精品解析：辽宁省抚顺市新抚区2025-2026学年九年级上学期第二次教学质量检测数学试卷

2025－2026学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（二） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年，我国新能源汽车市场规模迈上新台阶，约占全球总产量的．下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 将点代入反比例函数即可求出m的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：C． 3. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 4. 若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ） A B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键． 正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长， ∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为， 故选：C． 5. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， 点落在不规则图案上的概率为0.35， 正方形边长为， 估计阴影部分面积约为， 故选：C． 6. 2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 7. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值7，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，最小值 D. 有最大值7，最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 9. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与一元二次方程的关系，根据二次函数图象判断式子的符号，抛物线的对称性质等． 由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交y轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， 将代入，得：， 故②正确； ∵， ∴， 将代入，得：， ∴， 将代入，得：， ∴，即， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点D关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________ 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 13. 某校为让学生更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“豆包”、“”、“”三个主题，若小聪和小明从中任意选择一个主题，则两人选择的主题相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：记：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题相同有种， 两人选择的主题相同的概率是， 故答案为：． 14. 如图，是直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，以为圆心，1为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，交于点，则就是最小值，进行求解即可． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，点对称点为，则：， 又∵点在圆上， ∴， ∴当四点共线时，最小， 连接交于，交于点，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题．熟练掌握矩形的性质，轴对称的性质，以及点到圆上一点的最短距离等于点到圆心的距离减去圆的半径，是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 抚顺旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是抚顺旅游的五大经典景点：A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园），C（红河谷漂流），D（赫图阿拉城），E（抚顺雷锋纪念馆），小海同学计划在2026年8月份与父母一起，利用暑假时间，畅游抚顺五大经典景点，假设选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一天小海同学一家只去一个景点游玩，选择到C（红河谷漂流）概率是______； （2）如果第一天小海一家可以早起，时间比较充足，准备选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者列表法求出恰好选择两个景点是A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，正确得出所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小海一家从五个景点中，只去一个景点C的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A B C D E 由表可知：共有20种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选择A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的结果共有2种． ∴则的概率为． 17. 如图，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转得到的； （3）求（2）问中线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质、勾股定理、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 即为所求； 【小问2详解】 即为所求； 【小问3详解】 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ， 线段扫过的面积 18. 如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，的长为，求与所围成阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可得到，再根据圆周角定理得到，推出，进而得到，即可得出结论； （2）连接，作于点，如图所示，由的长为，求出，证明为等边三角形，得到，，勾股定理求出，再利用与所围成阴影部分的面积等于即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，作于点，如图所示， ， ， ∵的长为， ∴， ， 为等边三角形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 20. 如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点．过点作，垂足为点．点在的延长线上，连接．使． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，进而可得，结合，证明即可； （2）连接，延长交于点，由等腰三角形三线合一，可得，，再证，推出，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点， ，， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得．即的半径为5． 21. 项目学习 背景 近年来，抚顺市坚持“产业兴农、质量兴农、绿色兴农”打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元／天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的整数倍） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报四周所加边框的宽； 任务2 要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为多少元？ 【答案】任务一：民宿宣传海报边框的宽为；任务二：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式及一元二次方程是解题的关键． 任务一：设民宿宣传海报边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可； 任务二：设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解． 【详解】解：任务一：设民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． 任务二：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， 当时，最大，此时每间客房的定价应为（元）． 答：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元． 22. 如图，四边形和四边形均是正方形，连接，点是的中点，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）将图①的正方形绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若，，连接，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，当时，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 （3）或1 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质证明，推出，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可证明； （2）延长至点，使，连接．由三角形中位线的性质得，再证是等腰直角三角形，，即可得出； （3）分两种情况：当点在上方，点在下方，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，结合（2）中结论即可求解． 小问1详解】 证明：如图①∵四边形和四边形都是正方形， ，，， ∵点分别在边上， ，， 即， ． ， 又∵点是的中点， 是斜边的中线， ， ． 【小问2详解】 解：成立． 证明：延长至点，使，连接． ∵点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 是正方形的对角线， ， 又， 是的垂直平分线． ， 又， ， 是等腰直角三角形，且， ， 又， ， ， ． 【小问3详解】 解：当点在上方，时，如图，作于点， 则， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴由（2）问知． 当点在下方，，如图，作交的延长线于点，， ， 同理：，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线，注意分情况讨论是解题的关键． 23. 抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②， （2）， 【解析】 【分析】（1）①先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可． ②设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可． （2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可． 【小问1详解】 解：①由题可知：与轴相交于点，， ， 解之得：，， 即，， 当时，， ， ． ②设抛物线上的点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ∴， 【小问2详解】 解：化为顶点式 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线 即， ∴抛物线的对称轴为与轴交于S， 如图，作对称轴于，作轴于点， ， ∵四边形是矩形． ，， ， ，同理：， ，， ， ，， ， 设，， ，则，， ，作于点，，， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， 解之得或， ∴，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了抛物线的平移，求与抛物线有关的三角形面积，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．作垂线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（二） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年，我国新能源汽车市场规模迈上新台阶，约占全球总产量的．下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A. B. C. D. 2 3. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 4. 若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ） A. B. C. 3 D. 5. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 1 8. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值7，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，最小值 D. 有最大值7，最小值 9. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x解为________． 12. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________ 13. 某校为让学生更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“豆包”、“”、“”三个主题，若小聪和小明从中任意选择一个主题，则两人选择的主题相同的概率是______． 14. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 15. 如图，矩形中，，以为圆心，1为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 抚顺旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是抚顺旅游的五大经典景点：A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园），C（红河谷漂流），D（赫图阿拉城），E（抚顺雷锋纪念馆），小海同学计划在2026年8月份与父母一起，利用暑假时间，畅游抚顺五大经典景点，假设选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一天小海同学一家只去一个景点游玩，选择到C（红河谷漂流）的概率是______； （2）如果第一天小海一家可以早起，时间比较充足，准备选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者列表法求出恰好选择两个景点是A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的概率． 17. 如图，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转得到的； （3）求（2）问中线段扫过的面积． 18. 如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，的长为，求与所围成阴影部分的面积． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 20. 如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点．过点作，垂足为点．点在的延长线上，连接．使． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 21. 项目学习 背景 近年来，抚顺市坚持“产业兴农、质量兴农、绿色兴农”打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元／天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的整数倍） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报四周所加边框的宽； 任务2 要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为多少元？ 22. 如图，四边形和四边形均是正方形，连接，点是的中点，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）将图①的正方形绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若，，连接，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，当时，请求出的长． 23 抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $