专题01 分式（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 分式 分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 分式有意义、分式值为0的条件 分式有意义的条件： （1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 分式的加减法 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式的定义 【例1】下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据分式的定义判断，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：，，的分母都不含字母，是整式，不是分式； 的分母含字母，的分母含字母，这两个式子是分式， 所以，分式共有个． 【变式1】在，，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式的定义，判断分母中是否含有字母，分母含字母的是分式，分母为常数的是整式，逐个判断即可得到分式个数． 本题易错点是是常数，不是字母． 【详解】解：根据分式的定义，形如 的式子，其中，为整式，且中含有字母，则式子是分式． 逐个判断如下： ∵ 的分母含字母，∴是分式； 分母是常数，不是分式； 分母是常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； ∴分式共有个． 【变式2】下列各式是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴A是整式，不是分式，故此选项不符合题意； B、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴B是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C、∵选项中的分子、分母都是整式，分母含有字母，∴C是分式，故此选项符合题意； D、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴D是整式，不是分式，故此选项不符合题意． 【变式3】下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断各选项 【详解】∵分式的定义是形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子， ∴对各选项逐一分析： A选项的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； B选项的分母是含有字母x的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是常数2，是常数，属于整式，不是分式； D选项是多项式，属于整式，不是分式， 故选：B 分式有无意义的条件 【例1】若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解． 【详解】解：分式有意义， ，即． 【变式1】对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数中，可得，解得． 【变式2】若分式无意义，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式3】当时，分式无意义，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为零，代入求解 m值即可． 【详解】解：当时，分式无意义，则分母，即，解得． 故答案为：1． 分式值为0的条件 【例1】分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 【变式1】当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 【变式2】若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 【变式3】当______时，分式的值等于零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 分式基本性质 【例1】分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 【变式1】已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 【变式2】若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 【变式3】不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 分式的约分 【例1】若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分为，故本选项错误，不符合题意； B、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式2】约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，关键是找出公因式然后运用分式的基本性质进行化简． 根据分式的基本性质约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简，通过因式分解和约分验证每个选项的正确性． 【详解】A．∵，而，两者不相等，故A错误． B．∵，与不相等，故B错误． C．∵，与不相等，故C错误． D．∵，与右边相等，故D正确． 故选：D． 最简分式 【例1】下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：A选项的分母不含字母，属于整式，不是分式，不符合最简分式的要求； B选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； C选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； D选项是分式且分子分母无公因式，是最简分式，符合最简分式的要求； 故选：D． 【变式1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴A不是最简分式； 选项B，与没有公因式，无法约分，∴B是最简分式； 选项C，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴C不是最简分式； 选项D，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴D不是最简分式． 【变式2】下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各选项分子分母因式分解，判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A、=，分子为，分子分母有公因式，所以A不是最简分式，不符合题意； B、=，分子为，分子分母有公因式，所以B不是最简分式，不符合题意； C、无法分解因式，与分母没有公因式，所以C是最简分式，符合题意； D、分子和分母有公因式，可约分为，所以D不是最简分式，不符合题意． 【变式3】下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式， ∴是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式． 综上，选项C符合题意． 分式的通分 【例1】将分式，通分时，最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和最简公分母的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 首先将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式的最小公倍式，然后即可求解； 【详解】解：第一个分母可因式分解为，第二个分母可因式分解为 ；两个分母的因式分别为 、和，因此最简公分母为这些因式的最小公倍式，即， 故答案为：； 【变式1】如果，则＝___________________． 【答案】 【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分． 【详解】解： ， ， ． 故答案为． 【变式2】通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 【变式3】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质以及分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质以及分式的混合运算法则，熟练掌握分式的约分、通分是解本题的关键． 分式的混合运算 【例1】求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 【答案】 【分析】设被遮住的部分代数式为A，根据题干给出的等量关系列出算式，再按照分式的运算法则化简即可得到结果． 【详解】解：设被遮住部分的代数式为A，则， ∴， 即被手遮住部分的代数式为． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算即可； （2）根据整式的除法法则计算即可； （3）可先计算括号内，再把除法转化为乘法计算，约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式2】化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算和分式的化简，熟练运用完全平方公式、平方差公式以及分式的运算法则是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项进行化简； （2）先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后通过因式分解进行约分，从而完成分式化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先对分子分母进行因式分解，计算乘法并进行约分，然后再进行同分母分式加法运算即可． 【详解】解：原式 ． 分式化简求值 【例1】先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式                =                                 =                                     将代入，得原式． 【变式1】已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据平方差公式、提取公因式法化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，∴， 则原式． 【变式2】在分式，，中，先选择2个分式用“”或“”连接起来，再进行化简，并选择一个自己喜欢的数作为x的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】先选择两个分式和运算方式，再结合分式的运算法则，进行化简，最后代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解：选择和，进行乘法运算， 则 ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 【变式3】若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 解分式方程 【例1】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵ ∴方程两边乘，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得， 解得． 检验：当时，． 故为原分式方程的解 【变式2】解分式方程：． 【答案】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同乘得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的解． 【变式3】解方程：． 【答案】 【分析】先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例1】若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，再根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的解不大于2， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的分母不为， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 【变式1】若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 【变式2】已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 【变式3】已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 分式方程增根与无解 【例1】若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 【变式1】若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分式方程无解说明方程的解为无解，无解使原分式分母为0，先去分母将分式方程化为整式方程，再将无解代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 整理得， ∵ 分式方程无解， ∴ 原方程分母为， 解得， 把代入，得 ， 解得． 【变式2】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 【变式3】已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 分式方程的应用 【例1】高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示出普通列车的平均速度，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得，普通列车的平均速度为， ∵乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用， ∴列方程为：． 【变式1】手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．凤冈县的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术，主要体现在两种核心工艺上，即人工炒茶和机器炒茶，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和李厂长（机器炒茶）的对话： 仔细阅读茶农与李厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？ (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【答案】(1)手工炒茶每小时能炒斤； (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了小时． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得，手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，设他们两人合作了小时，完成李厂长提出的合作订单，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， 答：手工炒茶每小时能炒斤； （2）解：由（）得，手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，设他们两人合作了小时，完成李厂长提出的合作订单， 根据题意得：， 解得：， 答：完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了小时． 【变式2】近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 【变式3】甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．则甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件? 【答案】 乙每天加工个零件，甲每天加工个零件 【分析】设乙每天加工个零件，则甲每天加工个零件，根据甲比乙少用天，列分式方程求解． 【详解】解：设乙每天加工个零件， 甲每天加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 甲每天加工的零件：， 答：乙每天加工个零件，甲每天加工个零件． 【变式4】某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 【答案】(1)甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 (2)该校最少购买20个甲种篮球 【分析】（1）设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意 ∴（元） 答：甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 （2）解：设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个． 根据题意得， 解得：． ∴m的最小值为20， 答：该校最少购买20个甲种篮球． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式 分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如_____的形式；②A、B都是_____；③分母中必须含有_____，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 分式有意义、分式值为0的条件 分式有意义的条件： （1）分式有意义的条件是 （2）分式无意义的条件是 （3）分式的值为正数的条件是 。 （4）分式的值为负数的条件是 。 分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子 且分母 分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母__________一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何__________，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把 的积作积的分子， 的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 分式的加减法 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有 的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合 方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式的定义 【例1】下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】在，，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】下列各式是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 分式有无意义的条件 【例1】若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【变式1】对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若分式无意义，则的值为_____． 【变式3】当时，分式无意义，则的值为_____． 分式值为0的条件 【例1】分式的值为0，则x的值为______． 【变式1】当分式的值为0时，的值为__________． 【变式2】若分式的值为0，则__________． 【变式3】当______时，分式的值等于零． 分式基本性质 【例1】分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【变式2】若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【变式3】不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 分式的约分 【例1】若，则的值为__________． 【变式1】下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】约分：__________． 【变式3】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 最简分式 【例1】下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 分式的通分 【例1】将分式，通分时，最简公分母是______． 【变式1】如果，则＝___________________． 【变式2】通分：，，． 【变式3】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 分式的混合运算 【例1】求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 【变式1】计算： (1)； (2)； (3) 【变式2】化简： (1) (2)． 【变式3】化简：． 分式化简求值 【例1】先化简，再求值： ，其中． 【变式1】已知，求代数式的值． 【变式2】在分式，，中，先选择2个分式用“”或“”连接起来，再进行化简，并选择一个自己喜欢的数作为x的值代入求值． 【变式3】若，则的值是______． 解分式方程 【例1】解方程： (1)． (2)． 【变式1】解方程：． 【变式2】解分式方程：． 【变式3】解方程：． 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例1】若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式1】若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【变式2】已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于的分式方程无解，求的值． 分式方程增根与无解 【例1】若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【变式1】若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【变式2】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式3】已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 分式方程的应用 【例1】高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．凤冈县的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术，主要体现在两种核心工艺上，即人工炒茶和机器炒茶，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和李厂长（机器炒茶）的对话： 仔细阅读茶农与李厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？ (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【变式2】近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【变式3】甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．则甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件? 【变式4】某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $