专题06 圆（5大考点）（辽宁专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 辽宁各地2026年二模圆专题汇编，覆盖垂径定理、圆周角定理等5大考点，选择、填空、解答题梯度分布，注重几何直观与推理能力，适配中考二模备考。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约8题|垂径定理（翻折求半径）、圆周角（内接四边形角度）|基础概念与几何变换结合| |填空|约4题|扇形面积（正六边形剪扇形）、弧长计算|图形直观与公式应用| |解答|约15题|切线证明（直径与切线关系）、阴影面积（弓形面积计算）|多考点综合，强调逻辑推理与计算|

命学科网 考点01 垂径定理及其应用 1.C 2.D 3.(1) B H (2)12π-9V5 4.() 2 (2) DE AF DN AD 5.(1)AB∥CD 肾 考点02 圆周角定理及其推论 1.B 2.4V3 3.(1)120 o号 4.(I)LBAD=2∠CAD a号 5.(1)∠CAB=2∠EAB 05 4 6.(1)BC=6V3 (2)6m www.zxxk.com 让教 专题06圆 3/3 与学更高效 西学科网 考点03 与圆有关的位置关系 1.(1)AC为00的切线 (②)tan CAE=2 2.(1)EF是⊙0的切线 暗 3.(1)CD是⊙0切线 a肾 4.(1)AB是00的切线 ②3v6 2 5.(1)AB与00相切 3n 6.(1)DF为00的切线 (2)7 7.(1)45 (2)9n-9 4 8.(1)LAEF=45° (2)10 9.(1)AD=BD (2)780 119 10.(1)CD是⊙0的切线 e 11.(1)DH是00的切线 (2)2 三角形的内切圆与外接圆 考点04 w.zxx k.com 2/3 让教与学更高效 命学科网 1.A 2.D M D 3.(1)A ○ B ac-月 4.(1)CE⊥AE (2)BC的长为π. 5.(1)AF是⊙0的切线 (2)5√2 6.(1)EF是00的切线 2v5 3 7.(1)直线DE与⊙0的位置关系是相切； @-i 8.(1)AD是⊙0的切线 (2)cosa= 5+1 4 9.(1)BC平分∠ABE 2)CE=24 5 10.(1)CE是00的切线 ②y5-2m 2 圆的相关计算 考点05 1.C 2.C 3.A www.zxxk.com 让 3/3 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.D 5.75π 6.4πv3 3 3 7.27 8.(I)BD平分∠ABC 2,x 2/3 专题06 圆 5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 垂径定理及其应用 考点01 1．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2026·辽宁营口·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，弦，则长为（   ） A．8 B．10 C． D． 3．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 4．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． (1)如图1，若，，求的值． (2)如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 5．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，是四边形的外接圆，为的直径，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点，交于点，若，，求的长． 圆周角定理及其推论 考点02 1．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是______． 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，交边于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．（2026·辽宁盘锦·二模）如图，是的直径，点C，E在上，过点E作的切线与的延长线交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2026·辽宁本溪·二模）如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． 与圆有关的位置关系 考点03 1．（2026·辽宁阜新·二模）如图，为的直径，C为外一点，交于点D，E为的中点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 2．（2026·辽宁本溪·二模）如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 3．（2026·辽宁沈阳·二模）已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 4．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 5．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 6．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 7．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，且，连接，，交于点，作线段，使，交于点，连接，交于点，过点作，交于点． (1)记，求的大小； (2)若，，求阴影部分的面积． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，是的直径，C为的中点，E为上一点，的延长线交过点A的切线于点D，的延长线交于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，C，D是上的点，连接，，． (1)求证：； (2)若是的切线，交的延长线于点E．若，，求的长． 10．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； 11．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1．（2026·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C．如果，那么 D．圆内接四边形的对角互余 2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁盘锦·二模）如图，已知四边形内接于，是直径，平分，平分． (1)尺规作图：过点作于点，并证明是的切线； (2)将绕点顺时针旋转后得到的射线交的延长线于点，若，求的长． 4．（2026·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 5．（2026·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 8．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E． (1)求证：是的切线； (2)设，当时，求的值． 9．（2026·辽宁营口·二模）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)已知的半径为5，，求的长． 10．（2026·辽宁营口·二模）如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 圆的相关计算 考点05 1．（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁锦州·二模）如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁盘锦·二模）如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁营口·二模）如图，将边长相等的正方形和正六边形拼在一起，其中正方形的面积为，以公共顶点为圆心，正六边形边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为__________． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，已知，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点M；画射线，交于点N；以点N为圆心，长为半径画弧，交于点P，则的长为______． 7．（2026·辽宁丹东·二模）如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 8．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在中，，点是边上的一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 考点01 垂径定理及其应用 1.(2026辽宁沈阳·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的⊙O BC于点D,将 D 翻新价好经过M60,务E=245.CD5,则60的￥径为() 沿D D A.1 B.5 C.2 D.4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，折叠问题，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义求出∠B 的度数，由平行线分线段成比例定理推出BD:DC=BE:AE,连接ED,作半径OF⊥BD于H,由垂径定 理得到BD=2B朗：由题应知：BD垂直平分OF,由如B-O0 =0B2,求出∠B=30°，由圆周角定理得到 ∠BDE=90°，判定 D14C,推BD:DC=BE:E,得到BD=2DC,因此 H=CD=5,由 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 COsB= BH BO2,求出OB=2,即可得到⊙O的半径长. 【详解】解：连接ED,作半径OF⊥BD于H, D .BD=2BH 由题意知：BD垂直平分OF, 1 1 sin B= OH 1 0B2, ∠B=30°， BE是圆的直径， ∠BDE=90°， :∠C=90°， ∴.∠C=∠BDE, .EDI‖AC, :BD:DC=BE:AE. ..BE=2AE, :.BD=2DC, BH=CD=V阝 c0sB=c0s30°= BH3 BO 2, ∴.OB=2, ∴.⊙0的半径长为2. 故选：C 2.(2026辽宁营口二模)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,弦CD=16,OE:OA=3:5, 则AC长为() 216 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 0 D A.8 B.10 C,45 D.4V5 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，先证明CE=DE=8,连接CO,结合题意 OE=3m,则OA=OC=5m,再利用勾股定理进一步计算即可. 【详解】解：，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,弦CD=16, ..CE=DE=8, 如图，连接CO, B D OE:0A=3:5,0A=OC. .OE=3m,则0A=OC=5m, CE-VO4-OE3-4m-8 AE=5m-3m=2m 解得：m=2,AE=4, :AC=V4+8=4W5 故选：D 3.(2026辽宁葫芦岛·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D A D ()尺规作图：作出劣弧AD的中点E,过点A作AM∥BC,连接BE并延长，交AM于点M;(不写作法， 3/6 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 保留作图痕迹) (②)在(1)的条件下，若∠AMB=15°，AM=12,求阴影部分的面积.（结果用含兀的式子表示） 【答案】()见解析 ②12r-9v5 【分析】山)作4D的垂直平分线交D于一点，即为点B,再过点A作一个等于∠BC 的角，然后连接 BE并延长，交AM于点M,即可作答 (2)先由垂径定理得AE=ED,根据圆周角定理得出∠ABM=∠MBC=15°，再结合勾股定理得出 D=OD-OF=35,算出5n0=2T,然后根据取=Saa0一S代入数值计算，即可作答 【详解】(1)解：依题意，作图如图所示 D (2)解：由(1)，得AM∥BC, ∴∠AMB=∠MBC=15°. :点E是D的中点， ∴.AE=ED」 .∠ABM=∠MBC=15° ∴.∠ABM=∠AMB,∠ABC=∠ABM+∠MBC=30°， .AB=AM=12. 如图，连接OD,过点O作OH⊥BD于点H. 期∠B0D=120,0B=0D=4B=6, :H0=20B=3, ..HD=OD2-OH2=33 4/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=2HD=63 120π×62 .S扇形BOD =12π， 360 S.o-BD-H93 则影面发=S形080-S00=12元-95 4.(2026辽宁葫芦岛·二模)如图，以AB为直径的⊙0与△ABC的边BC交于点D,且∠CAD=∠ABC, M是AB下方半圆上的一动点，连接AM,DM,DM与AB交于点N. D D B A B M 图1 图2 01,若4C=25.c-26.求mM 的值. DE AF (②)如图2，若N是DM的中点，∠ABC的平分线交DM于点E,交AD于点R.求证DN=AD· 2 【答案】()2 (2)见解析 【分析】(1)由直径所对的圆周角等于0度可得出∠ADB=90°，即可得出∠DAB+∠ABC=90°，结合 己知条件可得出∠CAB=90°，根据勾股定理得出AB,由等弧所对的圆周角相等可得出∠B=∠M,再根 据正切的定义求解即可. (2)过点F作FG LAB于点G,由垂径定理进一步证明△AFG∽aADN,由相似三角形的性质得出 FG AF DE AF DN=AD,再证明DE=DF=FG,进一步即可得出DN=AD· 【详解】(1)解：，AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° 5/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DAB+∠ABC=90° ,∠CAD=∠ABC, .∠CAD+∠DAB=90°， .∠CAB=90° .AC=22.BC=2/6 :.AB=VBC2-AC2=V26-(22)=4 4D=AD ∠B=∠M, tanM tanB=4C_2 AB42. (2)证明：如图，过点F作FGL AB于点G. D A B GN 0 M ,N是DM的中点，AB是⊙O的直径， DN L AB,.∠ADB=90°， .FG∥DN, .△AFGn△ADN, FG AF ·DNAD· BE平分∠ABC, .DF=FG,∠ABF=∠DBF ,DN⊥AB,∠ADB=90° 616 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴、∠ABF+∠BEN=∠DBF+∠DFB、 ∴∠DFE=∠BEN=∠DEF, ∴.DE=DF=FG DE FG DNDN· DE AF DN AD 5.(2026辽宁沈阳二模)如图，O 是四边形ABCD 的外接圆，4B为O0的直径，且D=BC 图1 图2 (1)如图1，求证：AB∥CD: (②)如图2，过点B作⊙0的切线交DC的延长线于点E,交DO的延长线于点F,DF交⊙0于点G,若 DC=0G.BE=5,求8c的长 【答案】(1)见详解 a 【分析】(1)连接AC,BD,由题意易得∠ACD=∠BAC,然后问题可求证： (2)连接CG,OC,CG与AB交于点P,由题意易得∠ABF=90°=∠ABE,四边形PCEB是矩形，则有 ∠CPB=90°，CP=BE=√ ,然后可得GP=CP=5,∠G0P=459,0G=V2PG=2=0C 进而根据弧长 公式进行求解即可. 【详解】()证明：连接AC,BD,如图所示： 716 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D AD=BC .∠ACD=∠BAC, ∴.AB∥CD: (2)解：连接CG,0C,CG与AB交于点P,如图所示： ,EF是⊙O的切线， ∴.∠ABF=90°=∠ABE, :AB∥CD, ∴.∠E=∠ABF=90°， ,DG是⊙0的直径， .∠DCG=90°=∠GCE、 四边形PCEB是矩形， ∠CPB=90°，CP=BE=V2 .AB⊥CG GP=CP=√2 DC-CG ..CD=CG. :.△DCG是等腰直角三角形， 8/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DGC=∠0DC=45°， ∴.△OGP是等腰直角三角形， :2G0p=450G=2pG=2=0C ,OC⊥DG, .∠B0C=90°-∠G0P=45°， 45π×2π ∴BC的长为180 2 考点02 圆周角定理及其推论 1. (2026辽宁本溪二模)如图，在O0中，点4是BC的中点，点D在C上，若∠BDC=24 ，则 ∠AOB的大小为() A.12° B.24° C.32° D.48 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明∠BOC=2∠BDC=48°， 再结合点A是C的中点，进一步可得答案 【详解】解：如图，连接OC, E B A 9/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BDC=24°， .∠BOC=2∠BDC=48°， :点4是C的中点， .'BA=AC, :∠A0B3∠B0C=24, 故选：B 2.(2026辽宁鞍山二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，AD=CD,连接OD, 与对角线AC交于点M,若⊙O的半径是6，CB=4,则AD的长是 M B 4V3 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据 MD=CD:得到D=C⑦，则由OD LAC:正明OM为A1BC的中位线，得到OM-BC=2,则可求出 DM=OD-OM=4,利用勾股定理求出AM2,即可利用勾股定理求出AD. 【详解】解：，AD=CD, .AD-CD .OD⊥AC, .∠AM0=∠AMD=90°，点M为AC的中点， :点O为AB的中点， :OM为△ABC的中位线， .OM=BC=2, 2 :⊙0的半径是6， ..OA=OD=6. 10/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DM =OD-OM=4. 在Rt△AOM中，由勾股定理得AM2=OA2-OM2=62-22=32, 在RtAADM中， 由勾股定理得MD=VAM+DM=V32+4=45 4V5 故答案为： 3.(2026江宁大连二模)如图，AB是O0的直径，点C,D在⊙0上，MC=BD,CE是90的切线， CE⊥BD,垂足为E. (I)求∠AOD的度数： (2)若cE=5 ,求D 的长 【答案】()120 4π ②3 【分析】本题主要考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式等知识，正确作出辅助线是解答本 题的关键， G山连接OC,证明OC/BE,得∠A0C=∠ABD,由OD=0B可得∠0DB=∠HBD,由C=8D可得 ∠AOC=∠BOD,从而可证∠BOD=60°，即可得出结论： 2作OF1BE,垂足为P,证明四边形OCEF为矩形，得出OF=CE=V5,再求出0D=2,最后根据 弧长公式求出MD 的长即可 【详解】(1)解：连接OC,如图， 11/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 是 的切线， ∵CE ⊙0 .OC⊥CE, ∴.∠0CE=90° CE⊥BD,垂足为E, ∴.∠CED=90°， .∠OCE+∠CED=180° .OC∥BE, ∴.∠AOC=∠ABD, .OD=OB ∴.∠ODB=∠ABD AC=BD .∠AOC=∠BOD .∠BOD=∠ABD=∠ODB :∠BOD+∠ABD+∠ODB=180°， .∠BOD=∠BDO=60° ∴.∠AOD=180°-∠BOD=180°-60°=120°， (2)解：作OF⊥BE,垂足为F ∴.∠OFE=∠BEC=∠OCE=90° ∴四边形OCEF为矩形. .OF=CE=3 在Rt△ODF中，∠OFE=90°，∠ODF=60°， ∴.sin∠ODF= OF OD 12/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OD OF 5 =2 sin∠ODF sine60° 120×π×24π :.AD的长为180 3· 4.(2026辽宁沈阳二模)如图，⊙0为△ABC的外接圆，AD为O0的直径，交BC边于点E,且 AB=AE」 A D (I)求证：∠BAD=2∠CAD: (2)若AB=7,CE=3,求⊙0的半径. 【答案】（①）见解析 9 02 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程 等知识，掌握圆的相关性质是解题关键. (I)连接OC、CD,根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BAD=∠BCD,再根据等边对等角的性质，得 到LABE=∠AEB=∠CDE=∠OCD,进而得到LCOD=∠BAD,再根据圆周角定理证明即可； (2)设⊙O的半径为r,则DE=2r-7,由(1)可得CD=CE=3,aCDE∽aOCD,根据相似三角形对应边 成比例，得到关于r的一元二次方程，求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OC、CD, A D AC=AC ∴.∠ABE=∠CDE, 13/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AE, .∠ABE=∠AEB, .OC=OD .∠ODC=∠OCD. .∠ABE=∠AEB=∠OCD=∠CDO ∴.∠COD=180°-2∠ODC=180°-2∠ABE=∠BAD, .∠COD=2∠CAD, ∴.∠BAD=2∠CAD (2)解：设⊙0的半径为r,则OC=OD=r,AD=2r, .AB=7,CE=3 AE=7,DE=2-7, 由(I)可知，∠CED=∠CDE,∠OCD=∠ODC, ∴.CD=CE=3,△CDE∽aOCD, CD DE OC CD, 32r-7 3 整理得：2r2-7r-9=0, 解得：r=2或，=-1（舍）， 9 即o0的半径为2· 5.(2026辽宁盘锦·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙0上，过点E作⊙0的切线与AB的延 长线交于点F,且∠AFE=∠ABC, (I)求证：∠CAB=2∠EAB: ②若Br=1sin∠AFE- 5,求BC的长. 14/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 4 ②5 【分析】(I)连接OE,根据等腰三角形的性质得出∠OAE=∠OEA,根据三角形外角的性质得出 ∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠EAB,根据∠OEF=90°，∠ACB=90°，：得出∠FOE=∠CAB,求出结果即 可； ②设半径为，即OE=OB=·则0F=r+1少根据sn乙4FE-号8-，片 50F+1,求出，=4根据 sin∠ABC=4C=sin∠AFE=4 AB AB=8:求出AC=4x8=32 5 =5，根据勾股定理求出结果即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OE, OA=OE, ∴.∠OAE=∠OEA, .∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠EAB, :EF为⊙O的切线， .OE⊥EF, .∠0EF=90°， ,AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， ,∠AFE=∠ABC, .90°-∠AFE=90°-∠ABC, 即LFOE=∠CAB. ∴.∠CAB=2LEAB: (2)解：在Rt△EOF中，设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1, :m24E-专8=有 15/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .r=4, .AB=2r=8, 在R△ABC中，sin∠ABC-4C sin∠AFE= AB 5,AB=8: 、AC==×8=32, 5 BC=AB -AC7 =24 · 6.(2026辽宁本溪二模)如图，已知AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，CD是⊙0的切线，且 AD⊥CD于点D,延长DA交⊙O于点M,连接CM交AB于点F,连接AC,BC,∠AMC=30°，AD=3 F B M (I)求BC的长度； (2)求阴影部分的面积. 【答案】()BC=65 (2)6π 【分析】(1)先由圆周角定理求出相关圆周角与圆心角度数，再由圆的性质得到△AOC是等边三角形， 从而得到∠ACO=60°，AC=AO=OC,再结合切线性质、垂直定义得到相关角度，在RtAADC中，由含 30°的直角三角形性质得到AC=2AD=6,在Rt△ACB中，解直角三角形即可得到答案： (2)在Rt△CDM中，由直角三角形两锐角互余得到∠MCD=60°，进而判断△AOC是等边三角形，再由 两个三角形全等的判定与性质得 S4Fw=S.orc,从而得 S影=S0c,由扇形面积公式代值求解即可 得到答案。 【详解】(1)解：·∠AMC=30°， ∴.∠A0C=60°，则∠ABC=30°， .OA=OC. ∴△AOC是等边三角形， ∴.∠AC0=60°，AC=A0=OC, 16/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD是OO的切线， ∴.OC⊥CD ∠0CD=90°， ∴.∠ACD=∠OCD-∠AC0=30° .·AD⊥CD .∠D=90°， 在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=30°，AD=3, .AC=2AD=6, AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， tan∠ABC=AC , AC ∴.BC= =6√5」 tan∠ABC (2)解：在Rt△CDM中，∠D=90°，∠AMC=-30°，则∠MCD=60°， :∠ACD=30°， :.∠ACM=∠MCD-∠ACD=30° :△AOC是等边三角形， ∴.AF=OF,∠ACM=∠MCO=30°， ∴.∠AMC=∠MCO. :∠AFM=∠OFC, .△AFM≌△OFC, ∴.SAFM=Sorc 如图所示： D FO S阴影=S扇形OC 60×6元=6m 360 17/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 与圆有关的位置关系 1.(2026辽宁阜新·二模)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D,E为BD的中点， 且AC=FC (1)求证：AC为⊙O的切线： (2)若BF=BO,求tan∠CAE的值. 【答案】()证明见解析 (2)tan∠CAE=2 【分析】本题考查的是圆的切线的判定，相似三角形判定与性质，垂径定理推论及圆周角定理的应用等知 识， (I)连接OE交BD于点M,得出OE⊥BD,证出∠E=∠OAE,∠CAF=∠CFA=∠EFM,进而得出 ∠OAE+∠CAF=90°，即可证出结论： AB BE (2)连接BE,证明。ABEABFE,得出BF=EF,根据∠CAF=∠CFA=∠BFE,可求出结论， 【详解】(1)证明：连接OE交BD于点M, D 为 的中点， .E BD .OE⊥BD, .∠E+∠EFM=90°， OA=OE, ∠E=∠OAE, .AC=FC, 18/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAF=∠CFA, ∠CFA=∠EFM, ∠OAE+∠CAF=90°， AC⊥AB, AC为⊙O的切线： (2)解：连接BE, D E B 为 的直径， :AB⊙O .∠AEB=90°， ∠EAB+∠ABE=90°， ∠EAB+∠CAF=90°， .∠ABE=∠CAF」 由(I)知∠CAF=∠CFA=∠BFE, .∠ABE=∠EFB, '∠AEB=∠BEF, ∴△ABE∽△BFE, AB BE BFEF· .:BF =BO, AB_BE_2B0-2. BF EF BF .tan∠CAE=tan∠BFE= BE =2 EF 2.(2026辽宁本溪二模)如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0与AC,BC分别交于点D和 点E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接DE. 19/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：EF是⊙O的切线： (2)若CD=6,BC=10,求⊙0半径. 【答案】（①）见解析 25 26 【分析】(1)连接OE,利用等腰三角形的性质，证明OE川AC即可解答： (2)连接AB,利用等腰三角形的性质，得到∠B=∠C,BE=CE=BC=5,利用圆内接四边形的性质， 得到∠B=∠CDE,证明△ABCAEDC,即可求解， 【详解】(1)证明：如图，连接OE, A EF⊥AC, .∠EFC=90° .AB=AC, ∠B=∠C .OB=OE, ∴，∠B=∠OEB, ∴∠OEB=∠C, ..OE Il AC, .∠OEF=∠EFC=90°， .OE⊥EF :OE是⊙0的半径， 20/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF是⊙O的切线， (2)解：如图，连接AE, A AB是⊙O的直径， ∠AEB=90°， AE⊥CB :AB=AC, BE-CE-1BC-5 ∴∠B=∠C :四边形ABED是⊙O的内接四边形 .∠B+∠ADE=180°， :∠CDE+∠ADE=180°， .∠B=∠CDE ∠C=∠C, △ABCn△EDC, AC BC EC CD AC_10 56, AC=AB=25 9 25 ⊙0半径为6： 3.(2026辽宁沈阳二模)已知：如图，△ABC内接于⊙0，点E为⊙0上一点，连接EB,EA,其中 EA经过圆心O,EA的延长线交射线CD于点D,若∠ACD=∠ABC. 21/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B O (1)求证： CD是OO切线： (②)若4C=5,∠ACD=30 C的长 ,求 【答案】(1)见解析 10元 (23 【分析】(I)过C作圆的直径CM,连接AM,由圆周角定理得到∠MAC=90°，∠ABC=∠M,推出 ∠ACD+∠ACM=90°，即可证明CD是⊙O切线： (2)由圆周角定理得到∠A0C=2∠M=60°，求出∠COE=120°，判定△0AC是等边三角形，得到 O1=41C=5,由弧长公式即可求出EC的长。 【详解】(1)证明：过C作圆的直径CM,连接AM, M D .∠MAC=90°， ∠ACD=∠ABC,∠ABC=∠M, ∴∠ACD=∠M, .∠ACD+∠ACM=90°， ∴.直径CM⊥DC, .CD是⊙O切线： (2)解：由(1)知∠M=∠ACD=30°， ∴.∠A0C=2∠M=60°. .∠C0E=180°-60°=120° 22/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA=OC. ∴，△OAC是等边三角形， ..OA=AC=5, :EC=120mx5_10m 180 3· 4.(2026辽宁阜新·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，AD=BD,⊙O是△ADC 的外接圆，AE为⊙O的直径，连接DE. (I)求证：AB是⊙O的切线： (2)如果CD=1,BD=3,求⊙O的直径AE. 【答案】(1)见解析 3v6 (2)2 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理， 解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形 (I)根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可得∠E=∠BAD,即可求证： (2)作AF I BC于点F,根据等腰三角形的性质可得BF=CF=2,DF=1,然后根据勾股定理可得AF, AC的长，然后根据△AFC∽△ADE,即可求解. 【详解】(I)证明：AB=AC, ∴.∠B=∠ACB DA=DB. .∠B=∠BAD. ∠ACB=∠BAD ∠E=∠ACB .∠E=∠BAD :AE是⊙O的直径， 23/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADE=90° ∴.∠E+∠DAE=90° .∠BAD+∠DAE=90° 即AE⊥AB, 又OA是⊙0的半径， :AB是OO的切线。 (2)解：作AF I BC于点F, D :AB=AC·BF=CF= BC .CD=1.BD=3 .BC=4, :.BF=CF=2,DF=1. 在RtADF中，AD=3, 根据勾服定理得：4F=V32-P=2V2 AC=22-(22=25 :∠AFC=∠ADE=90°，∠E=∠ACF, ∴.△AFC∽△ADE AF AC AD=AE· 2W22V5 即3AE, AE=36 2. 5.(2026辽宁铁岭二模)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=45°，BD平分∠ABC,交AC于 点F,以AC为直径的OO经过CD的中点E. 24/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)求证：AB与⊙0相切： ②若D=2,求A征的长 【答案】(1)见解析 .3π (②4 【分析】对于(1)，连接AE,先说明∠AEC=90°，再根据线段垂直平分线的性质得AC=AD,然后根 据平行线的性质和角平分线的定义得AB=AD,可得∠ACB=∠ABC,再根据∠ABC=45°说明 ∠BAC=90°，即可得出答案； 对于(2)，连接O6,根据中位线的性质得0E=方AD=1,根据平行线的性质求出∠AOE=135,最后根 据弧长公式得出答案 【详解】(1)证明：如图，连接AE, :AC为直径， ∴.∠AEC=90°， AE⊥CD E为CD的中点， ∴.AC=AD ADI‖BC, .∠ADB=∠CBD BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD ∴∠ABD=∠ADB, .AB=AD ..AC=AB ∴.∠ACB=∠ABC ∠ABC=45° 25/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=LABC=45°， ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=90°， AB⊥AC :AC为直径， :AB与⊙0O相切 (2)解：如图，连接OE, :O为AC的中点，E为CD的中点， OE∥AD, OE=1AD AD=2, 0E-AD=1 ,OE∥AD ∴.∠COE=∠CAD AD‖BC .∠CAD=∠ACB=45°， .∠COE=∠CAD=45°， .∠A0E=180°-∠COE=135°， :.l _135×π×1_3m 180 4 D B 6.(2026辽宁朝阳二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0与边BC、AC分别交于 D、E两点，DF⊥AC于F 26/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A (1)求证：DF为⊙O的切线： 3 (②若cosC=5,CF=9,求AE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】(1)连接OD,AD,求出OD∥AC,推出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可： (2)求出CD、DF,推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN,EM=DF=12,求出 OM,即可求出答案。 【详解】(1)连接OD,AD, D E ,AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， 又：AB=AC, .BD=CD. 又：OB=OA, .OD∥AC, 27/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF L AC, .OD⊥DF, 又：OD为OO的半径， DF为⊙O的切线： (2)连接BE交OD于M,过O作ON⊥AE于N, D M B A 则AE=2NE, cosC=3 5,CF=9, ∴.DC=15 ÷DF=V152-92=12 AB是直径， ·LAEB=∠CEB=90°， :DF⊥AC,OD⊥DF, .∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°， ∴.四边形DMEF是矩形， .EM=DF=l2,∠DME=90°，DM=EF, 即OD⊥BE 同理四边形OMEN是矩形， ..OM EN AN, ,OD为半径， ∴.BE=2EM=24, ,∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C, 28/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △CFD∽aCEB, DF CF ·BECE, 129 .249+EF) ..EF=9=DM, 设⊙O的半径为R, 则在Rt△ANO中，由勾股定理得： R2=122+(R-92 225 解得： R= 18, 则EN=OM=25-9=7 7 18 2 ..AE=2EN=7. 7.(2026辽宁沈阳·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在线段AB的延长线上，直线MN与OO相切于 点D,且MN∥AC,连接BD,CD,交OO于点E,作线段AF,使AF∥DC,交OO于点F,连接 DF,交AC于点H,过点D作DG⊥DC,交AC于点G. B E M D N (I)记∠BAF+∠BDE=∠a,求∠a的大小： (2)若BC=3,HB=2,求阴影部分的面积. 【答案】(1)45° 、9π-9 (24 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质及平行线性质得∠AOD=90°，则∠ABD=∠NDB=45°，即 ∠NDE+∠BDE=45°，证明∠BAF=∠C=∠NDE得∠BAF+∠BDE=45°，由此即可得出∠a的度数： (2)设OH=a,则OA=OB=OD=a+2,CH=5,AH=2a+2,证明△HCAFHA得 DH CH 5 FHAH2a+2,设DH=5k:FH=(2a+2)k,证明△DHB∽△AHF得DH·FH=BHAH,则 29/6 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 5k-(2a+2)k=2(2a+2),解得 5,则DH=V0,在R心ODH中，利用勾股定理可求出a=1,进 而符0H=101=0D=30C=6:证明∠GD0=∠C,再根据an∠GD0-8C-0G tanc=OD_1 OD 3 OC 2 3 得0G= 9 9π ,继而得SA。三4，S形O加三4，据此即可得出阴影部分的面积 【详解】(1)解：如图，连接OD, G 6 H M ,直线MN与⊙O相切于点D,AB是⊙O的直径， ∴.OD⊥MN,OA=OB=OD, :MN∥1C,D对若圆心角40D和圆周角<ABD .OD⊥AB,∠ABD=∠NDB,∠C=∠NDE, ∠A0D=90°， &∠ABD=)∠A0D=x90=45, 2 2 ·.∠NDB=45°，即∠NDE+∠BDE=45°， :AF∥DC, ∴∠BAF=∠C， 、∠BAF=∠NDE, .∠BAF+∠BDE=45°， ∠BAF+∠BDE=∠， .∠a=45°： (2)设0H=a, .BC=3,HB=2, ..OB=OH+HB=a+2,CH=BC+HB=3+2=5, 30/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA=OB=OD=a+2. ..AH=OA+OH=a+2+a=2a+2. :AF∥DC, ∴.∠HDC=∠HFA,∠HCD=∠HAF, ∴.△DHC∽aFHA, DH CH 5 ·FHAH2a+2, 设DH=5k,FH=(2a+2)k :0=D ∠DHB=∠AHF ∴.∠DBH=∠AFH, .△DHB∽△AHF, 、DH_BH ·AHFH,即DH·FH=BHAH: 5k(2a+2)k=2(2a+2) 5或0 解得-0 5(负值不符合题意，舍去)， DH=sk=5x 1o -=V10 5 在Rt△ODH中，OH+OD2=DH, ..a+(a+2)=(V0). 解得：a=1或a=-3(负值不符合题意，舍去)， ..OH=a=1,OA=OD=a+2=3, ∴.OC=OH+CH=1+5=6. DG⊥DC, ∴.∠GD0+∠ODC=∠GDC=90°， 在Rt△ODC中，∠C+∠ODC=90°， 31/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、.∠GD0=LC, 在Rt△ODG中，an∠GD0= OGOG OD 3 在R△ODC中，anC=OD=3_ 0C62: 0G1 .32 3 :0G= 2, ÷Sa06=0G-0D=)xgx3=9 1 13 22 4 .∠AOD=90°， 90元×329元 ∴.S第形AOD= 3604 ∴阴影部分的面积为：S扇形4on-S△o0 _9π9_9元-9 444· 8.(2026辽宁铁龄二模)如图，4B是O0的直径，C为丽的中点，B为C上一点，E的延长线交过 点A的切线于点D,CE的延长线交AD于点F,连接AE,BC」 (1)求∠AEF的度数； CF (②)若BC=2W10,DE=2,求DF的值. 【答案】(1)∠AEF=45 vio 【分析】(1)连接AC.先根据圆周角定理∠AEB=∠ACB=90°，再根据等弧对等弦得到AC=BC,进而 可得∠BEC=∠BAC=∠ABC=45°，然后利用平角定义可得答案： (2)如图，延长BC交AD的延长线于点G,根据切线的性质可得，∠BAG=90°，进而可求得 32/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠G=45°=∠ABC CG=BC=2v10 利用等腰三角形的性质得到 .证明aDEF∽aCGF 利用相似三角形 的对应边成比例求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接AC. AB为直径， ∠AEB=∠ACB=90°， ,C为AB的中点， .AC=BC, .∠BAC=∠ABC=45° .∠CEB=∠BAC=45°， ∴.∠AEF=180°-∠AEB-∠CEB=45°： G (2)解：如图，延长BC交AD的延长线于点G, 由(1)知∠ACB=90°，∠BAC=∠ABC=45°， ,AD为⊙O的切线， .∠BAG=90° ∴.∠CAG=90°-45°=45°，则∠G=45°=∠ABC, .'.AB=AG, CG=BC=210 由(1)知∠DEF=∠BEC=45°. .∠G=∠DEF, ∠DFE=∠CFG, ∴△DEFACGF, DF DE CFCG 33/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cFCG_20-10 .DF DE 2 9.(2026辽宁铁岭二模)如图，AB为O0的直径，C,D是⊙0上的点，连接BC,CD,∠DCB=135° (1)求证： AD=BD (2)若CE是⊙O的切线，交AB的延长线于点E.若BC=5,AB=13,求CE的长 【答案】(1)见解析 780 ②119 【分析】(1)证明∠DBA=∠DAB即可： (2)连接AC,OC,过点C作CG⊥AB于点G,利用勾股定理，三角形面积，正切函数求解即可. 【详解】(I)证明：连接AD,BD, 则四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠DAB+∠DCB=180°， ∠DCB=135°， D E ·.∠DAB=459 ·AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠DBA=45°， .∠DBA=∠DAB. .AD=BD: 34/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接AC,OC,过点C作CG⊥AB于点G, :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， BC=5,AB=13, .AC=AB2-BC2 =12 :S.Ac=ACBC=ABCG 1 2 2 故CG=4C,BC60 AB13 0c-4-号. 13 0G=0c2-CG=119 26· tan∠COE= CG120 0G119, :CE是⊙O的切线， .∠OCE=90° D GB E tan∠CoE= CECE 120 0C-13119 2 解得CE=780 119 10.(2026辽宁鞍山二模)如图，AB是⊙0的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点， CE=CB,∠BCD=∠CAB,延长AE交BC的延长线于点F. 0 35/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CD是⊙O的切线： (2)若tan∠CAB=2 ,BD=4, 求⊙0的半径； 【答案】(1)见解析 5 (2 【分析】(1)连接OC,先得出∠ACB=90°，可得∠OCA+∠OCB=90°，利用OA=OC,得出 LOCA=∠OAC,结合∠BCD=∠CAB,可得∠OCD=90°，即可证明： CD BD BC 2 (2)证明△DBC∽△DCA,得出ADCD=4C=3,即可求出AD=9,即可求出AB,即可求解。 【详解】(1)证明：如图，连接OC, A B :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠OCA+∠OCB=90°， OA=OC, ∴.LOCA=∠OAC, 又：∠BCD=∠CAB, .LBCD+∠0CB=90°， .∠0CD=90°， 即OC⊥CD, ,OC是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线： (②解：在R△ABC中，m∠C48-E-号. :∠BCD=∠CAB,∠D=∠D, .△DBC∽△DCA. 36/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD_BD_BC_2 ·AD CD AC3' BD=4, 4_2 .CD3, .CD=6, 6=2 .AD 3' ..AD=9. .AB=AD-BD=9-4=5, :00的半径=4相- 1 11.(2026辽宁沈阳二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0，分别交BC于点D,交 AC于点E,过D作DH⊥AC于H,连接DE并延长交BA的延长线于点F. E (I)求证：DH是OO的切线： HG2 (2)连接oH交DF于G,若OG3,0A=1,求4F的值. 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】(1)根据等腰三角形的性质及等量代换可得到∠C=∠ODB,进而利用平行线的性质证明切线即 可 (2)首先通过aEGH∽aDGO求EH的长，再利用△CDH∽aCBE得到CE的长，最后利用△FAE∽△FOD求 AF的值即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 37/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B AB=AC .∠C=∠ABC, OB=OD. ∴.∠ODB=∠OBD .∠C=∠ODB ∴.AC∥OD, DH⊥AC, DH⊥OD, 又OD是半径 .DH是⊙O的切线 (2)如图，连接BE, C .OA=1 .AC=AB=20A=2,OD=OA=1. .AC∥OD .AEGH∽ADGO,△BDOP△BCA, HGEH2 BD OB 1 OGOD3'BCAB2· .EH=2 ·BC=2BD: AB是直径， ∴∠AEB=90°， BE⊥AC, :DH⊥AC, 38/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DH∥BE. ACDH∽aCBE, CH CD 1 CE BC 2, .CE=2CH,即点H是CE的中点， c5=1- ·AE=AC-CE=2 42 Γ33 AC∥OD, ∴△FAEAFOD, AF AE “OFOD, AF+11 :.AF=2 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1.(2026辽宁沈阳·二模)下列命题是真命题的是() A.如果a=b,那么3a=3b B.调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C如果=网 那么a=b D.圆内接四边形的对角互余 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键 是要熟悉课本中的性质定理，根据等式的性质、全面调查与抽样调查、绝对值、圆内接四边形的性质判断 【详解】解：A、如果a=b,那么3a=3b,是真命题，符合题意； B、调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项命题是假命题，不符合题意： C、如果4-以，那么“=的，故本选项命题是假命题，不符合题意 39/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D、圆内接四边形的对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意： 故选：A 2.(2026辽宁阜新·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC.若AB=BC,∠BAC=36°，则 ∠D的度数是() B A.36° B.48° C.54° D.72° 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据AB=BC,∠BAC=36°， 求出∠B=180°-2×36°=108°，根据“圆内接四边形的对角互补”求出∠ADC=72°即可，熟练运用圆内接 四边形的性质、圆周角定理是解题的关键 【详解】解：·AB=BC,∠BAC=36° ∠B=180°-2×36°=108°， ~四边形ABCD内接于⊙O, .∠B+∠D=180°， ÷∠D=180°-108°=72°， 故选：D 3.(2026辽宁盘锦二模)如图，己知四边形ABCD内接于O0,AC是直径，DB平分∠ADC,CD平 分∠ACM M B (I)尺规作图：过点D作DE⊥CM于点E,并证明DE是⊙O的切线： (②)将BD绕点B顺时针旋转90°后得到的射线交DC的延长线于点F，若AC=8,CF=6,求CE的长. 【答案】(1)见解析 40/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)CE 2 【分析】题目主要考查垂线的作法，切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 圆周角定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键， (1)根据垂线的作法作图即可：连接OD,得出∠DEC=90°，再由角平分线得出∠ACD=∠DCM,利 用等边对等角及等量代换得出∠ODE+∠DEC=180°，确定∠ODE=90°，即可证明： (2)根据圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=90°，由各角之间的关系得出∠ACB=∠BAC,再由旋转的 性质及全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF,AD=CF=6,再由相似三角形的判定和性质及勾股定理求 解即可。 【详解】(1)解：尺规作图：如图所示. N 证明：连接OD, DE⊥CM, ∴∠DEC=90°. :CD平分∠ACM, ∠ACD=∠DCM, .OC=OD .∠OCD=∠ODC, ∴.∠DCM=∠ODC, .OD∥CM, ∴.∠ODE+∠DEC=180°， ∴.∠ODE=90°， .OD⊥DE, OD是半径， ∴.DE是⊙O的切线. 41/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2):AC是直径， .∠ADC=∠ABC=90°， :DB平分∠ADC ,∠ADB=∠BDC=45° .∠ACB=∠ADB=45°，∠BAC=∠BDC=45° .∠ACB=∠BAC, :AB=BC, 由旋转得：∠DBF=90 ∴∠DBC+∠CBF=90° :∠ABC=90°， .∠ABD+∠DBC=90° ·∠ABD=∠CBF, :∠BDC=45°，∠DBF=90°， ∴.∠BFC=45° ∴.∠ADB=∠BFC, AABD≌ACBF, ...AD=CF=6. :AC=8,∠ADC=90° .CD=V82-62=2V7 :∠ADC=∠DEC=90°，∠ACD=∠DCE .△ACD△DCE, AC CD ·CDCE· 82W7 ∴.2W7CE :CE=7 2 4.(2026辽宁丹东·二模)已知：如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，CD=CB、AB是⊙O的直径， 过点C作⊙O的切线，交AD延长线于点E,连接AC,OC. 42/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CE⊥AE: (2②)若0C=4 且 ∠EDC=3∠DAC BC ,求的长 【答案】()见解析 ②BC的长为7. 【分析】(1)根据等边对等角和平行线的性质，推出∠EAC=∠OCA,求得根据切线性质知道OC⊥CE 据此即可证明CE⊥AE: (2)设∠DAC=a,根据平行线的性质，求得∠BOC=2a,再根据三角形内角和，推出∠B=90°-a,根 据圆内接四边形的性质，推出∠EDC=∠B,据此列式3a+a=90°，求得a=22.5°，再根据弧长公式求解 即可、 【详解】(I)证明：CD=CB, .CD-C8 .∠EAC=∠OAC, .OA=OC. ∴.∠OAC=∠OCA, .∠EAC=∠OCA, C∥AE, ,CE是⊙O的切线， .OC⊥CE .CE⊥AE: (2)解：设∠DAC=a, ∴.∠EDC=3a, ·C∥AE,∠EAC=∠OAC=a, .∠BOC=∠EAC+∠OAC=2a, 43/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OB=OC, :∠B=180-∠B0C)=90°-a. :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠EDC=180°-∠ADC=∠B=90°-a, ,∠EDC=3∠DAC=3a, ∴3a+a=90°， 解得a=22.5°， ∴.∠B0C=2a=45°， .0C=4, 45π.4 ∴BC的长= =π 180 5.(2026辽宁锦州二模)如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,CD是O0的直径，射线BD,CA相交于 点E,AG⊥BE于点G,交CD的延长线于点F. E G FD (1)求证：AF是⊙O的切线； 回岩mE-写DF-2,求0O的半径 1 【答案】()见解析 g2 【分析】(I)连接AO并延长交BC于点H,由题意得点O在BC垂直平分线上，易证∠ABD=∠BAH, 推出AH IBD,结合AG⊥BE,推出HA⊥AF,即可证明： 4F=55 (2)连接AD,证明△ADF∽△BDA,求出 4 CF=452 ,再证明△ADFACAF,求出 4,即可解 答 44/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：连接AO并延长交BC于点H, E G FD :△ABC内接于⊙0 ∴.点O在BC垂直平分线上， .AH⊥BC,BH=CH, ∴.∠AHB=90°，即∠ABH+∠BAH=90°， ,CD是⊙O的直径， ∴.∠DBC=90°，即∠ABD+∠ABH=90°， .∠ABD=∠BAH, .AHI∥BD :AG⊥BE, .HA⊥AF, ∠HAF=90°， ,OA是⊙0的半径， .AF是⊙O的切线： (2)解：连接AD, E G FD H :CD是⊙O的直径， .∠DAC=90°，即∠DAO+∠CA0=90°， 由(1)知∠0AF=90°，即∠DA0+∠DAF=90° .∠CAO=∠DAF, 45/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(I)知AH⊥BC, .AB=AC, .AH平分∠BAC, ∠CAO=∠BAO, ..AH I BE. .LBAO=∠DBA,∠E=∠CAO. '.∠CAO=∠DBA=∠DAF=∠E, DE=CD,AE=AB ,DA⊥CE. .∠ADE=∠ADC :∠FDG=∠BDC, .∠ADE+∠FDG=∠ADC+∠BDC,即∠ADF=∠ADB, ,△ADF△BDA, AF AB AC ·DF=ADAD, ∠E=∠CAO,OC=OA, ∴LE=∠ACO anF=I Γ3 .tanE=tan∠ACo= AD 1 AC 3' AF AC :.DF AD =3 DF=5. 4 &AF=55 4 :∠DAF=∠ACO,∠F=∠F .△ADFn△CAF, AF DF ·CFAF, 46/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF2=CF-DF=225 8 .:CFs455 4 CD=CF-DF=10 “o0的半径为102×255 1 6.(2026辽宁铁岭·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，点E在⊙0上，连接CE交 AB于点D,以DB,DE为邻边，BE为对角线，构造口BDEF,AC与FB的延长线相交于点G,己知CG= CB G (I)求证：EF是⊙O的切线. (2)若AC=2,tan∠CEB=2,求BF的长. 【答案】(1)见解析 5√2 (2)3 【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、正切的定义、平行四边形的判定与性质、平行等分线段定理等 知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. (1)如图，连接OE.由圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据邻补角的定义以及等边对等角可得 ∠G=∠CBG=45°，然后根据平行线四边形的性质以及三角形内角和定理可得OE⊥EF即可证明结论： （②)由已知条件易得n1=m<CEB=2,进而得到CB=20C4=4CG=CB=4、1B=2 ,再根据圆 的相关定义可得O1=0B=)4B=5.由平行线的性质可得CD∥BG,BF=DE,由平行线等分线段定理 47/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD AC 2 1 可得DBCG42: D=}4B=25 3 0D=v5-25-V5 解得 ,即 33；再根据平行四边形的性质以及勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OE G 是 的直径， F AB ⊙0 ∴.∠ACB=90° ∴.∠GCB=180°-∠ACB=180°-90°=90° .CG=CB .∠G=∠CBG=45° :四边形BDEF是平行四边形， .CE∥GF,AB∥EF, ∴∠ACE=∠G=45°. .∠A0E=2∠ACE=2×45°=90°， AB∥EF .∠OEF=∠AOE=90°， .OE⊥EF. :OE是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线。 (2)解：∠A=∠CEB, .tanA=tan∠CEB=2. 在Rt△ACB中，∠ACB=90,AC=2,tanA= CB CA ≥2， .CB=2CA=2×2=4, 48/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CG=CB=4,AB=AC2+CB2=22+42=25 01=08-4B*25-5 ~四边形BDEF是平行四边形 ∴CD∥BG,BF=DE, AD AC 2 1 DBCG42· 1 2N5 ∴.AD=-AB= 3, 0D=0A-AD=5-25=5 33, ∴.DE=VOE2+OD ~四边形BDEF是平行四边形， ·BF=DE=52 7.(2026辽宁铁岭·二模)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD=DC,DE LAC于点E,⊙O 是△ABD的外接圆，交CA的延长线于点F. F 0 (1)判断并说明DE与⊙O的位置关系： (2)当∠B=30°，AE=1时，求弧AF与弦AF所围成的弓形面积（阴影部分）· 【答案】()直线DE与OO的位置关系是相切，理由见解析： 2 ②5π-v5 【分析】(1)连接OD,由等腰三角形三合一定理可得AD L BC,故有∠ADB=90°，所以AB为⊙O的 直径，从而得到OD是△ABC中位线，则OD∥AC,得到DE⊥OD,最后由切线的判定即可求证： 49/6 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)连接OF,过O作OH⊥AF于点H,证明△OAF是等边三角形，则有∠AOF=60°，∠AOH=30°， OA=AF,然后根据直角三角形的性质可得AD=2AE=2,AB=2AD=4,OA=AF=2,AH=1,最后 通过弓形面积 Suoe一S。4oF即可求解。 【详解】(1)解：直线DE与OO的位置关系是相切，理由： 连接OD .AB=AC,BD=DC, AD⊥BC, ∠ADB=90°， ∴AB为⊙O的直径， ..OA=OB, ∴OD是△ABC中位线， .OD∥AC, DE⊥AC, .DE⊥OD. :OD是⊙0的半径， .DE与⊙O相切： (2)解：如图，连接OF,过O作OH⊥AF于点H, ∴.AH=FH, :AB=AC,∠B=30°， .∠B=∠C=30°， 50/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠OAF=∠B+∠C=60°， OA=OF, .△OAF是等边三角形， .∠AOF=60°，∠AOH=30°，OA=AF, :∠ADB=90°，∠C=30°， ∠DAC=60°， DE⊥AC, ∠AED=90° ∴.∠ADE=30°， .AD=2AE=2, 同理：AB=2AD=4, ∴OA=AF=2, .AH=1, 由勾股定理得：OH=VOA-AH=V22-下=5 ∴.弓形面积 S形4OF-S4Or 60π×221 x2×V5 3602 2 π-5 8.(2026辽宁鞍山二模)如图，口ABCD中，AC为对角线，且AB=AC,△ABC的外接圆⊙O交CD边 于点E. D E (1)求证：AD是⊙0的切线： (②)设∠BAC=a,当AE=CE时，求cosa的值. 【答案】()见解析 51/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5+1 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题 的关键： (1)连接AO并延长交BC于点D,连接OB,OC,易得AO垂直平分BC,根据平行四边形的性质，得到 AD∥BC,进而得到OA⊥AD,即可得证： (2)等边对等角求出∠ABC的度数，平行线的性质，推出∠ACE=∠BAC,等边对等角，求出∠AEC的 度数，圆内接四边形的内对角互补，求出∠ABC的度数，进行求解即可. 【详解】(1)证明：连接AO并延长交BC于点D,连接OB,OC,则：OB=OC, B AB=AC, ∴.AO垂直平分BC, .ABCD, AD∥BC, .OA⊥AD, ,OA为⊙O的半径， .AD是⊙O的切线 (2):∠BAC=a,AB=AC, 18c-080-a）=0r- 0, ABCD. ∴AB∥CD ∴∠ACE=∠BAC=a, .AE=CE, 、∠ACE=∠EAC, 52/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠AEC=180°-2a, ,四边形ABCE为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC=180°. :90° 2a+180°-2a=180°， ∴.a=36°， 、∠ABC=∠ACB=72°， 作BF平分∠ABC交AC于点F,作BG⊥AC于点G,则：∠ABF=∠CBF-)∠ABC=36°=∠BAC、 2 D B :.∠BFC=180°-∠BCF-∠ACB=72°=∠ACB,BF=AF, ∴.BF=BC=AF ,∠CBF=∠BAC,∠BCF=∠BCA, .△BCF∽△ACB, BC AC .CFBC’ C-AC-CF-(CF+AF)-CF-(CF+BC)-CF .Co5一1BCCF=Y1BC 2 或 2 (舍去)， 4Ac-AF+CF-ne 5-nc-pc 2 2 :BF=BC,BG⊥CF FG-icF--Inc 4 53/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG=AF+GF-BC+5-1BC-5*3BC 4 中，cosa=1G」 5+3BC5+1 4 在 AC V5+1 4. BC Rt△AGB 2 9.(2026辽宁营口·二模)如图，⊙0是四边形ACBD的外接圆，AB是⊙0的直径，AC=CD,过点C 作⊙O的切线交DB的延长线于点E. (I)求证：BC平分∠ABE. (②)已知o0的半径为5，an∠B4C= 4,求CE的长. 【答案】(1)见解析 2CE=24 【分析】(1)由外接圆的性质可得∠CAD+∠DBC=180°，则∠CAD=∠CBE.再由∠CAD=∠CDA.由 圆周角定理可得∠CBE=∠ABC,即BC平分∠ABE (②连接oC,先证∠CE=∠ABC,由am∠B4C=C-}. =AC4,设BC=3x,AC=4x:则AB=5x,结合 AC AB 一OO的半径为S,可得C=6,4C=8证明A4BC∽ACBE,可得CgG可得CE:24 5· 【详解】(I)证明：：OO是四边形ACBD的外接圆， .∠CAD+∠DBC=180° ∠DBC+∠CBE=180°， ∴，∠CAD=∠CBE. .AC=CD ∴.∠CAD=∠CDA ∠ABC=∠CDA, 54/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LCBE=∠ABC,即BC平分∠ABE, (2)解：连接OC, 与 相切于点C, CE⊙O ∴.∠OCE=90° .OB=OC ∴.∠OCB=∠ABC 由(1)得∠CBE=∠ABC ∴.∠OCB=∠CBE ∴.OC∥BE ∠E=180°-∠OCE=90°. :AB为⊙0的直径， ∴.∠ACB=90° 在Rt△ABC中， tan∠BAC= BC 3 AC 4 BC=3x,AC=4x,AB=AC2+BC2=(4x)+(3x)=5x ⊙0的半径为5 ∴.AB=10,即5x=10 .x=2」 .∴BC=6,AC=8 :∠ACB=∠CEB,∠ABC=∠CBE, ,.△ABC∽△CBE AC AB 8 10 ·CE=BC,即CE=6· .CE=24 5· 55/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026辽宁营口·二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠ACB=90°，弦AC=DC=6,CE⊥BD 交DB的延长线于点E. (1)求证：CE是O0的切线： (2)若∠CDB=30°，求图中阴影部分面积. 【答案】(1)证明见解析 95-2m (2)2 【分析】(I)连接OC,先证明∠CAD=∠ABC,∠ABC=∠CBE,可得∠OCB=∠CBE,结合， ∠CBE+∠BCE=90°，证明∠OCE=90°，进一步可得结论： (2)过点O作OF⊥BC于点F,证明∠CAB=∠CDB=30°，求解∠ABC=60°，证明△OCB是等边三角形， 结合OF是△ACB的中位线，可得 21C-3 OF= 3 求解BC=tan∠CAB-4C=3x6=25 BE=BC-V5,CE=VBC-B-3,结合阴影部分面积=Sa+ScE-Sme,再进一步求解即可. 【详解】(1)证明：连接OC, AC=DC ∴.∠CAD=∠CDA. AC=AC ∠CDA=∠ABC, ∠CAD=∠ABC, ~四边形ACBD是圆内接四边形， 56/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CBE+∠CBD=180°， ∴∠CAD=∠CBE, .∠ABC=LCBE, ..OC=OB. .∠OCB=∠ABC, ∴.∠OCB=∠CBE, .CE⊥BD .∠CEB=90°， ∴.∠CBE+∠BCE=90° ∴.∠OCB+∠BCE=90°， ∴∠0CE=90°， 即OC⊥CE, :0C为⊙0半径， .CE是⊙O的切线 (2)解：过点O作OF⊥BC于点F, C .BC=BC ∠CDB=30° :∠CAB=∠CDB=30°， :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠ABC=90°-∠CAB=90°-30°=60° .OC=OB. ∴△OCB是等边三角形， ∴BC=OC=OB,∠OCB=∠OBC=∠COB=60°， OF⊥BC, F是BC的中点， O是AB中点， 57/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴OF是△ACB的中位线， :0F=24C=3 2 .在Rt△ACB中，AC=6, ∴.tan∠CAB= BC AC, 5 ∴.BC=tan∠CAB.AC=tan30°.63 ×6=2V5 .0C=BC=2V5 :∠OCE=90°，∠0BC=60°. .∠BCE=30°， ·BE=BC=V5 2 .CE=√BC2-BE2=3 “·阴影部分面积 =SAOCB+SACBE-S扇形cOB 25x3+5x3 60π-(2√3 95-2m -3N5+35-2x= 360 2 2 93 阴影部分面积2 2 圆的相关计算 考点05 1. (2026辽宁大连·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，AD的长为半径画弧.则图中 扇形的面积为() D B 58/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解。 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， :∠A=90°，AD=AB=4, 90m×42 ·.图中扇形的面积为360 =4π 2.(2026辽宁锦州二模)如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的 面积是() 1 A.3π B.元 C.3π D.6π 【答案】C 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可 【详解】解：，六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠DEF= (6-2)×180° =120°， 6 120×π×32 ∴扇形的面积是 =3π， 360 故选：C 3.(2026辽宁盘锦·二模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,若OA=1,则AB的长为() 59/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A. 2元 B.2 C. D.2π 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式.连接OB,根据正五边形ABCDE内接于⊙O,可以求 出∠AOB=72°，根据弧长公式即可求出AB的长度. 【详解】解：连接OB, B 正五边形 内接于 D ABCDE ⊙0 .∠AOB=360°× 720 72π×12π :AB的长= 180=5, 故选：A 4.(2026辽宁营口二模)如图，将边长相等的正方形和正六边形拼在一起，其中正方形的面积为3，以 公共顶点O为圆心，正六边形边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为() 5π 7π 5π A. 6 B.8 C. D.4 【答案】D 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角度数及圆的半径，再根据扇形的面积公式计算即可求解 60/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 180°×(6-2）-120， 【详解】解：：正方形的每个内角为g0,正六边形的每个内角为6 ∴.阴影部分扇形的圆心角度数为360°-90°-120°=150°， 又：正方形的面积为3， ∴正方形的边长为5， 圆的半径为3， 150mx(55元 ∴.图中阴影部分的面积为 360 4 5.(2026辽宁鞍山二模)一个扇形的弧长是10Cm,其圆心角是120°，此扇形的面积为 cm2 【答案】75π 【分析】先根据弧长公武1二。求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式S=心 360求解即可. 120×元y=10元 【详解】解：设扇形的半径为，则180 解得：r=15, 120π×152 ∴扇形的面积= =75元(cm2) 360 6.(2026辽宁沈阳二模)如图，已知∠ABC=60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点D: 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F;以点D为圆心，BE长为半径画弧，交 DA于点G:以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H;过点H画射线DH;分别以E,F为 圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M,画射线BM,交DH于点N以点V BN 为圆心， 长为半径画弧，交BC于点P,则BP的长为Cm 61/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4π5 【答案】3 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、以及弧长的计算等知识点，准确理解并运 用作图步骤是解题的关键，先根据作图过程得出∠ADN=∠ABC,∠ABN=∠NBC,DB=DN,BN=P,然后 角定P所在圆的半径和圆心角，再利用弧长公式焦中为弧长，为圆心角度数，十为半径)出 算弧长 【详解】解：根据作图可知∠ADN=∠ABC, ∴.DH BC 根据作图可知BN平分∠ABC, ·∠ABN=∠NBC= 24ABC-1 ×60°=30° ∠DNB=∠NBC=30°， ∠ABN=∠DNB.DB=DN, 过点D作DR⊥BN于点R, ∴.BN=2BR, BR=BD-COs ZABN=2c0s30-2x 在Rt△DBR中， 2 :BN =2x/3=23 连接NP,由作图可知WB=NP, ∠BPN=∠NBP=30,∠BNP=120°， 120m×234π√3 BP的长为180 3, 4π5 故答案为： 3· 62/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026辽宁丹东·二模)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画 圆，则阴影部分的面积为一· (结果保留π)， G E B 3 【答案】2π 【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键.根据正八边形的性 质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可. 【详解】解：由题意得：∠HMB=⑧-2180=135° 8 AH=AB=2. 5=135πx22 3 360 2, 3 故答案为：2刀 8.(2026辽宁丹东二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，点0是AB边上的一点，以O为圆心，OB长 为半径的OO与AC相切于点D,⊙O分别交AO,BC于点E,F,连接OD,BD. B D (I)求证：BD平分∠ABC: (2)若AD=2CD,AB=6,求DF的长 63/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 2 (2)房π 【分析】(I)由切线的性质得OD⊥AC,结合∠C=90°可得OD∥BC,∠ODB=∠DBC,由等边对等角 可得∠ODB=∠OBD,等量代换后得∠DBC=∠OBD,即可证明BD平分∠ABC; AD 2 (2)由AD=2CD得AC=3,证明△OAD∽△BAC,根据对应边成比例求出⊙O的半径T,根据特殊角三角 函数值证明∠A=30°，再证△OBF是等边三角形，求出DF所对的圆心角，最后利用弧长公式求解. 【详解】(1)证明：：⊙O与AC相切于点D, .OD⊥AC, ∴.∠0DA=90°=∠C, .OD∥BC, .∠ODB=∠DBC, .OD=OB, .∠ODB=∠OBD, ∴.∠DBC=∠OBD .BD平分∠ABC; (2)解：如图，连接OF, ⊙ D C.AD=2CD ADAD 2CD 2 ∴.ACAD+CD2CD+CD3: 设⊙0的半径为r, AB=6. ..AO=AB-OB=6-r, ∠ODA=∠C=90°.∠OAD=∠BAC, .△OADn△BAC. 64/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AO AD 6-r=2 ABAC,即63， 解得r=2, .0D=2,A0=6-2=4, :Rt△4Do中，sin∠A=OD=21 A042, .∠A=30° .∠AOD=∠OBF=90°-30°=60°， 又OB=OF, ·△OBF是等边三角形， .∠OFB=60°， OD∥BC, .∠DOF=∠OFB=60° 60元r_60m2_2 DF的长为：180=180=3元 65/6