精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2026年初中学业水平模拟考试数学 试题卷

昆一中西山学校2026年初中学业水平模拟考试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键． 根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：“收入80元”记作“元”， ∴“支出50元”记作， 故选：B ． 2. 2025年4月23日，由中国科学院空间应用工程与技术中心、云南天文台和上海天文台组成的科研团队，利用云南天文台米望远镜新升级的近红外月球激光测距系统，成功探测到卫星单角锥反射器的激光回波信号，星地距离约350000公里．这是我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距．将350000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：350000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由PD∥OB，得出∠PCO＝∠DPC =90°；再根据∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°即可求出∠APD 【详解】 PD∥OB, PC⊥OB ∠CPD=90° ∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°, ∠OPC＝35° ∠APD=180°-90°-35°=55° 故选B 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握性质是解题关键. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； 选项，，运算错误，不符合题意； 选项，，运算错误，不符合题意； 选项，，运算正确，符合题意． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接代入解方程即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 6. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，来测量金字塔的高度．如图所示为金字塔几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．由三视图的概念，根据主视图、俯视图和左视图想象几何体形状，即可得到答案． 【详解】解：由金字塔几何体的主视图、左视图和俯视图，得到该几何体是四棱锥． 故选：C． 7. 传统文化如下为篆书书写的“大美云南”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项符合题意， D．是轴对称图形，故该选项不符合题意． 8. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式和二次根式有意义的条件求字母的取值范围，理解式子有意义的条件是解题的关键．根据分式中分母不为0和二次根式中被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：要使有意义，则，即， 又分母，即， ． 故选：A． 9. 为响应“低碳生活，绿美云南”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 96，97 B. 97，97 C. 97，96 D. 94，97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数．根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：将94，97，96，97，97从小到大排列为：94，96，97，97，97， 其中97出现的次数最多，则众数为97， 中位数为：97． 故选：B． 10. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11. 滇超是云南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是云南体育新，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了场， 可得方程，选项符合题意． 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可得解． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴这列单项式的系数依次为：2，4，6，8，10，，， 这列单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，， ∴第个单项式是：． 13. 如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，进而根据以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点、、、上，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后利用正弦函数的定义即可求出． 【详解】解：在中，，D是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，锐角三角函数等，解题的关键是根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出的长度． 15. 元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴的长为， ∴圆锥底面圆的周长为， ∴底面圆的半径为； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 17. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 18. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得，在中，为的中位线，由此可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵，分别是，的中点， ． 19. 为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了200名初中学生进行调查整理样本数据，得到如图所示的统计图，根据调查结果，估计我市20000名初中学生视力不低于4.8的人数是________人． 【答案】11800 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键；由条形统计图可知视力不低于4.8的人数，然后可得其所占百分比，进而问题可求解． 【详解】解：由统计图可知：（人）； 故答案为11800． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 21. 如图，A，F，B，D在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质、平行线的性质．根据题意证明和全等，继而得到本题答案． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴． 22. 年月日至日宁洱普洱茶节在云南省普洱市宁洱县举办，核心活动包括“说茶论道”，“贡茶鉴宝”，“茶咖文旅融合交流”等．某茶商通过电商平台拓展国际市场，计划用元采购普洱茶，实际采购时的单价较原计划降低，最终比原计划多购买了公斤．那么原计划的采购单价是每公斤多少元？ 【答案】原计划的采购单价是每公斤元 【解析】 【分析】先设原计划采购单价为未知数，结合总预算分别表示出原计划和实际的采购数量，再根据“实际比原计划多采购公斤”这一条件列出方程，最后通过化简方程求解得出原计划的采购单价． 【详解】解：设原计划采购单价为每公斤元，则实际单价为元， 根据题意，得 整理，得， 即， 解得， 经检验，时分母不为，符合题意， 答：原计划的采购单价是每公斤元． 