精品解析：云南昆明市西山区2025－2026学年九年级下学期作业训练(八)数学

2025~2026学年九年级作业训练（八）数学 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 2025年11月21日18时55分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射通信技术试验卫星二十一号．若发射前秒记为秒，则发射后秒应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. 滇池（又称昆明湖）是云南省最大的淡水湖，这个被誉为“高原明珠”的湖泊，总面积达330平方公里，总蓄水量约130000万立方米，是西南地区重要的生态旅游名胜．数据130000万用科学记数法可以表示为（    ）． A. B. C. D. 3. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 6. 如图所示的图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球体 C. 长方体 D. 三棱柱 7. 某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 8. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 10. 如图，点、分别在边、上，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中2023年投入50万元，2025年投入98万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校投入资金的年平均增长率．设年平均增长率为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 14. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 15. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 分解因式_______． 17. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是______(添一个即可)． 18. 某校开展“我最喜爱的一项体育运动”调查，每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了名学生，并将结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，则抽查的名学生中喜欢足球运动的有_____人． 19. 在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 计算：． 21. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 22. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 23. 某学校于4月份举办校级艺术节，将参与展演的节目分为A类（歌唱类）、B类（舞蹈类）两个类别，通过转盘游戏方式决定到C区（主舞台）、D区（副舞台）两个区域进行展演．第一个转盘被等分成红、蓝两个区域（分别标有数字1，2），负责教师转动该转盘，指针指向的数字记为．第二个转盘被等分成黄、绿、紫三个区域（分别标有数字1，2，3），负责教师再转动该转盘，指针指向的数字记为．若，则A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动；若，则A类节目到D区参加展演活动，B类节目到C区参加展演活动．（注：若指针指向转盘的等分线，则重新转动转盘．） （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率． 24. 如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）设，，，设与之间的距离为，求的值． 25. 海晏村是昆明滇池国家旅游度假区大渔街道的特色古渔村，也是滇池沿岸乡村旅居示范点，乡村振兴成效显著．当地非遗美食、柴火烘焙、特色文创兼具风味与纪念价值，适合作为伴手礼．某食品公司计划在此推出两款非遗糕点伴手礼：A——海晏柴火麦饼；B——海晏玫瑰鲜花饼．其中甲、乙两种原料用于制作A、B两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，该食品公司试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料260千克，乙种原料245千克． 素材二 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 12 B商品 2 3 20 设生产A种商品千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为元（x为整数）． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务： （1）若生产千克A商品，千克B商品，刚好把甲、乙两种原料用完，求m，n的值； （2）求与的函数解析式，并求出当取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本最小?最小成本为多少元? 26. 已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．设为二次函数的图象与轴交点的横坐标，为轴下方二次函数的图象上某动点的横坐标． （1）求二次函数的解析式； （2）设，求的最大值． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，且，过上的点作于点，延长至点，使得，点是上任意一点，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：若，无论点在上的任何位置，都存在常数，使等式成立？若存在，请写出的值，并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级作业训练（八）数学 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 2025年11月21日18时55分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射通信技术试验卫星二十一号．若发射前秒记为秒，则发射后秒应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定相反意义的量的正负表示，发射前秒记为秒，则发射后秒记为秒． 【详解】解：由题意可知，发射前秒记为秒，即发射前秒记为正， ∴与发射前秒意义相反的发射后秒应记为负，发射后秒记为秒， 因此发射后秒应记为秒． 2. 滇池（又称昆明湖）是云南省最大的淡水湖，这个被誉为“高原明珠”的湖泊，总面积达330平方公里，总蓄水量约130000万立方米，是西南地区重要的生态旅游名胜．数据130000万用科学记数法可以表示为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先将带单位“万”的数转化为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：∵ 万， ∴ 万用科学记数法表示为． 3. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用邻补角与平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A：， A错误． 对选项B：，等式左右相等， B正确． 对选项C：， C错误． 对选项D：， D错误． 5. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 6. 如图所示的图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球体 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给几何体的三视图进行求解即可． 【详解】解：∵主视图和俯视图、左视图都为长方形， ∴这个几何体是长方体． 7. 某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 【答案】A 【解析】 【分析】中位数是将数据从小到大排列后最中间位置的数，数据个数为奇数时即为中间的数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义即可求解． 【详解】解：∵共有15个参赛选手，数据个数为奇数， ∴中位数是从小到大排列后第个数据． 计算累计人数得 ，即成绩小于91分的共有6人，第7到第10个数据都是91分，因此第8个数据为91分，即中位数为91． ∵91分出现了4次，是所有成绩中出现次数最多的数， ∴众数为91． 8. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 9. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，八边形的每个外角都是， ∴， 即． 10. 如图，点、分别在边、上，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 11. 在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中2023年投入50万元，2025年投入98万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校投入资金的年平均增长率．设年平均增长率为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，． 12. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据等弦对等弧、等弧对等角得出，从而求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，  ∴， ∵， ∴． 13. 一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察可知每个多项式的第二项恒为，只需总结的指数变化规律即可得到第个多项式． 【详解】解：观察给出的多项式： 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为， 即第个多项式为． 14. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 15. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 17. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是______(添一个即可)． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大． 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：∵四边形是平行四边形，又 ∴平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 18. 某校开展“我最喜爱的一项体育运动”调查，每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了名学生，并将结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，则抽查的名学生中喜欢足球运动的有_____人． 【答案】 30 【解析】 【分析】先根据喜欢排球运动的人数和所占百分比求出总人数，再求解即可． 【详解】解：总人数为（人）， 喜欢足球的人数为． 19. 在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式  （其中  为底面半径， 为母线长），将已知母线长和侧面积代入公式建立方程，解方程即可求出底面半径． 【详解】解：设该圆锥形草帽底面圆的半径为  ． 根据圆锥侧面积公式，得． 方程两边同时除以，得． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 21. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 22. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【解析】 【分析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则一个工作队人工每小时更换钢轨，根据题意找到“更换钢轨所用时间相等”的等量关系，列出分式方程求解，解后需要检验根的合理性． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则一个工作队人工每小时更换钢轨， 根据题意，得， 交叉相乘得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答∶一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 23. 某学校于4月份举办校级艺术节，将参与展演的节目分为A类（歌唱类）、B类（舞蹈类）两个类别，通过转盘游戏方式决定到C区（主舞台）、D区（副舞台）两个区域进行展演．第一个转盘被等分成红、蓝两个区域（分别标有数字1，2），负责教师转动该转盘，指针指向的数字记为．第二个转盘被等分成黄、绿、紫三个区域（分别标有数字1，2，3），负责教师再转动该转盘，指针指向的数字记为．若，则A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动；若，则A类节目到D区参加展演活动，B类节目到C区参加展演活动．（注：若指针指向转盘的等分线，则重新转动转盘．） （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率． 【答案】（1）所有可能出现的结果总数为 （2） 【解析】 【分析】（1）用树状图或列表法列举出所有等可能的结果； （2）结合（1）中所有等可能的结果，找出满足的结果，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由图可知，可能出现的结果为： ，，，，，， 答：所有可能出现的结果共有6种； 【小问2详解】 由（1）可知所有可能出现的结果共有6种， 其中有两种：，， ∵它们出现的可能性相等， ∴， 答：A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率为． 24. 如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）设，，，设与之间的距离为，求的值． 【答案】（1）证明：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线平行且相等，证明四边形为平行四边形，再证，得出，证明四边形为平行四边形，结合，可证四边形是菱形； （2）先证，用勾股定理解求出和，再利用等面积法求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在中，， ，， ， 解得， ， 与之间的距离为， ， ． 25. 海晏村是昆明滇池国家旅游度假区大渔街道的特色古渔村，也是滇池沿岸乡村旅居示范点，乡村振兴成效显著．当地非遗美食、柴火烘焙、特色文创兼具风味与纪念价值，适合作为伴手礼．某食品公司计划在此推出两款非遗糕点伴手礼：A——海晏柴火麦饼；B——海晏玫瑰鲜花饼．其中甲、乙两种原料用于制作A、B两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，该食品公司试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料260千克，乙种原料245千克． 素材二 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 12 B商品 2 3 20 设生产A种商品千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为元（x为整数）． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务： （1）若生产千克A商品，千克B商品，刚好把甲、乙两种原料用完，求m，n的值； （2）求与的函数解析式，并求出当取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本最小?最小成本为多少元? 【答案】（1） ， （2） 与的函数解析式为（且为整数），当生产A商品千克，B商品千克时总成本最小，最小成本为元 【解析】 【分析】（1）根据刚好用完甲、乙两种原料的条件，列出二元一次方程组求解即可得到，的值； （2）先根据总成本的计算方法得到关于的函数解析式，再根据现有原料的总量限制列出不等式组求得的取值范围，利用一次函数的增减性即可求得最小成本和对应的生产方案. 【小问1详解】 解：由题意得，生产千克A商品，千克B商品刚好用完甲、乙两种原料，可得方程组  ， 解得：； 【小问2详解】 解：设生产A种商品千克，则生产B种商品千克， 总成本， 化简得； 由题意，，解得，且为整数， 一次函数中，， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值，此时，； 答：函数解析式为（且为整数），安排生产A商品千克，B商品千克时总成本最小，最小成本为元. 26. 已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．设为二次函数的图象与轴交点的横坐标，为轴下方二次函数的图象上某动点的横坐标． （1）求二次函数的解析式； （2）设，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的对称轴为直线，待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用交点横坐标满足二次方程降次化简，得到T关于n的表达式，再根据n的范围求最大值. 【小问1详解】 解：已知二次函数经过点， 由增减性可知对称轴为直线， ∴， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：是二次函数与轴交点的横坐标， ，即，且， ∴，  ， ， ， 将代入得： ， 整理得：， ∵， ∴当时，，最小，此时最大，为， 又当时，，满足题意， 故的最大值为3. 27. 如图，是的外接圆，是的直径，且，过上的点作于点，延长至点，使得，点是上任意一点，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：若，无论点在上的任何位置，都存在常数，使等式成立？若存在，请写出的值，并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 直线是的切线； （3）， 证明：如图，连接， ，， 设，， ， ， ， ， ， ，当点P与点B重合时：，， ， ，解得； 当点P与点A重合时：，， ， ，解得； 当点P与点A，B不重合时：， ， 又， ， ，即， ， ，解得； 综上可得，无论点在上的任何位置，都存在常数，使等式成立． 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，即可求解； （2）要想证明直线是的切线，则需证，根据直径所对的圆周角为90度，，通过导角可证，结合，可得，再由等边对等角得出，即可证明； （3）根据，设，，求出，，，，分三种情况，当点P与点B重合时，或点P与点A重合时，根据求出a的值；当点P与点A，B不重合时，证明，可得，代入求出a的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，， ， 是等边三角形， ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $