精品解析：四川广元市利州区部分学校2025-2026学年下学期八年级半期数学试卷

2026年春八年级半期数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 时高度和时高度相同 C. 时风筝达到最高高度为 D. 到之间，风筝飞行高度持续上升 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是矩形 B. 有一个角是的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 7. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 9. 某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A. B. C. D. 10. 2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为_______． 13. 如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 15. 如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是________． 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算：． 18. 已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 20. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 21. 如图，直线的解析式为，直线与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过点B，直线交于点．求： （1）求m的值； （2）求直线的解析式． 22. 1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a米/分的速度竖直上升．两个气球都上升了60分钟，1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：米）与上升时间x（单位：分）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）b＝_____； （2）请求出与x的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为6米？ 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 24. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 25. 如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1） ， （用t表示）； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 26. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级半期数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的不含分母．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、 是最简二次根式，故此选项符合题意； B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选A． 2. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】解：A、：对角线垂直的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． B、：无法直接推导出直角或对角线相等，无法判定为矩形，故此选项不符合题意． C、：邻边相等的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． D、：在平行四边形中，，．若，则，满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义是解题的关键．本题根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：A． 4. 如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 时高度和时高度相同 C. 时风筝达到最高高度为 D. 到之间，风筝飞行高度持续上升 【答案】D 【解析】 【分析】由图象获取信息，逐项进行判断． 【详解】解：A. 由图可得，风筝最初的高度为，该选项正确； B. 由图可得，时高度和时高度相同，都为，该选项正确； C. 由图可得，时风筝达到最高高度为，该选项正确； D. 由图可知，到之间，风筝飞行高度先上升，再下降，该选项错误． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是矩形 B. 有一个角是的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．有一个角是的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意； B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意； C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意； D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意； 故选：A． 7. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理可求得， 再由，即可得点D表示的数． 【详解】∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键． 9. 某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：连接，相交于O， 所以 所以 所以， 所以校门关闭时，伸缩门的宽度为． 因为校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为， 所以， 所以校门部分打开时，伸缩门的宽度为， 所以校门打开了． 故选C． 10. 2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 记和交于点，根据正方形的性质，利用证明，利用证明，设，结合勾股定理推出，根据大正方形边长为，得出，求出，即为四边形的面积． 【详解】解：如图，记和交于点， ∵四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形， ∴，，，， ∴， ，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形边长为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 12. 已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图象过点 ， 解得：， ∴该函数的解析式为； 故答案为： 13. 如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值. 【详解】∵在中，∠ABC=90°, ∴, ∴, ∵, =4, =6, ∴=6-4=2. 故答案为2. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键. 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15. 如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为______． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】把圆柱体沿展开，则的长是圆柱体底面圆周长的一半，在中利用勾股定理即可求出的长，的长就是蚂蚁在圆柱体的侧面爬行的最短路程． 【详解】把圆柱体沿展开，得到矩形，如下图所示， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线． ∵圆柱体的底面圆周长为， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱体的侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理的应用，熟练掌握圆柱体的侧面展开的特征是解本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，记的中点为，连接，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【小问1详解】 解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 ， ∴的平方根为． 19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先得出，再证出四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）矩形空地的周长为 （2）购买地砖需要花费780元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解． 【小问1详解】 解：． 答：矩形空地的周长为； 【小问2详解】 解： ． （元）． 答：购买地砖需要花费780元． 21. 如图，直线的解析式为，直线与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过点B，直线交于点．求： （1）求m的值； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线的解析式并求解即可； （2）由（1）可知，，由图可知，，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线：， 可得，解得， 即m的值为3； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由图可知，， 将点，代入直线：， 可得，解得， ∴直线的解析式为． 22. 1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a米/分的速度竖直上升．两个气球都上升了60分钟，1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：米）与上升时间x（单位：分）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）b＝_____； （2）请求出与x的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为6米？ 【答案】（1）30 （2） （3）上升了8分钟或32分钟后这两个气球相距6米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用． （1）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升”求出b； （2）设2号探测气球的函数关系式为，将点代入即可求解； （3）两个气球所在位置的海拔相差6米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高6米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高6米；分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 ∵1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升． ∴当时， ∴． 故答案为：30 【小问2详解】 设与x的函数关系式为， ∵该函数图象经过点， ∴， 解得， ∴与x的函数关系式为． 【小问3详解】 根据题意得： 1号探测气球所在位置的海拔：， 2号探测气球所在位置的海拔：； 分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高6米，即时 ， 解得； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高6米，即时 ， 解得． 综上所述，上升了 8分钟或32分钟后这两个气球相距6米． 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接，根据（1）的结论可知，根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）如图，连接， 四边形AECF是矩形， ， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，掌握图形的基本性质是解题的关键． 24. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴男子需向右移动的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 25. 如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1） ， （用t表示）； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，当秒时，四边形为菱形，理由见详解 （3）当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）；理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，易得，，，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可获得答案； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得t的值 （3）分，，三种情况，建立方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，且根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动， ∴，，， ∵，， ∴在中，； 【小问2详解】 解：∵，，即， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 此时，解得：秒， 即当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当秒时，是直角三角形（）； 当秒时，是直角三角形（）． 理由如下： 当时，如下图， 则， ∴， ∴，即， 解得秒， ∴当秒时，是直角三角形； 当时，如下图， 由（2）可知四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得秒； 当时，点和点都和点重合，不能构成三角形， ∴此种情况不存在． 综上所述，当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）． 26. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $