）解：根据题意可得：，， ∴ 从小到大排列得：， 最中间的两个为 90 和 95 ， ；·······································4分 （3）解：我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为： 八年级（3）班的众数为， 平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，综上所述，八年级（1）班成绩更好一些．·······································6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ．·······································3分 （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16．·······································6分 22．（8分） 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【分析】本题考查折线图及数据分析，从折线图上获得信息是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ；·······································2分 （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5；·······································5分 （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛．·······································6分 23．（8分） 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【分析】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽；·······································2分 （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10．·······································5分 （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内．·······································8分 24．（8分） 【答案】(1)作图见解析，一 (2) (3) (4)小时 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点、连线，通过观察图象特征，判断函数类型． （2）利用待定系数法，结合表格数据求一次函数表达式． （3）将量筒最大容量代入函数表达式，求出对应时间，再计算达到最大容量的时刻． （4）将成年人日饮水量代入函数表达式，求出对应时间，再换算为小时并估算结果． 【详解】（1）解：如图， 由图象可得发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的一次函数关系；·······································2分 （2）解：设关于的函数表达式为（）． 将，代入，得， 将，和代入，得， 解得， ；·······································4分 （3）解：令，则， 解得， 分钟， ∴量筒内的水刚好达到最大容量；·······································6分 （4）解：令，得， 解得， 分钟小时， ∴这个水龙头小时的漏水量可供一个成年人一天饮用．·································8分 25．（10分） 【答案】(1)见解析； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，设交于点K，由矩形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，由三角形中位线定理得到；由勾股定理得到；取的中点L，连接，则；；根据，可得； （2）①延长到点G，使得，连接，可证明，得到；证明，得到，则，即可证明C、F、G三点共线，再由直角三角形的性质可得结论；②由正方形的性质得到；取的中点P，连接，同理可得，根据，可得当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：补全图形如下所示， 连接，设交于点K， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为的中位线， ∴； 在中，； 如图所示，取的中点L，连接， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴；·······································2分 （2）解：①，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴点O是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、F、G三点共线， 在中，， ∴；·······································5分 ②∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，取的中点P，连接， 同理可得， ∵， ∴当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为．································10分 26．（10分） 【答案】(1)①，；②或 (2)或或 (3) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）①根据“-相关点”的定义，只要，且，据此即可判断；②线段的“-相关点”为与，“-相关点”为与，当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点），要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、，据此即可求出b的取值范围； （2）当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰，连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上，直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点，据此即可求出k的取值范围； （3）以为边作等边，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到，同理以为底边作等腰，且，则点从运动到，得出所有满足条件的点P构成的图形面积，求出面积即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴，显然与是线段的“-相关点”， ∵，，， ∴， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴， ∴与是线段的“-相关点”， 而， ∴不是线段的“-相关点”， 如图所示： ·······································2分 ②如图所示，由①得线段的“-相关点”为与， 在坐标系中取点，， ∴， ∴、都是等边三角形，即， ∴线段的“-相关点”为与， ∴当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点）， 要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、， 经过时，； 经过时，； 经过时，； 经过时，； ∴或．·······································4分 （2）解：当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰， 连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上， ∴直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点， 过轴、轴， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； ∴或或．·······································7分 （3）解：以为边作等腰，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到， 同理以为底边作等腰，且，则点从运动到， ∴对于每一个点都会有线段与之对应，随着在与之间运动，则扫出如下阴影部分图形， ∵，，， ∴．·······································10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $