专题02 函数及其图象（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 函数及其图象 变量与函数 · 变量与常量： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做_________（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做_________（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 · 函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有_________确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数自变量的取值范围 使函数_________的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： · 分母不为 0（如 ，自变量 ）； · 被开方数非负（如 ，自变量 ）； · 结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 平面直角坐标系 · 定义：在平面内，两条___________________________的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 · 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：__________________上的点不属于任何一个象限。 · 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为_________（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为_________（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 函数的图象 · 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在__________________中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 · 画函数图象的步骤（华东师大版重点操作）： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 · 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足__________________；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 一次函数 · 定义：一般地，形如___________________________的函数，叫做一次函数。 · 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 · 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 一次函数的图象 · 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 · 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 · 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 一次函数的性质 · 当 _________时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 · 当 _________时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 · 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 求一次函数的表达式 · 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 __________________；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 · 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 反比例函数 · 定义：一般地，形如__________________的函数，叫做反比例函数。 · 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 · 自变量取值范围：___________________________ 反比例函数的图象与性质 · 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 · 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴_________（因为 、）。 · 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 _________时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 · 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的_________而_________（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的_________而_________（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 实践与探索 · 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 · 解题步骤（华东师大版重点）： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 · 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 确定函数自变量的取值范围 【例1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是_____． 【变式2】函数的自变量x的取值范围是_________； 【变式3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 判断是否为一次/反比例函数 【例1】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． （m，n是常数） 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 求一次函数解析式 【例1】在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【变式1】若一次函数的图像经过点，，求该一次函数的表达式． 【变式2】已知和成正比，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式3】已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)求当时，的值． 求反比例函数解析式 【例1】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则它的最快移动速度v与其载重后总质量m之间的函数表达式为______． 【变式1】已知反比例函数（为常数）经过点，求的值． 【变式2】若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则该图象也经过点（   ） A． B． C． D． 根据函数性质比较函数值的大小 【例1】若点和点，在函数（a为任意实数）的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能比较 【变式1】若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数的图象上有两点，，则______．（填“”或“”） 判断函数图象所在象限 【例1】一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．的值随值的增大而减小 C．图象位于二、四象限 D．图象关于原点中心对称 【变式3】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 利用反比例函数K的几何意义求面积/参数 【例1】反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【变式1】在滑行过程中，小明发现滑道的两边形如两条双曲线，如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数（，）的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为：1，2，，令四边形、、的面积分别为、、，用含k的代数式表示______． 【变式2】已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知点、都在反比例函数的图象上．当时，有．符合题意的一个值是______． 一次函数与方程/不等式的综合应用 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求m、n的值和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)求的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式：的解集． 【变式2】如图，点在反比例函数的图象上，正比例函数也经过点A．以A为顶点作等腰直角三角形，使点C在x轴上且其坐标为，，． (1)填空： ， ． (2)求点B的坐标． (3)当时，直接写出关于x的不等式的解集． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数、反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 一次函数与几何图形的面积综合 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【变式1】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【变式2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【变式3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 一次函数与反比例函数的交点问题 【例1】如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 【变式1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 【变式2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 函数的实际应用 【例1】某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【变式1】经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出段与之间的函数表达式； (2)当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 【变式2】水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【变式3】大坪山合作社向外地运送一批李子，由铁路运输每千克需运费0.6元；由公路运输，每千克需运费0.25元，运完这批李子还需其他费用800元． (1)该合作社运输的这批李子为，选择铁路运输时，所需费用为元，选择公路运输时，所需费用为元．请分别写出与x之间的关系式． (2)若合作社用于此次运输的总费用为1500元，则选用哪种运输方式运送的李子重量多？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其图象 变量与函数 · 变量与常量： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 · 函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： · 分母不为 0（如 ，自变量 ）； · 被开方数非负（如 ，自变量 ）； · 结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 平面直角坐标系 · 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 · 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 · 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 函数的图象 · 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 · 画函数图象的步骤（华东师大版重点操作）： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 · 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 一次函数 · 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 · 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 · 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 一次函数的图象 · 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 · 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 · 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 一次函数的性质 · 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 · 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 · 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 求一次函数的表达式 · 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 · 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 反比例函数 · 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 · 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 · 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 反比例函数的图象与性质 · 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 · 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 · 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 · 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 实践与探索 · 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 · 解题步骤（华东师大版重点）： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 · 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 确定函数自变量的取值范围 【例1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为）列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围是． 故选：C． 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定自变量的取值范围． 【详解】解：由函数表达式可知，分母，解得． 故答案为：． 【变式2】函数的自变量x的取值范围是_________； 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件分母不为零求解即可 【详解】解：有意义， 不能为零，即，解得． 故答案为： 【变式3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式的分母不能为零，求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴分母， ∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． 判断是否为一次/反比例函数 【例1】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． （m，n是常数） 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（，、为常数）的函数是一次函数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、是一次函数，故该选项符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、当中的时，才是一次函数，原说法未说明，故不一定是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 【变式2】下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（为常数，，）的函数是反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数； B．符合反比例函数的形式，是反比例函数； C．由变形得，是正比例函数，不是反比例函数； D．是一次函数，不是反比例函数． 故选B． 【变式3】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 求一次函数解析式 【例1】在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【答案】(1) (2)，，三点在同一条直线上，详见解析 【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． 【详解】（1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 【变式1】若一次函数的图像经过点，，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：将，代入得， ， 解得：， ∴该一次函数的表达式为． 【变式2】已知和成正比，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，把当时，代入求出的值即可； （）将代入（）中函数解析式进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意设与的函数关系式为， 把当时，代入得， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴的值为． 【变式3】已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设，将x、y的值代入，解出的值，即可求解； （2）把的值代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解： 与成正比例函数关系， 设， 把，代入得，， 解得， ，即， 则与之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得， 则的值为． 求反比例函数解析式 【例1】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则它的最快移动速度v与其载重后总质量m之间的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，灵活待定系数法求函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式1】已知反比例函数（为常数）经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式解答即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得． 【变式2】若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则该图象也经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据已知点求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于，即可得出答案． 【详解】∵点在反比例函数的图象上 ∴ 对于反比例函数，图象上的点满足横纵坐标乘积等于 A．∵，∴该点不在图象上 B．∵，∴该点不在图象上 C．∵，∴该点不在图象上 D．∵，∴该点在图象上 故选：D． 根据函数性质比较函数值的大小 【例1】若点和点，在函数（a为任意实数）的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】先判断一次函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴函数为一次函数，随的增大而增大， ∵， ∴． 【变式1】若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：由题意可知， ， 函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． ， 点、位于第二象限， ． ， 点位于第四象限， ， ． 【变式2】若点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合三个点的横坐标范围比较纵坐标的大小，用到反比例函数，当时的图像分布与增减性的知识点． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴ 点、在第二象限，点在第四象限， ∴，，． 又∵， ∴， 综上可得． 【变式3】函数的图象上有两点，，则______．（填“”或“”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式的比例系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，比较与的大小． 【详解】解：函数是一次函数，其中比例系数． ， 该一次函数的随的增大而减小． 点，点，满足， ． 判断函数图象所在象限 【例1】一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 【变式1】若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组无解求出a的取值范围，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∵不等式组无解， ∴， 解得， ∴， 即一次函数中，，， 根据一次函数的性质，当，时，函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限， 【变式2】关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．的值随值的增大而减小 C．图象位于二、四象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴， ∵当时，， ∴图象经过点，而非，故A错误； 时，仅在每个象限内y的值随x值的增大而减小，选项B未限定象限，故B错误； ∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，故C错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故D正确； 故选：D． 【变式3】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 利用反比例函数K的几何意义求面积/参数 【例1】反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 【变式1】在滑行过程中，小明发现滑道的两边形如两条双曲线，如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数（，）的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为：1，2，，令四边形、、的面积分别为、、，用含k的代数式表示______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算，最后根据梯形面积公式可得的面积；分别计算的值并找规律，即可得答案． 【详解】解：∵轴， ∴和的横坐标相等，和的横坐标相等，，和的横坐标相等， ∵点的横坐标分别为1，2，…， ∴点的横坐标分别为1，2，…， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ， ， 同理，， ， ，， ， ． 【变式2】已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，根据时，可知反比例函数在第三象限内随的增大而减小，由此得出比例系数，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，且时，， ∴该反比例函数在第三象限内随的增大而减小， ， ， ． 故选：D． 【变式3】已知点、都在反比例函数的图象上．当时，有．符合题意的一个值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的单调性，灵活运用反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数（）的性质得出，即可写出符合题意的一个值． 【详解】解：反比例函数（）的图象，当时，在区间单调递减；当时，在区间单调递增．本题中，已知且，即当增大时也增大，因此函数在区间单调递增，故．符合题意的一个值为负数，例如． 故答案为：． 一次函数与方程/不等式的综合应用 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求m、n的值和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】（1）将点，两点分别代入得，，进而可得点，将代入即可得出一次函数的表达式； （2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值； （3）先确定，点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将点代入，解得， 把代入，得到，解得， ， 将，代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时， 的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ∵点，， ，， ，， ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据图象找到一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 反比例函数的解析式为． 把代入，得． 把，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，故的解集为：或． 【变式2】如图，点在反比例函数的图象上，正比例函数也经过点A．以A为顶点作等腰直角三角形，使点C在x轴上且其坐标为，，． (1)填空： ， ． (2)求点B的坐标． (3)当时，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)1；1 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再代入，即可解答； （2）过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，证明，得到，则，推导出，即可解答； （3）根据一次函数与反比例函数的交点，得到在第一象限，当时， ，即，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ∴，代入，得： ． 故答案为：1，1； （2）解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，如图 ， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ∴． （3）解：由图可知，在第一象限，当时， ，即， ∴当时，． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数、反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 一次函数与几何图形的面积综合 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 【变式1】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【变式2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式； （2）设，然后根据三角形面积公式列方程求得C点坐标，从而利用待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）把代入中 得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 把代入中 ， ， 设反比例函数的解析式为， 把代入中 得， 反比例函数的解析式为； （2）设 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 【变式3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可； （2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得：， ∴反比例函数的解析式为，   把代入得：， ∴的坐标为， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， （2）把代入中，得， ∴点的坐标为 ∵点的纵坐标等于6， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式． 一次函数与反比例函数的交点问题 【例1】如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【分析】本题主要利用反比例函数与一次函数的交点问题，结合几何图形的面积计算来求解k的值，通过分析的面积与矩形面积的关系，利用反比例函数比例系数的几何意义来确定k的值，最终可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 而， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【变式1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图形面积求比例系数（解析式）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先求得点的坐标，点的坐标，再根据，点、、、共线，得出点是线段的中点，从而可求得点的坐标为，再根据点在双曲线上，可得，从而可得反比例函数解析式； （2）设点M的坐标为，从而可得，再说明点是线段的中点，从而可求得点的坐标，再根据，得到关于m的方程求解即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∴， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∴， 解得：或－5． ∴点M的坐标为或． 【变式2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． （1）根据题意先将点A代入一次函数求得m的值，再将点A代入反比例函数即可求得解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标，结合图象可判断出x的解集． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 为， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：当， 解得，， 经检验，是方程的根， 所以一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标为， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据函数图象的交点坐标和图象的上下的位置关系即可求出答案； （3）设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ； （2）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴时x的取值范围是或； （3）解：设点的横坐标为，则， ∴ 的面积为4 ． 当时解得， 当时解得， （不合题意，舍去） 综上所述点或或 函数的实际应用 【例1】某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，再根据利润公式列函数关系式即可； （2）先列函数关系式，再求解自变量的取值范围，利用函数的性质根据最大值列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包， 由题意得，， 即； （2）解：设除去捐款后获得的利润为元， 由题意得，， 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ， ， 中，， W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000， ， 解得． 【变式1】经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出段与之间的函数表达式； (2)当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以求出段与之间的函数表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：设段与之间的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段与之间的函数表达式为； （2）将代入，得：， 解得， 答：当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓． 【变式2】水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小红家去年共缴水费394.3元 (3)小明家去年用水150吨 【分析】（1）根据年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费3.1元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费4.25元，可以得到y与x的函数关系式； （2）把代入计算即可； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时， 答：小红家去年共缴水费394.3元； （3）解：当时， 解得： 答：小明家去年用水150吨． 【变式3】大坪山合作社向外地运送一批李子，由铁路运输每千克需运费0.6元；由公路运输，每千克需运费0.25元，运完这批李子还需其他费用800元． (1)该合作社运输的这批李子为，选择铁路运输时，所需费用为元，选择公路运输时，所需费用为元．请分别写出与x之间的关系式． (2)若合作社用于此次运输的总费用为1500元，则选用哪种运输方式运送的李子重量多？ 【答案】(1)， (2)选择公路运输运送的李子重量多 【分析】（1）根据题意可以直接写出，与之间的关系式； （2）根据题意可以分别计算出两种运输方式运送李子的重量，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，； （2）解：当时，，解得，即选择铁路运输时，运送的李子重量为千克；当时，，解得，即选择公路运输时，运送的李子重量为千克， ． 所以选择公路运输的李子重量多． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $