精品解析：四川省广元市利州区2024--2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷

2025年春期中学习成果检测 八年级 数学 试题二 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 4. 在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D. 无法计算 5. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. 5 B. C. D. 3 6. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ） A. 68 B. 89 C. 119 D. 130 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 对于代数式，的取值范围是________． 12. 若最简二次根式与可以合并，则a值为 _______． 13. 如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为____________． 14. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为_____． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为______． 三、解答题（共10题，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则__________，__________； （2）已知是的算术平方根，求的值； 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32． （1）求∠BDC的度数； （2）四边形ABCD面积． 22. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 23. 在等腰三角形ABD 中， ABAD. (I)试利用无刻度的直尺和圆规作图，求作：点C ，使得四边形 ABCD 是菱形.(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (II)在菱形 ABCD 中，连结 AC 交 BD 于点O，若 AC8，BD6，求AB边上高h的长. 24. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 25. 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明； （2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想． 26. （1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF． 小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF． 请你写出证明过程． （2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期中学习成果检测 八年级 数学 试题二 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意； B． ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意； C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意； D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键． 根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. 5 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 6. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理．连接，过点作于点,由三角形中位线定理可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点, 点E为的中点，点F为的中点， 是的中位线， ， 当时，即点在位置时，有最小值，此时最小， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 9. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，求得，即，即可得到；根据，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；证明，得到，则， 即可得到． 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到，故③错误； 是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选B． 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ） A. 68 B. 89 C. 119 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案． 【详解】解：大正方形的面积为：， 小正方形面积为：， 由得， ，即， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 对于代数式，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式中未知量的取值范围．根据题意，被开方数为非负数，分母不为0即可． 【详解】解：根据题意得 解得． 故答案为：． 12. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键． 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，故内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， ∵在中，，， ∴， 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合， 内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长， 内部五个小直角三角形的周长为：． 故答案为：24． 14. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为_____． 【答案】32或34 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠DAE＝∠AEB，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝BE，然后再分两种情况计算即可. 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，BC＝BE+EC， ①当BE＝5，EC＝6时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（5+5+6）＝32； ②当BE＝6，EC＝5时，平行四边形ABCD周长为：2（AB+BC）＝2×（6+6+5）＝34． 故答案为32或34． 【点睛】平行四边形的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质是本题的考点，根据其性质求得AB＝BE是解题的关键. 15. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 三、解答题（共10题，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式化简步骤，先对分子分母进行因式分解，在利用分式运算法则化简，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决问题的关键． 19. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，由可得，然后即可根据证明，再根据全等三角形的性质即得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则__________，__________； （2）已知是的算术平方根，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式与完全平方公式： （1）根据题干中给出的方法，进行求解即可； （2）根据题干给定的方法，求出的算术平方根，进而代入代数式进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32． （1）求∠BDC的度数； （2）四边形ABCD的面积． 【答案】（1）90°；（2）24+16 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出∠BDC的度数； （2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和． 【详解】（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形． ∵∠ADC=150°，∴∠BDC=150°﹣60°=90°； （2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，∴其面积为××AB×AD=16． ∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得：BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面积=×6×8=24，故四边形ABCD的面积为24+16． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 22. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明见解析. 【解析】 【详解】【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等； （2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案． 【详解】（1）∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）连接DF， ∵AF∥CD，AF=CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四边形ADCF是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 23. 在等腰三角形ABD 中， ABAD. (I)试利用无刻度的直尺和圆规作图，求作：点C ，使得四边形 ABCD 是菱形.(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (II)在菱形 ABCD 中，连结 AC 交 BD 于点O，若 AC8，BD6，求AB边上的高h的长. 【答案】(I)见解析；(II) 【解析】 【分析】(I)根据菱形的尺规作图的方法作图即可. (II)先由勾股定理可得出AB的长度，然后根据菱形的面积：即可求出h的长度. 【详解】(I)如图，点是所求作的点， ∴四边形是菱形. (II) 如图：连接AC，交BD于点O. ∵四边形是菱形， ∴，， ， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，解得：. 【点睛】本题考查了菱形的尺规作图和菱形的性质，难点在于根据等面积法求出h的值. 24. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）台风中心经过从B点移到D点 （2）A市受到台风影响的时间持续 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； 【小问2详解】 解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 25. 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明； （2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）PB＝PQ.证明见解析；（2）PB＝PQ.证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可； （2）证明思路同（1）． 试题解析：（1）PB=PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ； （2）PB=PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 26. （1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF． 小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF． 请你写出证明过程． （2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）正确，证明见解析；（3）成立，AE＝EF． 【解析】 【分析】（1）如图：取AB的中点H，连接EH，再正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF； （2）如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，方法同（1）可得出结论； （3）延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF． 【详解】证明：（1）如图1，取AB的中点H，连接EH ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°， ∵点H、E分别是边AB、BC的中点， ∴AH＝BH＝BE＝CE， ∴∠BHE＝45°， ∴∠AHE＝135°， ∵CF是正方形外角∠DCG的平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AHE＝∠ECF， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：正确．理由如下： 如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME， ∴BM＝BE， ∴∠BME＝45°，∠AME＝135°， ∵CF是正方形外交∠DCG的平分线， ∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°， 同（1）可证明△AME≌△ECF， ∴AE＝EF； （3）成立．理由如下： 理由如下：如图3，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的定义及全等三角形的判定方法，灵活利用相关性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$