精品解析：四川省雅安市名山中学蒙山校区2025-2026学年下学期八年级半期质量监测数学试题

名山中学蒙山校区2025-2026学年下期八年级半期质量监测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，必须用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4. 测试范围：八年级下册第一章——第四章（北师大版2024） 5. 难度系数：0.7 A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 如图， 故选C． 4. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 若，则 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 5. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 6. 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 7. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点及其对应点坐标确定平移规律，再计算点对应点坐标即可得到答案． 【详解】解：点平移后得到对应点， 横坐标变化为，纵坐标变化为， 可得平移规律为：横坐标减，纵坐标减， 点的坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 即． 8. 若是完全平方式，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 9. 下列说法中正确的有（ ） （1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高； （4）等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的分类以及轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形，说法正确； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，说法正确； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高所在的直线，说法错误； （4）等边三角形不是中心对称图形，说法错误． 10. 我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为，除以即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为， 又∵正八边形的8个外角都相等， ∴正八边形的一个外角为. 11. 如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为， 故选：A． 12. 如图，等边△ABC中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及矩形的判定与性质．通过等边三角形性质得出，再利用则当、、三点共线时，的周长最小，结合为矩形即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点，则， ， 是等边三角形，， ，，， ， ， 由勾股定理得， 线段绕点按顺时针方向旋转至， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在到直线的距离为的一条直线上运动，设这条直线与的交点为，则，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则当、、三点共线时，的周长最小，如图： ，， ， 由轴对称的性质得，， 四边形是矩形 ，，即， ， 的周长． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上. 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 14. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 16. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 17. 如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．错误的说法是______________．(填序号) 【答案】④ 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，再结合，可判断①，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，可判断③；再由不一定是等腰三角形，则与的大小无法确定，可判断④． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点P， ∴， ∴，即点P到点B和点C的距离相等，故③正确； ∵不一定是等腰三角形， ∴与的大小无法确定，故④说法错误． 三、解答题：（本大题共5个小题，共49分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 计算 （1）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． （2）因式分解： ① ② 【答案】（1），解集在数轴上表示为： （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示略 【小问2详解】 解：① ② . 19. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； （2）将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形，进而确定的坐标； （2）根据旋转的性质作图即可. 【小问1详解】 解：如图所示，的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示. 20. 阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 21. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据可求出，从而可求出，进而可求出；联立，可求出，从而可求出，最后根据求解即可； （3）根据求时，的取值范围，即求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 对于，令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴； 联立，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时， ∴的取值范围是． 22. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】（1）甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 （2）一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【解析】 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． 【小问2详解】 解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 23. 如图，都是等边三角形，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． B卷（共20分） 四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上. 24. 已知能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为______． 【答案】15和17 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解：∵ ∴这两个整数为15和17． 故答案为：15和17． 25. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，故在轴负半轴上，且，由此求解即可． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，， 第二次旋转后，点在第二象限，， 第三次旋转后，点在轴负半轴，， 第四次旋转后，点在第三象限，， 第五次旋转后，点在第四象限，， 第六次旋转后，点在轴正半轴，， 如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴循环了次，点在轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点规律． 五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 26. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案； （3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名山中学蒙山校区2025-2026学年下期八年级半期质量监测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，必须用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4. 测试范围：八年级下册第一章——第四章（北师大版2024） 5. 难度系数：0.7 A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 若，则 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 5. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 6. 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 7. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   　） A. B. C. D. 8. 若是完全平方式，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. 5 D. 4 9. 下列说法中正确的有（ ） （1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高； （4）等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 10. 我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等边△ABC中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上. 13. 因式分解：__________． 14. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 16. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 17. 如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．错误的说法是______________．(填序号) 三、解答题：（本大题共5个小题，共49分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 计算 （1）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． （2）因式分解： ① ② 19. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； （2）将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 20. 阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 21. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 22. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 23. 如图，都是等边三角形，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． B卷（共20分） 四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上. 24. 已知能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为______． 25. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为__________． 五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 26. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $