精品解析：湖南长沙市第十一中学2025-2026学年高一下学期五月检测数学试题

2026年上学期高一年级五月检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分钟 范围：必修一第三章至必修二第九章） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解. 【详解】． 故选：A． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将化为，然后由余弦的两角和公式可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 3. 某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为四个等级，其中分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是 A. 80.25 B. 80.45 C. 80.5 D. 80.65 【答案】C 【解析】 【分析】 根据折线图，得到每组的频率，利用每组的中点值计算出平均数. 【详解】由折线图可知， 等级分数在频率为 等级分数在 频率为 等级分数在 频率为 等级分数在 频率为 平均数为. 故选C项. 【点睛】本题可考查通过折线图计算数据的平均数，属于简单题 4. 已知复数，（，为虚数单位），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得. 故选：D. 5. 已知锐角，（）满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果. 【详解】设，其中，，， 当时，， 此时在，有增有减， 又因为，且，所以，所以， 所以. 故选：D. 6. 若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义结合条件求解即得. 【详解】解：易知新的一组数据的平均数为， 所以新数据的方差. 故选：D. 7. 在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 设， 则， ， 所以， 在直角三角形中，. 故选：B 【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关系确定一腰上垂足的位置解三角形即可. 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数z的共轭复数为 C. 复平面内表示复数z的点位于第一象限 D. 复数z是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将复数z化简，然后根据复数的几何意义和共轭复数的概念知识求解即可. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，复平面内表示复数z的点为，在第一象限，故C正确； 对于D，将代入方程中，，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角的对边为若，则的面积可以是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据余弦定理和面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得:， 即或4，故面积或. 故选：AC. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若有2个不同的零点，则 B. 当时，有5个不同的零点 C. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 D. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确． 【详解】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是关于的实系数方程的一个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法1：先对化简得到，.再将代入方程中，建立二元一次方程组，分别求出的值，即可得到结果. 方法2：由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，，都是关于的实系数方程的根,然后利用根与系数的关系求得的值，即可得到的值. 【详解】已知，则，，为实系数方程的一个根. 方法1：将代入方程有，化简得. 所以，解得，，所以. 方法2：因为，都是方程的根，由韦达定理有，， 所以. 故答案为： . 13. 已知向量，，，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的线性坐标运算及向量相等即可列式求解. 【详解】因为向量，，，且， 所以，解得，，所以. 故答案为：3 14. 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为_______； （2）设，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将其化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象即得； （2）利用三角函数新定义化简所求函数式，再设进行换元，分类讨论并运用基本不等式求解即得. 【详解】（1），因，故其最大值为； （2） 设，则，其中且，则 ， 当时，有，但是等号不成立，无最小值； 当时，，但是等号不成立，无最小值； 当时，有，当且仅当时等号成立. 即时，，即的最小值为． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数新定义和求三角函数型函数的最值问题，属于难题. 求解的关键在于化简到时，要联想到与的关系，通过设进行整体换元，将其化成二次函数或者可运用基本不等式，以及双勾函数或单调函数的单调性求解的最值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为，且满足． （1）求; （2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案； （2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得 因为，所以，则， 因为，所以， 又因为，所以; 【小问2详解】 在中，，可得， 又，可得，又，，可得为正三角形， 故面积为. 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 【答案】（1）平均数为72.5，中位数为72.9 （2）14 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得参数，结合平均数公式直接计算即可； （2）算出各个区间的人数，用总抽取人数乘以抽样比即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得． 估计这200名员工所得分数的平均数． [40，70）的频率为， [40，80）的频率为， 所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9． 【小问2详解】 [70，80）的人数：，[80，90）的人数：， [90，100]的人数：， 所以[70，80）这组中抽取的人数为：． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）设的中点为，连接、，即可证明、，即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）根据，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】 连接交于点，连接. 在底面中，因为，且， 由，可得， 因为，即， 所以在中，，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设的中点为，连接、， 因为，，所以为等边三角形， 所以， 又平面，平面，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 即二面角的大小为； 【小问3详解】 因为，，所以， 所以， 在中， ， ， 所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则， 即， 即， 即点到平面的距离为. 18. 2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】（1）选择模型② ，解析式为 ； （2）约6.5分钟。 【解析】 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【小问1详解】 由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③ 为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； 【小问2详解】 ，得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 19. 已知函数，. （1）时，求，的值； （2）若，用定义证明函数在区间上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入计算可得答案； （2）用定义直接证明即可； （3）时，利用在上单调性可得；当时结合在的图象可得答案. 【小问1详解】 时，； ； 【小问2详解】 若，设， 所以， 因为，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 当时，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若不等式在上恒成立，可得，可得； 当时，由可得，当且仅当即时等号成立， 而在单调递减，在单调递增， 在时的图象如下， 当即时，若不等式在上恒成立，则， 解得，与矛盾，故不成立； 当即时，若不等式在上恒成立， 则， 解得，可得时成立； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一年级五月检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分钟 范围：必修一第三章至必修二第九章） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 2. （ ） A. B. C. D. 3. 某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为四个等级，其中分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是 A. 80.25 B. 80.45 C. 80.5 D. 80.65 4. 已知复数，（，为虚数单位），且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知锐角，（）满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数z的共轭复数为 C. 复平面内表示复数z的点位于第一象限 D. 复数z是方程的一个根 10. 在中，角的对边为若，则的面积可以是（ ） A. B. 3 C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若有2个不同的零点，则 B. 当时，有5个不同的零点 C. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 D. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是关于的实系数方程的一个根，则______. 13. 已知向量，，，若，则______. 14. 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为_______； （2）设，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为，且满足． （1）求; （2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 18. 2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 19. 已知函数，. （1）时，求，的值； （2）若，用定义证明函数在区间上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $