湖南邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”2025-2026学年高一下学期3月第一次联考数学试题

2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学答案 题号 2 4 6 8 9 10 答案 D C A D BD ACD 题号 11 答案 ACD 1.D 【分析】根据复数的除法运算得到复数z,再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点 所在的象限。 【详解】因为2=2+_2+-=4-21， i (-i)） 所以在复平面内对应的点为(4，-2)，位于第四象限， 故选：D 2.C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得. 【详解】对于A,若m∥a,n∥a,则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误： 对于B,若m∥a,m⊥n,则n∥a或nca或n与a相交，相交也不一定垂直，故B错误； 对于C,若a∥B,m⊥a,则m⊥B,又n∥B,∴.m⊥n,故C正确： 对于D,若m∥n,nca,则m∥a或mca,故D错误. 故选：C. 3.A 【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果. 【详解】由题意得，向量ā-36在向量ā上的投影向量为位-36)-a.日 lal lal ā，6是夹角为120°的两个单位向量， ∴.d=1,(a-3b)a=a2-3ā.b=1-3×1×1× 1)5 22 :向量a-36在向量ā上的投影向量为a 故选：A 答案第1页，共14页 4.C 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据OO,=R+r得到答案 【详解】x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)+(y-2=1,圆心0(1,2)，半径r=1, (x-1)2+(y+2)2=9,圆心为0(1，-2)，R=3, 00,=V1-1)2+(2+2=4=R+r,故两圆外切. 故选：C. 5.A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解。 【详解】y-2的几何意义为动点M(x,)与定点Q-1,2)所在直线的斜率， x+1 动点Mcy)满足关系式yx-3 x且e[2--13, 可知M(x)在线段B(除点(1)外)上移动，且(-2-》B8.0。 2-(-1) 如图，ko=-1-(-2 =3,koB= 2-01 -1-321 点1-号)与定点Q(-12)所在直线的斜率不存在， 所以子的取值范国起(。引+o)。 x+1 故选：A. Q B O 4 (1,- 6.C 【分析】由题意确定直线l与l2互相垂直，得到点P轨迹，即可求解 【详解】由题意可知，当m=0时，直线与l2互相垂直， 答案第2页，共14页 当m≠0时，-1×m=-1,直线1与1，互相垂直， m 且直线经过定点A(-4,3),直线2经过定点B(2,-5),所以PAPB=0. 设P(x,y),则(-4-x)(2-x)+(3-y)(-5-y)=0,即(x+1)2+(y+1=25, 则点P在以点(-1，-1)为圆心，5为半径的圆（除去A(-4,3)与B(2,-5)、（2,3))上， 所以PM的最大值为V(4+1)2+(11+1)+5=13+5=18, 最小值为V《4+1)+(11+1)2-5=13-5=8. 故PM的取值范围是[8,18]. 故选：C 7.C 【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】设f(x)=c+d =m→cx+d=m(ax+b)→x(am-c）+mb-d=0 ax+b am-c=0 mb-d=0 →ad=bc,所以是必要的： 因为ac≠0，bc=ad,所以b=d x+- I(x)=cx+d 为常数，所以是充分的， ax+b ax+- 故选：C 8.D 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可。 【详解】u=f()=cosx,xe-32 ππ y=g(4)=-4u2+u,分别作出它们的图象如下， 答案第3页，共14页 LA =a2 u=cOSx y-2 = y=a 3 y=-42+u 要使得关于x的方程g(f()=a在32 内有解，必须0<≤1 当a=-3时，u=1,此时方程w=cosx,xe（32 只有一个解，不符合题意： 当-3<a时，分<1，此时方程u=ox,( 有两个不同的解： 2 当as0时， 45“行此时u=6os,c(5到)只有一个解， 1 _π 不符合题意： 当0<a< 时，0<4<出<牙此时方程u=cos,xe(行5)有两个不同的解： ππ 16 1 1 当a=时，w ππ 只有一个解，不符合题意， 16 g,此时方程u=c0sx,x∈ 3'2 综上，-3<a<- 或0<a< 1 2 6 故选：D 9.BD 【分析】先利用几何意义得到直线1与AB平行或经过AB的中点.然后由点斜式和两点式 求直线方程 【详解】由已知直线I与AB平行或经过AB的中点. 当直线1与B平行时，由4(2,3)，8(4，-5)可得：k=3+5=-4, 2-4 再由直线1与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：y-2=-4(x-1), 整理得直线1方程为4x+y-6=0: 由A(2,3),B(4,-5)可知中点坐标为(3，-1)，当直线1经过AB的中点和点P(1,2)时， 由两点式直线方程得：二--2 3-1-1-2 整理得直线1方程为3x+2y-7=0. 故选：BD 答案第4页，共14页 10.ACD 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出⊙和P值，求出函数表达式，再结合正弦函 数的图象和性质对选项进行逐一判断」 【详解】由图象可知，相邻最小值点x=5亚和最大值点x=匹之间的水平距离为半个周期， 12 12 即略世倍1= 由周期公式T=2 =元三0=2， ) 所以f(x)=sin(2x+p),选项A正确： 因为图象经过点 由正弦函数性质可知sn6=-1时，0=3弧+2ka,keZ, 2 所以5亚+0=3亚+2m→p=20+2 kzkeZ, 6 3 因为<，所以p=径=m2x+) 因为印=子子·改B辑误： 因为y=sin0是中心对称函数，对称中心为(kπ，0)，k∈Z, 若函数)图象关于点（经，0对称，则/(}0 代入计算： f〔)m2(m(20, 所以图象关于点（经0对称，故C正确： 2π 将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则g(x)=sinx+ 3 由正弦函数性质可知y=sin0在-+2km≤0≤+2k,keZ上单调递增， 令-+26mSx+20s+2km,keZ,解得-7+2m≤x≤-+2 krkeZ, 32 6 6 区间x位于增区间红，1 7元， [7π 6,6了内，故8（在区间π4内是增函数， 故D正确. 故选：ACD, 11.ACD 【分析】对于A项，得CM=rAA,则点M的轨迹为线段CC,即可求解；对于B项，M 答案第5页，共14页 点在三角形ABD的边上及其内部，进行求解：对于C项，则M在线段AB上运动，所以△ABD 所在平面与平面BCCB,所成夹角即为△ABD所在平面与平面ADD,A,的夹角，进行求解；对 于D项，M的轨迹为以A为球心，半径为，的球与正方体所交成的八分之一球，进行求解。 【详解】 D A M D为 当p=q=1时，则AM=AB+AD+rAA=AC+rAA,得AM-AC=rAA, 得CM=rAA, 则点M的轨迹为线段CC, AM与CD所成角为∠BAM,其最大正切值 BC=5,所以A正确： AB 当p+q+r=1时，因为AM=pAB+qAD+rAA, 所以M,B,D,A四点共面，则M点在三角形ABD的边上及其内部， 所以CM的最小值为23V5 所以B错误； 3 2 当p+r=1,q=0时，得AM=pAB+rAA,则M在线段AB上运动， 所以DM所在的平面为ABD,因为平面ADDA与平面BCCB,平行， 所以△ABD所在平面与平面BCCB,所成夹角即为△ABD所在平面与平面ADDA的夹角. 取AD的中点为O,连接OA,OB, 由于AD=AA,BD=|BA, 则A0⊥AD,B0⊥AD, 得∠AOB为△ABD所在平面与平面ADDA的夹角， 答案第6页，共14页 则tan∠AOB= AB 1 =√2 40V2 2 所以C正确； 当p2+g2+r2≤二时，M的轨迹为以A为球心，半径为二的球与正方体所交成的八分之 一球， 所以M的轨迹的体积为×4红×1 -X 83(2 ,所以D正确 48 故答案为：ACD 12.√2 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离， 再由垂径定理求弦长， 【详解】由圆x2+y2-2y=0,得x2+(y-1)=1, 则圆心坐标为(0,1)，半径为r=1. 圆心到直线x-y=0的距离d=--2 √22 故答案为：√2. 13.4√2π 【分析】根据垂直关系，可得球心位置以及半径，即可根据体积公式，结合基本不等式求解 【详解】取BD,AD的中点分别为M,O,连接OB,OC,OM,MC, 由于AB⊥平面BCD,BDC平面BCD,则AB⊥BD, 又OM/IAB,所以OM⊥平面BCD,MCC平面BCD,故OM⊥MC, 故△ABD,△BCD均为直角三角形，设AB=BD=a,故 O1=0B=0D=}4D=2。G 2 a,OC=OM+MC= 2 Goj即j-0jG可-。 ，故O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，且半径为V2 2 4π 故 3 2 BD“=4W2x,当且仅当BC=CD 2W2π×a2、2√2π×a22√2π×a2 BC·CD·AB BC.CD BC2+CD2 32 2 2 答案第7页，共14页 时等号成立，故体积之比的最小值为42π 故答案为：4√2π D 14. 3-3×2”+6 32 【分析】先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数：再根据古典概型的概率公式即 可求解， 【详解】假设在一次挑战中n名同学只能从“石头“剪刀”这两种手势中选择， 则每个人都有两种选择：在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：2”： 在一次挑战n名同学相同手势种类数共有：2： 此时一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有2”-2. 由题意可得：每个人都有三种选择 所以在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：3”： 在一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有3×(2”-2）， 所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有3”-3×(2”-2）. 根据古典概型概率公式可得：一次挑战中出现平局的概率为3”-3x(2-2)_3”-3×2”+6 3" 3 故答案为： 3”-3×2”+6 30 15.()B=元 3 (2)2√33+6 【分析】(1)利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将(2c-a)cosB=bcosA变形化简， 再结合角的范围即可求出角B: (2)由三角形的面积公式求出aC,再由余弦定理求出a+c,即可求出△ABC的周长. 【详解】(1)因为(2c-a)cosB=bcosA, 答案第8页，共14页 由正弦定理可得(2sinC-sinA)cosB=sin Bcos A 2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B), 因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 所以2 sin Ccos B=sinC. 因为C∈(0，)，sinC>0,所以cosB 21 因为B∈(0，)，所以B= 3 -6分 2)因为SBc=)acsin B=83,所以ac=32 由余弦定理得a2+c2-b2=2 ac.cos B 由b=6,可得(a+c)2=b2+3ac=132, 所以a+c=2√33，所以△ABC的周长为2√33+6. -13分 16.0 6 号 【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解： (2)先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过 面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解 【详解】(1)设A=“甲答对3道题目”，A2=“甲答对2道题目” B=“乙答对3道题目”，B2=“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， 2.2.28 P4)-3×3x号27 2、2、1_4 P(A)=3×二× 3339' na-5g ra)-x对 设A为“甲、乙两人共答对5道题目”， 则A=(AB2)U(A,B),因为AB与AB,互斥，A与B2,4与B分别相互独立， PA=P4B,)+P4,B)=P4)PB,)+P4)PB)=Sx2+4x1-是， 27×8+g×86 .1 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率 6 -6分 (2)C-“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，C与D相互独立， 答案第9页，共14页 PO)=1-PC=1-xx{26 33327 PD=1RD=1-分号 E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CD)U(CD),因为CD与CD互斥， C与D,C与D分别相互独立， P(E)=P(CDU CD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D -26×1+1×7-1山 27827872 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率” -15分 17.(1)见解析 R 9 【分析】(1)取PC的中点为F,连接MF,证明四边形DEMF是平行四边形，则DF//EM, 再利用线面平行的判定即可： (2)以A为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法 向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案 【详解】(1)取PC的中点为F,连接MF,则MF1IBCI/DE,且MF=-BC=DE, ∴.四边形DEMF是平行四边形，.DF/IEM, DFC平面PCD,EM文平面PCD, ∴.直线EM//平面PCD- -6分 (2)因为AD⊥平面PAB,PA,PBC平面PAB,则AD⊥PA,AD⊥PB, 以A为原点，以垂直AB所在直线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系A-)z, 如图所示 7分 D B M 设AD=2,则AP=2,AB=2√2.PA⊥PB,则∠PAB=45· 答案第10页，共14页 P(V2,2,0,D(0,0,2),B0,22,0,E0,0,1),C(0,22,2,M xN232 c=o25小，caa.2,m5-0 设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z),则， [iPC=0,n∫-√2x+V2y+2z=0, 即 i.EC=02√2y+z=0, 不妨令y=-1,得z=2√2，x=3,所以n=(3,-1,2W2) -11分 *X EM.n 设直线EM与平面PCE所成的角为0，则sinO=cos(EM,n 2W2 6 V6×3W29 所以直线EM与平面PCE所成的角的正弦值为V6 -15分 18.(1)(x-2)2+y2=4 (2)20-83<1<20+8√5 (3)证明见解析 【分析】(1)圆Q过A,B,D三个点，求出线段AB、线段AD的垂直平分线方程，联立求出 交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程： (2)设P(x,y),根据PA?+PC2=21,得到(x+1)+y-5)=元-4，即可得到点P在以 M(-1,V5)为圆心，√-4为半径的圆上，依题意该可知圆M与圆2相交，由圆心距与半 径和差的关系得到不等式组，解得即可： (3)设直线1的方程为y=+m,E(x,y),F(x2,y2),x2≠0，联立直线与圆的方程，消元、 列出韦达定理，由斜率公式求出m=2k,即可得解 【详解】(1)由题意可得，圆心Q为线段AB的垂直平分线和线段AD垂直平分线的交点， 53 kB=1-43 直线AB的中点为 2'2 所以线段AB的垂直平分线的方程为y- 即V3x-y-25=0 又线段AD的垂直平分线的方程为y=0, 答案第11页，共14页 √5x-y-23= ,解得 =0所以圆心为Q2,0),半径为128=2， x= 联立方程组 y=0 所以圆0的方程为(x-2)2+y2=4 4分 (2)设P(x,y),因为PA+PC2=21, 所以(x-+y-+(x+32+y=2, 化简得(x+1+y-5=元-4 则点P在以M(-l,V⑤)为圆心，√-4为半径的圆上，依题意该圆M与圆？有两个交点， 即两圆相交 -7分 又1Mg=-1-2y2+V3=23 则小N-4-2<23<√-4+2，解得20-8N5<元<20+8√3 -9分 B (3)设直线I的方程为y=x+m,E(x,片)，F(x2,2),xx2≠0， [y=kx+m (x-2y+y=4得，(+)+2(m-2x+m2=0, 由 所以x+x,=一 2(km-2） m2 1+k263= --11分 1+k2 所以 2km(2-km) 长=业=+m,+m_x5+(x+)+ :=尼+1+2 +m2 XX2 XX2 XX2 m m 1+k2 所以 m=2k. 15分 答案第12页，共14页 x+2=0 x=-2 所以直线1方程为y=k(x+2),令 y=0 ，解得 即直线过定点 （-2,0) -17分 M B 19.(1)证明见解析 ②当k=2时，f(行：当=3时，)m= (3)f(x)m=2* 1 【分析】(1)根据诱导公式将 任+任 分别化简，即可证明： (2)根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解： (3)令t=sinx,则h()=产+I-k),te[0,],利用定义法，结合题意给的公式讨论函数h()的 单调性，求解即可 【详解1任+sm(任+w(任小ws任小m(任eN: 任sm(任es(任keN: 所以（任+x小任小得证 -3分 (2)当k=2时， =sin+cos(sinc)-2sinxcosx=1-sin(2x), 又anea.所以f=11- 当k=3时， f(x)=sinx+cosx=(sin2x+cos2 x)(sinx-sin2 xcos2x+cosx) =sin'x-sin'xcos'x+cos'x=1-3sin'xcosx=1-sin(2x), 又sin(2x)e0,,所以f)=1-3- 44 -8分 (3)根据(2)进行猜想：当keN时，fm2· 答案第13页，共14页 当k=1时，f(x)=1,函数的最小值为1， 当k≥2时，令t=sin2x,则h(t)=t*+(1-t),t∈[0,1]， 显然0=1-)，即函数h0图象关于直线1=】对称 9分 令0≤4< 则6)-6)=+1---(1-5广=（店-）+[-4）-(-)月 =(6-5)+26+…+42+）+[1-4)-(1-5)](1-4)+(1-4)-2(1-5)++(1-5) =6-5-0-4)+252-0-4)20-62)+…+0-51-6,-2+-0-5,) --13分 由0s4<5≤)，得<1-44≤1-4， 所以对任意ieN(i<),都有<0-4，≤1-，)-， 所以<1-)'0-)-， 得-(1-1)+t-212-1-)-21-2)+…+1-1)1-2)-2+-1-2)-<(, 则一>0，即西数0在[D引上单调递减。函数0在[上单调透增-一15分 。1 1 所以h()m=h()= 2,即=2点，keN, 1 当且仅当sin2x=}即x=+”, ∈N时，取到最小值， 2 42 1 所以f)m=2,keN… -17分 答案第14页，共14页2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求) 1.复数2=2+4在复平面内对应的点位于(） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m⊥n,则n⊥a C.若a∥B,m⊥a,n∥B,则m⊥n D.若m∥n,nca,则m∥a 3.己知ā，6是夹角为120°的两个单位向量，则向量ā-3b在向量ā上的投影向量为() A.0 B.-d c.-2a D.4a 4.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的位置关系为(. A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 5.已知实数y满足y且2-小(-1副，则子的取值范围为() x+1 A.（m,B+w) B. C.(-0,-1]U[3,+o) D.[-1,3] 6.已知点M(4,11),直线l:x+my-3m+4=0与直线2：mx-y-2m-5=0交于点P,则PM 的值可以为(). A.7 B.6 C.8 D.19 7.己知ac≠0，则bc=ad是f(x)=c+d 为常数的（) ax+b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若关于x的方程-4cos2x+cosx=a在 ππ 3’2 内有两个不同的解，则() A.-3<a<0 B.-1<a<0或0<a<1 16 C.-3xa<-1或0<a<} D.3<a<-或0<a< 16 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.己知点A(2,3),B(4,-5)到直线1的距离相等，且1过点P1,2),则1的方程可能是() A.x+4y-6=0B.4x+y-6=0 C.2x+3y-7=0D.3x+2y-7=0 10.己知函数f(x)=sin(ox+p)(o>0,p<π)的部分图象如图所示，则() A.f(x)的最小正周期为π C()的图象关于点(-0巾心对称 D.将∫(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的 图象，则g(x)是区间 元，4 上的增函数 11.正方体ABCD-ABCD棱长为1，动点M满足AM=pAB+qAD+rAA,P,g,r∈0,1， 那么下列说法正确的是() A.当p=q=1时，AM与CD所成角的最大正切值是√2 B.p+g+r=1时，CM的最小值为5 2 C.当p+r=1,g=0时，DM所在的平面与平面BCCB,所成夹角的正切值为√2 D.当P+g矿+户≤时，M轨迹的体积为衣 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若直线y=x与圆x2+y2-2y=0交于A,B两点，则AB= I3.三棱锥A-BCD的底面是以BD为斜边的直角三角形，AB⊥平面BCD且AB=BD,设三 棱锥A-BCD的体积为V,则三棱锥A-BCD的外接球体积'，与V之比的最小值是 14.某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”.规则如下：每次挑 战由n名同学同时参与（n≥2)，每人独立选择出“石头剪刀”或“布”中的一种手势.若所 有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局.否则，按照“石 头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负.己知每位同学出每种手势的概率均等， 则一次挑战中出现平局的概率为 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(2c-a)cosB=bcosA. (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积为8√3且b=6,求△ABC的周长. 16.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对 每道腿目的凝率都是子，乙答对每道题日的：事都是；，对抽到的不同题目能有答对是独立 的，且甲、乙两人答题互不影响： (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率 (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题 到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点， AD⊥平面PAB,PA⊥PB,M为PB的中点. (I)求证：直线EMI/平面PCD: (2)若AP=AD，,AB=√2AD,求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. D 3 18.(17分)设A1,V3),B(4,0),DL,-V3),圆Q过A,B,D三个点. (1)求圆Q的方程： (2)设点C(-3,V3),若圆Q上存在两个不同的点P,使得P42+PC2=22成立，求实数2的 取值范围： (3)设斜率为k的直线1与圆Q相交于E,F两点（不与原点O重合），直线OE,OF斜率分 别为k,k2,且kk2=3,证明：直线1恒过定点 19.(17分)设函数f(x)=sin2x+cos2x,k∈N. ()求证： 任*任月 (2)分别求k=2和k=3时函数f(x)的最小值： (3)求函数f(x)的最小值（用k表示） 参考公式：当n∈N且n≥2时，a”-b”=(a-b)(a"+a”-2b+…+ab-2+b-1)