23. 有不透明的甲、乙两个口袋，甲口袋装有3张完全相同的卡片，标的数字分别是：，2，，乙口袋装有4张完全相同的卡片，标的数字分别是1，，，4．现随机从甲袋中抽取一张记为x，从乙袋中随机抽取一张记为y，设点A的坐标为． （1）请用树形图或列表的方法求出点A的坐标的所有情况； （2）求出点A落在第二象限的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用树状图列出所有的情况数即可； （2）找出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：树状图如： 由上可知，点全部可能的结果共12种； 【小问2详解】 解：由上可知，点全部可能的结果共12种，每种结果发生的可能性相等，其中点落在第二象限共4种结果， ∴点落在第二象限的概率． 24. 如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求点A到边的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵M是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ 【答案】（任务1）A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元；（任务2）购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，一次函数择优方案选择，解题的关键是找到等量关系式． （1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购列式求解即可得到答案； （2）根据A种笔记本m本可得B种笔记本本，根据费用单价数量列函数，结合函数性质求解即可得到答案； 【详解】（任务1）解：设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据题意， 得：， 解得， ， 答：A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元； （任务2）解：准备购买A种笔记本本，则B种笔记本本，购买100本的总费用为元， ， 又， ，且m为整数， 又， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，最小值为元， 购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． 26. 已知a，b，c是常数，抛物线经过点，记． （1）求m的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入得，进而即可得解； （2）先由和得出，再将变形得出，代入即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 两边平方得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 两边平方得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）存在常数，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形和直角三角形转化线段的平方关系，利用相似三角形的判定和性质得出线段的乘积关系是解题的关键． （）由是直径可得，进而求出，，再由三角形的外角等于不相邻两内角之和即可得出； （）连接，可得，从而证明，进而可得，由切线的判定方法即可求证； （）连接，在上取点，使，构造，得等腰，从而利用勾股定理将，再证明，可得，从而将等式右边转化为，最后证明，可得，从而求解. 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分交于点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，连接，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为， 则：，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，时，等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2026年初中学业水平模拟考试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 2. 2025年4月23日，由中国科学院空间应用工程与技术中心、云南天文台和上海天文台组成的科研团队，利用云南天文台米望远镜新升级的近红外月球激光测距系统，成功探测到卫星单角锥反射器的激光回波信号，星地距离约350000公里．这是我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距．将350000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，来测量金字塔的高度．如图所示为金字塔几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A 四棱柱 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 三棱锥 7. 传统文化如下为篆书书写的“大美云南”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 为响应“低碳生活，绿美云南”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 96，97 B. 97，97 C. 97，96 D. 94，97 10. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 11. 滇超是云南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是云南体育新，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A. B. C. D. 14. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 15. 元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 17. 八边形的内角和为________度． 18. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 19. 为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了200名初中学生进行调查整理样本数据，得到如图所示的统计图，根据调查结果，估计我市20000名初中学生视力不低于4.8的人数是________人． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，A，F，B，D在一条直线上，，，，求证：． 22. 年月日至日宁洱普洱茶节在云南省普洱市宁洱县举办，核心活动包括“说茶论道”，“贡茶鉴宝”，“茶咖文旅融合交流”等．某茶商通过电商平台拓展国际市场，计划用元采购普洱茶，实际采购时的单价较原计划降低，最终比原计划多购买了公斤．那么原计划的采购单价是每公斤多少元？ 23. 有不透明的甲、乙两个口袋，甲口袋装有3张完全相同的卡片，标的数字分别是：，2，，乙口袋装有4张完全相同的卡片，标的数字分别是1，，，4．现随机从甲袋中抽取一张记为x，从乙袋中随机抽取一张记为y，设点A的坐标为． （1）请用树形图或列表的方法求出点A的坐标的所有情况； （2）求出点A落在第二象限的概率． 24. 如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求点A到边的距离． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ 26. 已知a，b，c是常数，抛物线经过点，记． （1）求m的值； （2）若，求的值． 27. 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $