专题03 平行四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行四边形 ANSDDKIZZZIZ02020I 串 思维导图 IINIINNZN000000202 ●概念：两组对边分别平行的四边形 、平行四边形的定义●表示方法：记作口ABCD ●边的性质：对边平行且相等 ●角的性质：对角相等，邻角互补 平行四边形的性质●对角线性质：对角线互相平分 ●对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点 平行四边形与三角形中位线 由边判定： ● ·两组对边分别平行 两组对边分别相等 ·一组对边平行且相等 ●由角判定：两组对角分别相等 平行四边形的判定 ●由对角线判定：对角线互相平分 ●定义：连接三角形两边中点的线段 ●中位线定理：平行于第三边，且长度等于第三边的一半 西三角形的中位线 ●常用应用：证明线段平行、计算线段长度、构造辅助线 LRA22222222882888882 考点清单 NA2222222222222228 》一、核心概念与表示方法 1、平行四边形定义： 两组对边分别 的四边形叫做 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 表示方法：用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 几何语言： .AB∥CD,AD∥BC(己知) '.四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义） 2、相关概念： 对边： 的两边（如AB与CD,AD与BC) 对角： 的两个角（如∠A与∠C,∠B与∠D) 邻边： 的两边（如AB与AD,BC与CD) 邻角： 的两个角（如∠A与∠B,∠C与∠D) 对角线：连接平行四边形 两个顶点的线段（如AC、BD)》 》二、平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 1、边的性质： 平行四边形的 几何语言： ,'四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AD∥BC(对边平行) AB=CD,AD=BC(对边相等) 2、角的性质： 平行四边形的 相等， 互补 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠A=∠C,∠B=∠D(对角相等) ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°（邻角互补）： 3、对角线的性质： 平行四边形的对角线互相 几何语言： ,'四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O 2/15 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0A=0C,OB=OD(对角线互相平分) 4、对称性： 平行四边形是 ,对称中心是两条对角线的 不是轴对称图形 性质：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与 5.面积公式： 平行四边形的面积=底×高(S=ah),其中a为底边长，h为这条底边对应的高 重要推论：同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等 》三、平行四边形的判定(5种方法) 定义法 两组对边分别 的四边形是平行四边形 'AB∥CD,AD∥BC∴.四边形ABCD是平行四边形 边判定1 两组对边分别 的四边形是平行四边形 .AB=CD,AD=BC ∴.四边形ABCD是平行四边形 边判定2 一组对边！ 且 的四边形是平行四边形 'AB∥CD且AB=CD(或AD∥BC且AD=BC).四边形ABCD是平行四边形 角判定 两组对角分别 的四边形是平行四边形 .∠A=∠C,∠B=∠D ∴.四边形ABCD是平行四边形 对角线判定 对角线互相 的四边形是平行四边形 .对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD∴.四边形ABCD是平行四边形 注：判定定理与性质定理是互逆关系，可相互推导 》四、三角形中位线定理 1、中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 3/15 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2、中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触的边），并且等于第三边的一半 几何语言： ,'D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点 ∴.DE∥BC,且DE=:BC 3、重要推论 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形 三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似，相似比为1：2，面积比为1：4 三角形中位线定理可用于证明线段平行、线段倍分关系，解决实际测量问题（如测量池塘宽度） 》五、重要辅助线与解题方法 1、常用辅助线作法： 连接对角线：将平行四边形转化为两个 ，利用三角形性质解决问题 作高：构造 ，解决平行四边形的高、面积等计算问题 延长中线：倍长中线，构造平行四边形，证明线段 或 构造中位线：连接中点，利用中位线定理证明 或 2、平行四边形与三角形的关系： 平行四边形的一条对角线将其分成两个全等的三角形 平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形 三角形的中位线定理是连接三角形与平行四边形的桥梁 》六、易错点 1.概念辨析 X错误：一组对边平行的四边形是平行四边形 ☑正确：一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形（一组对边平行可能是梯形） X错误：平行四边形是轴对称图形 ☑正确：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形除外） X错误：平行四边形的对角线相等 ☑正确：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等（矩形对角线相等） 2.判定方法选择 已知边的关系：优先选择边的判定方法（定义法、两组对边相等、一组对边平行且相等) 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 已知角的关系：选择角的判定方法（两组对角相等） 已知对角线关系：选择对角线的判定方法（对角线互相平分） 3.中位线应用 注意区分 与 :中位线连接两边 中线连接 与 中点 中位线定理中“平行于第三边”和“等于第三边的一半”两个结论缺一不可，需完整应用 2878888888888888887 题型清单 ,/////////u 期末常考题型清单 》题型一利用平行四边形的性质求解 1.如图，CE是口ABCD的高，若∠BCE=40°，则∠A的度数为() D B A.25 B.30° C.40° D.50° 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB,BE、CE分别平分∠ABC和LBCD,若AB=2,则平行四边形 ABCD的周长为 3.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,若AB=8.ED=4,则BC的长为() D A.4 B.8 C.12 D.16 4.如图，口ABCD中，E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF,CE,CF.若△CEF是等腰直角三角 形，∠CEF=90°，CF=3,则AB的长是() 5/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 E A D A.2 B.2W3 C.22 D.2.5 》题型二利用平行四边形的性质证明 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且DE I BC.若AB=6,AD=3,则的值为〈) A.月 B.2 C. D.1 6,如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF.求证：BE=DF, D 7.如图，已知平行四边形ABCD,DE是LADC的平分线，交BC于点E, D E (I)求证：CD=CE; (2)若点E是BC的中点，∠C=110°，求∠DAE的度数. 8,如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC的中点，连接DF,交AB的延长线于点E,求证：BE=CD. D B 6/15 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 》题型三数图形中平行四边形的个数 9.如图，在3×3的正方形网格中，以线段AC为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点 (网格线的交点)上，这样的平行四边形最多可以画(） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 10.根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数· 11.在如图的格点图中，每一格点与它周围各个格点的距离相等.以格点为顶点，你能画出多少个平行四 边形？ ● ● ● 12.在口ABCD中，EF GH II BC,MN II AB,则图中平行四边形的个数是() A M G H B N A.13 B.14 C.15 D.18 》题型四判断能否构成平行四边形 13.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,下列条件能判定四边形是平行四边形的是() A.AB II CD,AD=BC B.OA=OB,OC=OD C.AB=CD,AD II BC D.AB IICD,LA=∠C 14.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB=CD,∠B=∠D B.∠B=∠D,∠A=∠C C.AD=BC,ADIIBC D.AB=CD,AD=BC 7/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.在四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，且△ABC与△ADC面积相等，则下列条件不一定能推 出四边形ABCD是平行四边形的是() A.OA=OC B.OB=OD C.AB=CD D.AD=BC 16.下列条件：①∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°；②LA=∠C,∠B=∠D;③AB=AD,BC=CD④ AB=CD,AD=BC.其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有() A.1个 B,2个 C.3个 D.4个 》题型五求与已知三点组成平行四边形的点的个数 17.如图，在4×6的网格中，点M,N,P,Q都在格点上，能与格点O,A,B连接得到平行四边形的是 () B A.点M B.点N C.点P D.点Q 18.在平面直角坐标系中，己知点A(-1,0)、B(2,2)、C(0,3),在坐标平面内找一点D,使得以A,B,C,D 四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 19.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰 能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有 个 20.在6×6的方格纸中，点A,B,C都在格点上，按要求画图： 图1 图2 (I)在图1中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形. (2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分. 》题型六证明四边形是平行四边形 21,下列说法错误的是() A.矩形的对角线相等 B,菱形的对角线互相垂直 8/15 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D,四个角都相等的四边形是正方形 22.如图，在口ABCD中，M,N是对角线BD上的点，BM=MN=DN. D B (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AM⊥BD,AB=V61,BM=6,求BC的长 23,如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE II AB交DF的延长线于点E,连接 AE,CD (I)求证：四边形ADCE是平行四边形； (2)若∠CAB=45°，∠ACD=75°，CD=2,求AD的长. 24.如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AF=CE D (I)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB⊥BF,AB=16,BF=12,AC=24.求线段CF的长. 》题型七与三角形中位线有关的求解问题 25,如图，P是口ABCD的边AD上一点，E,F分别是PB,PC的中点，若△PEF的面积（图中阴影部分）为 4,则▣ABCD的面积是 9/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A E B 如图，P是口ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若 口ABCD的面积为16cm2,则 26.如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D,E分别是边AB ,AC与网格对角线的交点，连接DE,则DE的长为· 27.如图，在△ABC中，AB=8,点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF=2, 连接AF、BF,若LAFB=90°，则线段BC的长为· 28.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，点E是AD的中点，如果OE=2,AD=5,那么 口ABCD的周长是 B 高频易错归因清单 》题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 易错：判定定理混用，错用边角条件；原因：混淆平行四边形性质与判定，分不清已知和求证。 1,如图，在口ABCD中，四个内角的角平分线AE,DE,BF,CF交于E,F两点，AE=8,DE=6, DC=15,则EF的长为 10/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，F是口ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长，交AB于点E,连接AF,与DE相交 于点P.若S△APD=3cm2,S△8Qc=10cm2,则阴影部分的面积为(） E A.13cm2 B.16cm2 C.26cm2 D.23cm2 3,如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF II DC, (1)求证：四边形AFCD为平行四边形： (2)若LEFB=90°，BF=3,EF=1,求BC的长. 4,如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且AD=BD,过点C作DB的平行线，与过点B所 作的BC边的垂线相交于点E, D (I)求证：四边形BDCE是平行四边形； (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长. 》题型二利用平行四边形性质和判定证明 易错：性质、判定定理混用，错凑边角条件；原因：分不清由边/角证平行和由平行推边角的逻辑。 5,如图，在等边△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，连接BE,CD交于点O,F,G分别为OB,OC 中点，连结DF,EG,DE,FG. 11/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 E G B (I)求证：DG和EF互相平分； (②2)若AB=6,求四边形DEGF的周长. 6.如图，在□ABCD中，DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F. A D (I)求证：四边形BEDF是平行四边形， (2)若AB=13,AD=20,DE=12,求线段EF的长. 7.如图，在四边形ABDE中，AE‖BD,C为BD的中点，AB II CE,连接AC. E B D 求证：AC=DE. 8.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M、N分别是OA,OC的中点， D (I)证明：DM II BN; (2)若∠ONB=∠OBN,证明：∠DNB=90°. 》题型三平行四边形性质和判定的应用 易错：判定条件混用，漏证边平行或相等；原因：性质、判定概念混淆，不会结合已知挑选定理。 9.如图，己知∠1=40°，∠B=50°，AB⊥AC,AD=BC.求证：AB=DC. 12/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A D ● B 10.如图，在△ABC中，AB=4V2,AC=6,M、N两点分别在边AC、AB上，且CN=BM, ∠ANC=45°，则0N-0M的值为 4 M C 11.综合与实践 [情境]如图1，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠A=∠D=90°，∠ABC=a,0°<a<90°. D C F M B E BA 图1 图2 图3 图4 【探究】在图1的基础上，取BC边的中点M,过点M作MEIAD交AB于点E,将△BEM绕点M逆时针旋转到 △CFM的位置，使点B与点C重合，得到图2. (I)请判断四边形AEFD的形状，并说明理由； (2)【应用】如图3，四边形ABCD中，ABICD. 请仿照图2（线段ME、MF、CF)借助刻度尺或三角尺在图3中画出类似的剪拼线，使得四边形ABCD通 过剪拼得到一个平行四边形（画出一种即可，不说理由）； (3)【拓展】如图4，在五边形ABCDE中，AB=ED,ABIED 若沿一条直线将图形剪开，使得到的两个图形的面积相等. ①这样的直线有 (填“12”或“无数”)条； ②画出符合要求的一条直线（可以借助刻度尺或圆规，保留作图痕迹，不写作法）， 12.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE=DF,AD=BC=8,AE=BE,则四边形BECF的 面积 13/15 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A E B D 》题型四与三角形中位线有关的证明 易错：误用中位线条件，记错长度倍数；原因：分不清中点位置，混淆中位线与中线定理。 13.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，连接DE,AF交于点O.求证：O为DE的 中点. E 14.如图，在△ABC中，AB=BC,AD⊥BC,垂足为点D,点E,F分别为AB,AC中点，连接ED,EF B D (I)求证：ED=EF. (2)若LC=70°，求LADE的度数. 15.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点F是OB上的一点，BF=2OF,延长AF至点G,使 FG=AF,AG交BC于点E,连接CF,CG,BG. D C E A B (I)求证：四边形CFBG是平行四边形； 14/15 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若CF⊥BD,AD=4,求四边形CFBG的面积. 16.如图，△ABC的中线BD,CE相交于点O,且F,G分别是OB,OC的中点，连接DE,DG,EF,FG (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若AB=BC=17,AC=16,求0C的长. 15/15 专题03 平行四边形 一、核心概念与表示方法 1、平行四边形定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 几何语言： ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知） ∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义） 2、相关概念： 对边：不相邻的两边（如AB与CD，AD与BC） 对角：不相邻的两个角（如∠A与∠C，∠B与∠D） 邻边：相邻的两边（如AB与AD，BC与CD） 邻角：相邻的两个角（如∠A与∠B，∠C与∠D） 对角线：连接平行四边形不相邻两个顶点的线段（如AC、BD） 二、平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 1、边的性质： 平行四边形的对边平行且相等 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC（对边平行） AB=CD，AD=BC（对边相等） 2、角的性质： 平行四边形的对角相等，邻角互补 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（对角相等） ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°（邻角互补）： 3、对角线的性质： 平行四边形的对角线互相平分 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O ∴ OA=OC，OB=OD（对角线互相平分） 4、对称性： 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；不是轴对称图形 性质：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合 5. 面积公式： 平行四边形的面积=底×高（S=ah），其中a为底边长，h为这条底边对应的高 重要推论：同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等 三、平行四边形的判定（5种方法） 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 边判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 边判定2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC） ∴ 四边形ABCD是平行四边形 角判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ 对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 注：判定定理与性质定理是互逆关系，可相互推导 四、三角形中位线定理 1、 中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2、中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触的边），并且等于第三边的一半 几何语言： ∵ D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点 ∴ DE∥BC，且DE=：½BC 3、重要推论 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形 三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4 三角形中位线定理可用于证明线段平行、线段倍分关系，解决实际测量问题（如测量池塘宽度） 五、重要辅助线与解题方法 1、常用辅助线作法： 连接对角线：将平行四边形转化为两个全等三角形，利用三角形性质解决问题 作高：构造直角三角形，解决平行四边形的高、面积等计算问题 延长中线：倍长中线，构造平行四边形，证明线段相等或平行 构造中位线：连接中点，利用中位线定理证明线段平行或倍分关系 2、平行四边形与三角形的关系： 平行四边形的一条对角线将其分成两个全等的三角形 平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形 三角形的中位线定理是连接三角形与平行四边形的桥梁 七、易错点 1. 概念辨析 ❌ 错误：一组对边平行的四边形是平行四边形 ✅ 正确：一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形（一组对边平行可能是梯形） ❌ 错误：平行四边形是轴对称图形 ✅ 正确：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形除外） ❌ 错误：平行四边形的对角线相等 ✅ 正确：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等（矩形对角线相等） 2. 判定方法选择 已知边的关系：优先选择边的判定方法（定义法、两组对边相等、一组对边平行且相等） 已知角的关系：选择角的判定方法（两组对角相等） 已知对角线关系：选择对角线的判定方法（对角线互相平分） 3. 中位线应用 注意区分三角形中位线与三角形中线：中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点 中位线定理中“平行于第三边”和“等于第三边的一半”两个结论缺一不可，需完整应用 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，进一步得出，再根据平行四边形的性质和平行线的性质，解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．如图，在平行四边形中，，、分别平分和，若，则平行四边形的周长为________ ． 【答案】12 【分析】利用平行四边形的性质求得，利用角平分线的定义求得，推出，求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 3．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，确定，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． 4．如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 题型二 利用平行四边形的性质证明 5．如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】通过作构造平行四边形，得，结合已知得，再证，从而，即． 【详解】如图，过点作交延长线于， ，， 在上，即 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 6．如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【详解】略． 7．如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∵点F是的中点 在和中， ． 题型三 数图形中平行四边形的个数 9．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：如图所示，最多能画5个平行四边形， 10．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 【答案】 【分析】找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是． 11．在如图的格点图中，每一格点与它周围各个格点的距离相等．以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？ 【答案】能画出3个平行四边形 【分析】根据中位线的性质可得、、，再根据平行四边形的定义即可判定哪些是平行四边形． 【详解】解：如图：能画出3个平行四边形， 分别是，，；两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 理由：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴线段是的中位线， ∴、、， ∴四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形． 12．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 题型四 判断能否构成平行四边形 13．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 14．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意． 15．在四边形中，O是对角线的交点，且与面积相等，则下列条件不一定能推出四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意可得，．再根据，，作出图形说明B；当时，根据“角角边”证明，可得，再根据“角角边”证明，可得，进而得出说明A；当时，根据“斜边直角边”证明，可得，即可说明C；当时，再证明，可得，即可解答D． 【详解】解：∵ ，和共底， ∴点和点到直线的距离相等，即，且． 当时，，此时四边形不是平行四边形，所以B符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形，所以A不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，则D不符合题意． 16．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 题型五 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 17．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 18．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 19．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 20．在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： (1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）对于已知的三角形的三边分别为平行四边形的对角线进行分类讨论画出图形即可； （2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可． 【详解】（1）解：根据点A、B、C的位置，通过平移边找点D：例如以为平行四边形的对角线，将点向右平移2格、向下平移1格即可得到格点，顺次连接四个顶点即得到符合要求的平行四边形；或以、为对角线，同理可得符合要求的平行四边形；画出图形如图1所示． 故图中平行四边形，平行四边形，平行四边形即为所求． （2）解：在过点的水平格线上，从开始顺次取3个相邻的等距格点，将最外侧的格点与点连接，再过另外两个格点作这条连线的平行线，平行线与的两个交点就是的三等分点，完成作图即可，即如图2所示． ∵，， ∴， 即点E，F是线段的三等分点． 题型六 证明四边形是平行四边形 21．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 22．如图，在中，M，N是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）连结，交于点，由平行四边形性质可知，，因为，可得，即可证明题目； （2）因为，可求，又由已知可求，利用勾股定理求得长，则题目可解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明： ， ， 是中点， ， 在和中， ， 则， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行线的性质、中点定义得到角及边的相等关系，再由两个三角形全等的判定与性质证得，最后由平行四边形的判定定理求证即可； （2）先由三角形内角和定理求出，过点作，由含直角三角形性质及勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质求出相关线段长度即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， 则 24． 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵ 平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）连接平行四边形的对角线交于点，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，，再结合已知推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据得到是直角三角形，利用勾股定理结合和的长度求出的长度，再用的总长度减去的长度，即可求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 题型七 与三角形中位线有关的求解问题 25．如图，是的边上一点，E，F分别是的中点，若的面积（图中阴影部分）为4，则的面积是___________． 如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则 【答案】32 【分析】利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案． 【详解】解：，分别是，的中点， ∴是的中位线 ，， ， ， ， ∵的面积分别为4， ， 四边形是平行四边形， ． 26．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 27．如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 【答案】12 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ． 28．如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是______． 【答案】18 【分析】由平行四边形对角线互相平分，得是中点，结合是中点，用三角形中位线求出，利用平行四边形对边相等，计算周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，为对角线交点， ∴， ∴是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中， ∵，， ∴的周长是． 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 易错：判定定理混用，错用边角条件；原因：混淆平行四边形性质与判定，分不清已知和求证。 1．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长，交于点，连接，与相交于点．若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 3．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 4．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 题型二 利用平行四边形性质和判定证明 易错：性质、判定定理混用，错凑边角条件；原因：分不清由边/角证平行和由平行推边角的逻辑。 5．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 6．如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明 得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 7．如图，在四边形中，，为的中点，，连接． 求证：． 【答案】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】根据题意可以得到四边形是平行四边形，从而得到，根据为的中点可得，从而得到，再根据可得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据中点的定义得，进而得出，然后说明四边形是平行四边形，则此题可证； （2）先说明，进而得出，再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 题型三 平行四边形性质和判定的应用 易错：判定条件混用，漏证边平行或相等；原因：性质、判定概念混淆，不会结合已知挑选定理。 9．如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】先利用直角三角形内角求，推出，得，再结合证明四边形是平行四边形，从而得． 【详解】解：略． 10．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 11．综合与实践 ［情境］如图1，在四边形中，，，，． 【探究】在图1的基础上，取边的中点，过点作交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点与点重合，得到图2． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)【应用】如图3，四边形中，． 请仿照图2（线段、、）借助刻度尺或三角尺在图3中画出类似的剪拼线，使得四边形通过剪拼得到一个平行四边形（画出一种即可，不说理由）； (3)【拓展】如图4，在五边形中，，． 若沿一条直线将图形剪开，使得到的两个图形的面积相等． ①这样的直线有____________（填“1”“2”或“无数”）条； ②画出符合要求的一条直线（可以借助刻度尺或圆规，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)解：四边形是矩形． 理由如下： ∵为边的中点，且是绕点逆时针旋转得到的， ∴， ∴，， ∵，，三点共线，， ∴，，三点共线， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴是四边形， ∵， ∴， 又∵， ∴在四边形中，， ∴四边形是矩形． (2) 四边形就所有的平行四边形， (3)①无数 ②直线(或)是所求直线（答案不唯一）， 【分析】本题考查矩形的判定，旋转的性质，平行四边形的性质，限定工具作图． （1）先证明，，三点共线，再证明，，三点共线，即证明了是四边形，然后根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过的中点作，交的延长线于点，交于点，即可； （3）①这样的直线有2条；②分别取线段的中点，连接并向两侧延长，分别交于，设直线和交于点，这直线(或)为所求直线． 【详解】（1）解：；略 （2）解：过的中点作，交的延长线于点，交于点，如图，即为所求（答案不唯一） （3）解：①由下图的可知，过点的直线，且仅能与的边、这组对边相交，且交点只在线段上的直线都满足条件，这样的直线有无数条；理由见下面②的说明， ②分别取线段的中点，连接并向两侧延长，分别交于，连接，过点作交于点，连接直线且交于点， ∴，， 又∵， ∴， 则，， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴直线满足题意， （同样的，过点的直线，且仅能与的边、这组对边相交，且交点只在线段上的直线，也满足题意.） 12．如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一得到、，设，结合用勾股定理列方程求出，再由得，最后根据对角线垂直的四边形面积公式算出． 【详解】解：∵，是中点， ∴，且， 设， ∵，， 则， 在中，由勾股定理：代入得：， 展开化简得， 解得：，即 ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是对角线互相垂直的平行四边形， ∴． 题型四 与三角形中位线有关的证明 易错：误用中位线条件，记错长度倍数；原因：分不清中点位置，混淆中位线与中线定理。 13．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 【答案】证明：，E分别是，边的中点， 为的中位线，   ． 为的中点，   为的中位线，为的中位线．   ，．   是边的中点，       为的中点 【分析】由中位线的性质可知为的中点，进而可得为的中位线，为的中位线，再利用中位线的性质即可证明． 【详解】略 14．如图，在中，，，垂足为点，点，分别为，中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的度数为 【分析】（1）由，为中点，得；E，F是，中点，则，结合，等量代换，即可证； （2）先由得，利用内角和算出；由，进而可得；最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴ ， 由（1）知，且是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 15．如图，矩形的对角线与交于点O，点F是上的一点，，延长至点G，使，交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)． 【分析】（1）首先利用中位线的性质证明，然后再证明即可； （2）由条件可知四边形是矩形，因此只要求出即可．首先由求出，进而由勾股定理求出，然后结合矩形对角线的性质以及求出，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴．，， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴． ∴． 16．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：的中线，交于点， ，． 点，分别是，的中点， ，． ，． 四边形DEFG是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定定理即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，是的中线， ，． ． 由（1）得四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， 在中， 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $