专题01 一元一次方程（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01一元一次方程 题型归纳·内容导航 题型1一元一次方程的定义 题型6利用整体法解一元一次方程 题型2已知一元一次方程的解求参数 题型7已知一元一次方程解的关系求值 题型3等式的性质 题型8一元一次方程整数解问题 题型4解一元一次方程 题型9一元一次方程与新定义问题 题型5含绝对值的一元一次方程 题型10一元一次方程与实际问题 题型通关·靶向提分 题型一一元一次方程的定义（共6小题） 1.(24-25七年级下·吉林长春·期末)下列方程是一元一次方程的是() A.5x+2=0 B.5x-2y=0 C.x2-2=5 D.=5 2.(24-25七年级下·四川宜宾期末)下列方程中，是一元一次方程的是() A.2x-y=1 B.x-2=1 C.5x-2 D.1-3=2 3,（24-25七年级下·四川宜宾·期末)如果关于x的方程(a-5)x4+2025=0是一元一次方程，则a= 4,(24-25七年级下·四川巴中·期末)下列方程是一元一次方程的是() A.x+1=1 B.2x-y=6 C.2x2-1=1 D.0.4x-3=5 5.(24-25七年级下·四川内江·期末)下列方程中，是一元一次方程的是() A.3x+2y=10B.6x-9=7 C.2x2-x=3 D.1=-5 6.(24-25七年级下·海南儋州期末)下列方程是一元一次方程的是() A.2x=1 B.x2+2x+1=0 C.+牛3 2 D.12y 题型二已知一元一次方程的解求参数（共6小题） 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25七年级下·吉林长春.期末)关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，求a的值. 8。(24-25七年级下重庆巴南期末)若子是方程2x3-6的一个解，则k的值为一· 9.(24-25七年级下·四川内江·期中)如果2x+6=a的解与-2x+5=4-3x的解相同，则a的值是· 10。(24-25七年级上·云南曲靖期末)己知关于x的方程x=氵1有负整数解，则所有满足条件的整数@ 的值之和为() A.-5 B.-1 C.-6 D.-12 11.（24-25七年级上四川成都期末)若x=3是方程m(x-2)=-2x的解，则m= 12.(24-25七年级上山东日照·期末)若关于x的一元一次方程x=x+2的解为整数，则整数k的所有可能 值为 题型三等式的性质（共6小题） 13.(25-26七年级上山东临沂·期末)下列变形中，正确的是() A.若3x=6,则x-2 B.若a=b,则a-c=b+c C.若：-总则a=b D.若ac=bc,则a=b 14.(25-26七年级上河南安阳·期末)下列等式变形正确的是() A.若x-2=3,则x=1 B.若2x+1=4x,则x=-2 C.若-4x=2,则x=-2 D.若子=2，则k=-8 15.(25-26七年级上，安微宿州·期末)下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是() A.若m=n,则m+4=n-4 B.若mc=nc,则m=n C.若-m=n,则m+n=0 D.若分=？则2m=3n 16.(25-26七年级上河南信阳·期末)下列利用等式的基本性质变形，错误的是() A.如果-2x=-2y,那么x=y B.如果品品，那么a=b C.如果a=b,那么a-6=b-6 D.如果x2=5x,那么x=5 17.（25-26七年级上·四川成都期末)运用等式性质进行的变形，正确的是() A.如果a=b,那么a-2=b-2 B.如果a=b,那么a2=2b C.如果a=b,那么-总 D,如果a=b,那么a+3=b+5 18.(25-26七年级上，安徽合肥期末)下列等式变形不正确的是() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若ax=br,则a=b B.若a=b,则a+2=b+2 C.若a-2=b-2,则a=b D.若0.01a=0.01b,则a=b 题型四解一元一次方程（共6小题） 19.(25-26七年级上湖南株洲·期末)解下列方程： (1)4x-6--2x-4 22学+号2 20.(25-26七年级上江西赣州期末)解下列方程： (1)2x+5=3x-3: ②2号- 21.(25-26七年级上山东德州期末)解方程： (1)3x-3=x+1: (22号2+1=号 22.(25-26七年级上河南驻马店·期末)解方程： (1)4x-1=2x+5 2片1=2+号 23.(25-26七年级上江苏宿迁·期末)解方程： (号= 22=91+2. 24.(25-26七年级上河南许昌·期末)解方程 (1)4k-3=2x+5 2号=1- 题型五含绝对值的一元一次方程（共6小题） 25.（25-26七年级上江苏南京·期末)lx-1+x+的最小值为3，则a的值为() A.-1 B.2或-4 C.3或-1 D.2 26.(25-26七年级上·湖北孝感期末)点A、B在数轴上分别表示有理数α，b,那么A、B两点之间的距 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 离可以表示为AB=la-bl. (1)x是一个有理数，若x在-3与1之间，则x-1川++3引= (2)若x+a+lx+1川的最小值为3，则a的值为 27.(25-26七年级上山东临沂·期中)定义一种新运算#，对任意两数x,y,当x>y时，=x+；当 x≤y时，x=x-y (1)当x=4,y=7时，求xy的值； (2)当x=2y=-1,2=时，求(Gx)#z的值； (3)当x=2,x=1时，求y的值， 28。(20-21七年级上辽宁期末)若关于x的方程m2-2(n)的解满足-引}-0，则1=（) A.10或号 B.-10或号 C.10或号 D.-10或号 29.（24-25七年级上山东滨州期末)解方程：+3引=2. 解：①当x+3=2时，解得x=-1；②当x+3=-2时，解得x=-5. 所以原方程的解是x=-1或x=-5. (1)解方程：13x-1川-5=0： (2)解方程：|2x+1|=|4-x; (3)探究：当b分别为何值时？方程x-2=b, ①无解；②只有一个解； ③有两个解， 30.(24-25七年级上·福建莆田·期末)若x+2=30,则x的值等于() A.28或-32B.-28或32 C.28或32 D.-28或-32 题型六利用整体法解一元一次方程（共4小题） 31.(25-26七年级上湖北武汉·月考)已知关于x的一元一次方程+3=3x+b的解为=2，则关于y的一 元一次方程042)+3=30+2)+b的解为， 32.(25-26七年级上广东深圳期末)已知关于x的一元一次方程x+2025=4x+a的解为r=2,那么关于y 的一元一次方程，(5-y)+2025=4(5-y)+a的解为y= 33.(2425七年级上浙江绍兴期末)已知关于x的一元一次方程025a-=2025x的解是x=5,关于y的一元 一次方程，0a-2025+4050的解是 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.(25-26七年级上黑龙江佳木斯·期末)【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.如x=6是方程3x=18的解.己知方程3（α-1） =18,若把(a-1)看作一个整体，则a-1=6,已知方程3(3c+2)=18,若把(3c+2)看作一个整体，则3c+2=6. 【尝试运用】 (1)己知方程3(4+5)=18，则4m+5的值为 (2)己知方程08=18，则02的值为 【拓展创新】 (3)已知关于x的一元一次方程026x+3-2x+b的解为=2，求关于y的一元一次方程(0+3)+6078=4052 0+3)+2026b的解. 题型七已知一元一次方程解的关系求值（共6小题） 35.(25-26七年级上·河北张家口·期末)若关于x的方程4x-2m=3x-1的解是关于x的方程x=2x-3m的解的 2倍，则m的值为 36.(25-26七年级上湖南株洲期末)一元一次方程解答题：己知关于x的方程=x?与y-82(2-1)的 解互为相反数，求m的值 37.(22-23七年级上·河南开封·阶段检测)关于x的方程x-2m=-3x+4与2-m=x的解互为相反数，求m的 值. 38,(24-25七年级下·河南洛阳·期末)若关于x的方程4(2x)+x=ac的解为正整数，则满足条件的所有整 数a值的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 39,（24-25七年级下·四川宜宾期末)若关于x的一元一次方程-21-3x=1和方程5x-4=2x-10的解互为倒 数，则m的值为() A. B.月 C. D. 40.(24-25七年级上云南昆明期末)若方程21-3和2+-0的解相同，则a的值是 3 题型八一元一次方程整数解问题（共4小题） 41.(2425七年级上重庆合川期末)己知关于x的方程。-1的解是整数，则符合条件的所有整数 a的和为 42.(21-22七年级下·浙江金华.开学考试)己知k为整数，关于x的方程(k+2)x=3有负整数解，则满足条件 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的k的值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.无数多个 43.(21-22七年级上四川成都·期末)已知关于x的方程-5=3x的解为整数，则正整数k的值为· 44,（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试)已知关于x的方程2-b=3x-6. (1)若4a=b6,求方程的解： (②)若方程有无数个解，求a,b的值； (3)若a为正整数，b=11时，求方程的整数解 题型九一元一次方程与新定义问题（共4小题） 45.(25-26七年级上北京·期末)我们规定一种新运算：p△q=p-qp×q+5,例如：1△2=1-2-1×2+5=2. 请根据上述规定回答下列问题， (1)则3△4 (2)若7△x-2=4,求x的值： (3)已知关于x的方程(2x+a)A3=5△(x-2)的解和关于y的方程2y+a=3y+1的解互为相反数，直接写出a的 值， 46.(25-26七年级上广东惠州期末)如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好 方程.例如，方程2x6和rc+2=0为美好方程.若关于x的方程0.1=0与6+1=3x+k是“美好方 程”，则关于y的方程060+2)+1=3(0+2)+k的解是 47.(25-26七年级下·四川达州·开学考试)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并 列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘微在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如果 两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”， (1)若方程2x=4与关于x的方程x=1互为“归一方程”，求m的值； (②)若关于的方程+a=0与关于的方程号=空互为“归一方程”，求的值. 48.(25-26七年级上河北邯郸月考)解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：2x+；=3的解为r= 子恰巧2+}3-子，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程m+b=c的解满足x=a+b-c,则称 它为“巧合方程”.请解决以下问题。 (1)请判断方程3x+=3是否是“巧合方程”：一（直接写“是”或“不是”)； (2)已知方程+b=1是“巧合方程”，请求出b的值 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型十一元一次方程与实际问题（共8小题） 49.(24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品， 2副春联和3个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸90张，一张红纸能制作2幅春联或制作6个福字，应 该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配x张红纸制作春联，则依题意可列方程为 (）. A.3×2x=6(90-x) B.2x=6(90-x) C.3×6x=(90-x)×2 D.3×2x=2×6(90-x) 50.(25-26七年级上河南开封期末)某天，水果经营户小莉花380元从水果批发市场批发了香蕉和哈密 瓜共50千克，香蕉和哈密瓜当天的批发价和零售价如下表所示： 香蕉 哈密瓜 批发价（元/干克） 5 10 零售价（元/千克） P 14 (1)小莉批发的香蕉和哈密瓜各有多少千克？ (②)当天香蕉和哈密瓜的总质量卖出一半，剩下按零售价打八折出售，最终当天小莉卖完这两种水果共赚 118元，求打折后卖出的香蕉和哈密瓜各有多少千克？（不考虑其他支出） 51.(25-26七年级上·安微合肥期末)项目式学习： “元旦促销活动”的调研分析 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确 背景 定 素材 商场购进甲，乙两种商品后，均加价30%作为销售价 1 素材 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元. 2 素材 两种商品原销售价之和是520元. 3 问题解决 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 任务 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 1 任务 求这两种商品的进价分别是多少元？ 2 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务1和任务2. 52.(25-26七年级上·湖北襄阳·期末)某商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为 50%;B种商品每件进价为50元，售价为80元. (1)A种商品每件进价为元，每件B种商品利润率为； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1600元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品A、B优惠后付款总额为540元，若没有优惠促销，小明在该商场 购买同样商品要付多少元？ 53.(25-26七年级上福建漳州期末)根据以下素材，探索完成任务. “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具.学 生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为40cm和20cm 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方 素 形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为30cm,木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部 材 分是余料)，给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）·只要余料 面积总和是100cm2就能拼制成一个小玩具.除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略 不计 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 素 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 材 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 3 方案3：木板都拼制成小玩具， 素 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 材 无盖收纳盒a元/个，有盖收纳盒1.45a元/个，小玩具b元/个. 问题解决 任 务 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是 cm; 1 任 务 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含a、b的代数式表示） 2 任 不同分配方案最大利润的探 当a=22,b=3时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说 务 索 明理由. 3 54.(25-26七年级上·浙江丽水期末)某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方 案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元.年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元~4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额： (②)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车，以下是小庆利用两人的购买信息与A虹助手进行交流的部分内容： 小庆（对AI助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车，” A1助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元.” 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元· 55.(25-26七年级上·河南漯河·期末)【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的AB,C 三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为30m(水足以淹没所 有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计)，然后在容器中放入钢球.实验发现，每放入1个A型号 钢球，水面上升1mm;每放入1个B型号钢球，水面上升2mm;每放入1个C型号钢球，水面上升3 mm,在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球， 不 60 mm 30 mm (1)【实验一】小明先放入A型号钢球8个，又放入B型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为60 mm,求容器内B型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到 56mm,求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 56.(25-26七年级上·四川成都期末)新华书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，乙类书刊的进价比甲类 书刊的进价的多3元/本，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） 多 m-2 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价； 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)新华书店第一次购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为5750 元，求购进甲、乙两类书刊的数量： (3)新华书店第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比第一次优惠了15%， 新华书店准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚 365元，求甲书刊打了几折. 57.(25-26七年级上河南郑州期末)棠棠和同学们在一家牛肉面馆用餐，如表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 牛肉面+1份青菜+1 配餐 牛肉面 牛肉面+1份青菜 份饮料 价格（元) 8 10 20 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300 优惠活动 元，减30元… 棠棠负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，x份青菜和8份饮 料. (1)他们共点了 份B套餐；（用含x的式子表示）； (2)若他们套餐共买了10份青菜，求实际花费多少元： (3)若他们点套餐优惠后实际花费了226元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的. 58.(25-26七年级上湖北襄阳·期末)保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，己知A款商品每个 的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利50%.提示：利润率×进价=售价-进 价. (1)A款商品每个的利润率是_，B款商品每个的进价是元 (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少 个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 张在该市场购买了多少个A款商品？ 12/12专题01 一元一次方程 题型1 一元一次方程的定义 题型6 利用整体法解一元一次方程 题型2 已知一元一次方程的解求参数 题型7 已知一元一次方程解的关系求值 题型3 等式的性质 题型8 一元一次方程整数解问题 题型4解一元一次方程 题型9 一元一次方程与新定义问题 题型5 含绝对值的一元一次方程 题型10 一元一次方程与实际问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程的定义（共6小题） 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，根据定义判断． 【详解】解：A．，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是整式方程，因此是一元一次方程，符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； C．，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意； D．不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，未知数有2个，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、不是方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的一般形式为只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到且，解之即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且，即且， 解得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川巴中·期末）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 方程中出现，分母含未知数，不符合整式方程的要求，故排除； B. 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，故排除； C. 方程中的最高次数为2，不符合“一次”条件，故排除； D. 方程仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； 故选D． 5．（24-25七年级下·四川内江·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的定义， 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】A．含有两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除． B．仅含未知数x，且x的次数为1，方程两边均为整式，符合定义． C．中x2项的次数为2，超过1次，排除． D．含有分式，不是整式方程，排除． 故选：B． 6．（24-25七年级下·海南儋州·期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一分析选项即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：分母含未知数，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故不符合题意； B、：未知数的最高次数为2，是二次方程，故不符合题意；   C、：去分母后化简为，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，符合题意； D、：含两个未知数和，是二元方程，故不符合题意； 故选：C． 题型二 已知一元一次方程的解求参数（共6小题） 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．利用一元一次方程的解法解出方程，根据同解方程的定义解答． 【详解】解：解方程， 得， 由题意得，， 解得，， 8．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）若是方程的一个解，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解及解一元一次方程．解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程． 【详解】解：把代入得：，解得： ， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是__． 【答案】4 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 10．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）若是方程的解，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，理解方程的解的定义是关键．把代入方程，得到一个关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 即， 故答案为． 12．（24-25七年级上·山东日照·期末）若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为______． 【答案】2，0，3， 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的解的情况求参数，正确理解方程的解为整数由此得到k的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为整数， ∴ 或， ∴，0，3，， 故答案为2，0，3，． 题型三 等式的性质（共6小题） 13．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．等式两边同时乘，得，不是，故A错误； B．若，根据等式性质1，等式两边同时减，得，不是，故B错误； C．中（分数分母不为0），根据等式性质2，等式两边同时乘，得，故C正确； D．当时，恒成立，但与不一定相等，故D错误． 14．（25-26七年级上·河南安阳·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练运用等式的基本性质对等式进行变形是解题关键． 根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，根据等式性质，等式两边同时加2，可得：，故A选项错误； B选项：，移项得，即，根据等式性质，两边同时除以，可得：，故B选项错误； C选项：，根据等式性质，两边同时除以，可得：，故C选项错误； D选项：，根据等式性质，两边同时乘，得，故D选项正确． 故选：D． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，需根据等式的两个性质（等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或式子，等式仍成立）逐一分析选项． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍成立； 等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或式子），等式仍成立． A选项：若，根据等式性质1，两边应加（或减）同一个数，而左边加4，右边减4，不符合性质，∴A错误． B选项：若，当时，与可以不相等，例如，但，∴B错误． C选项：若，根据等式性质1，两边同时加，得，∴，即，∴C正确． D选项：若，根据等式性质2，两边同时乘6，得，并非，∴D错误． 故选：C． 16．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 17．（25-26七年级上·四川成都·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立; 等式性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立． 【详解】解：如果，两边同时减2，可得，故A选项正确； 如果，那么，非（如时，，，），故B选项错误； 如果，那么，故C选项错误； 如果，那么，不成立，故D选项错误； 故选：A． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，等式仍然成立．需根据等式的两个基本性质逐一判断选项的变形是否正确． 【详解】解：A、若，只有当时，得，故该选项符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、若，则，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项不符合题意； 故选：A 题型四 解一元一次方程（共6小题） 19．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 20．（25-26七年级上·江西赣州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数的系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 21．（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 22．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）对于方程，通过移项分离未知数项与常数项，再合并同类项、系数化为1即可求解； （2）对于方程，先通过去分母消除分数形式，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作求解． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握好一元一次方程的解法是关键． （1）先去分母，再去括号，移项并合并同类项后，将系数化为“1”即可； （2）先去分母，再去括号，移项并合并同类项即可． 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 24．（25-26七年级上·河南许昌·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解答步骤是关键． （1）根据“移项，合并同类项，系数化为1”求出未知数的值即可； （2）根据“去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1”求出未知数的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解： 解得：． 题型五 含绝对值的一元一次方程（共6小题） 25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 26．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． （1）x是一个有理数，若x在与1之间，则__________． （2）若的最小值为3，则a的值为__________． 【答案】 4 或4 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值，一元一次方程的应用，整式的加减运算，熟知绝对值的相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值的定义先化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得当x在与之间时，有最小值，最小值为，则可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵x在与1之间， ∴， 故答案为：4； （2）∵表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点和到表示数的点的距离之和， ∴当x在与之间时，有最小值，最小值为， ∵的最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故答案为：或4． 27．（25-26七年级上·山东临沂·期中）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 【答案】(1)3 (2) (3)或或3 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加、减法运算，绝对值，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，结合当时，，代入数据计算即可作答． （2）根据新定义，先计算，再计算即可； （3）要进行分类讨论，即当时，当时，这两种情况，然后进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：∵， 当， 即时，， ∴或， ∴或，   当， 即时，， ∴或， ∴ (舍去) 或，   ∴y的值为或或3． 28．（20-21七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 当时， ∴ 解得：； 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 故选：A． 29．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 30．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 题型六 利用整体法解一元一次方程（共4小题） 31．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键． 比较两个方程的形式，可知第二个方程中的相当于第一个方程中的，根据第一个方程的解，直接得到，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程为满足， 解得． 故答案为：0． 32．（25-26七年级上·广东深圳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】3 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据题意可得一元一次方程中，，即可解答． 【详解】解：设，则关于的方程化为， 这与关于的方程形式相同， 可得，即， 解得． 故答案为：． 33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及换元法，熟练掌握一元一次方程的解及换元法是解题的关键． 通过整体代换，将关于的方程转化为关于的方程，与已知方程比较求解． 【详解】解： ， 令，上式为， ∵方程的解是， 即，解得， 故答案为：． 34．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期末）【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则，已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为___________； （2）已知方程，则的值为__________． 【拓展创新】 （3）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 题型七 已知一元一次方程解的关系求值（共6小题） 35．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 36．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数的定义，一元一次方程的解及一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．先解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以是方程的解，代入计算即可求解． 【详解】解：解方程， ， ， ， 解得， 两个方程的解互为相反数， ∴是方程的解， 代入，得， ， ， ， ， 解得． 37．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 38．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 39．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 40．（24-25七年级上·云南昆明·期末）若方程和的解相同，则a的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入方程中即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 根据题意把代入方程中，， 解得， 故答案为：． 题型八 一元一次方程整数解问题（共4小题） 41．（24-25七年级上·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 42．（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 43．（21-22七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为整数，则正整数的值为__． 【答案】2或4或8 【分析】先整理方程，用含k的代数式表示x，再根据x为整数、k为正整数的条件，确定的取值，进而求出正整数k的值． 【详解】解： 移项得 ， 合并同类项得 ， 当时，方程变为，方程无解，因此， 系数化为得 ， 为整数，为正整数， 是的整数因数，即或， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，不是正整数，舍去． 故正整数k的值为 2或4或8． 44．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 题型九 一元一次方程与新定义问题（共4小题） 45．（25-26七年级上·北京·期末）我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互为相反数，列等式即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； （3）解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 46．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【答案】 【分析】先求解第一个一元一次方程，再根据“美好方程”的定义得到含参数的x方程的解，最后利用整体思想和同解方程的意义求解y即可． 【详解】解：解方程得． ∵关于的方程与是“美好方程”． ∴两个方程的解之和为， ∴方程的解为， 观察关于的方程，可知该方程是将中的替换为． ∴． 解得． 47．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】理解题意，根据新定义得到新的方程是解题的关键． （1）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于m的方程并求解即可； （2）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于a的方程并求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴． 48．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”．请解决以下问题． (1)请判断方程是否是“巧合方程”： （直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是“巧合方程”，请求出b的值． 【答案】(1)是； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； 题型十 一元一次方程与实际问题（共8小题） 49．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分配张红纸制作春联，则剩下张红纸用于制作福字，一共能制作幅春联，个福字，根据题意可得，化简得到所求方程． 【详解】解：根据题意，可列方程． 50．（25-26七年级上·河南开封·期末）某天，水果经营户小莉花380元从水果批发市场批发了香蕉和哈密瓜共50千克，香蕉和哈密瓜当天的批发价和零售价如下表所示： 香蕉 哈密瓜 批发价（元／千克） 5 10 零售价（元／千克） 8 14 (1)小莉批发的香蕉和哈密瓜各有多少千克？ (2)当天香蕉和哈密瓜的总质量卖出一半，剩下按零售价打八折出售，最终当天小莉卖完这两种水果共赚118元，求打折后卖出的香蕉和哈密瓜各有多少千克？（不考虑其他支出） 【答案】(1)小莉批发的香蕉有24千克，批发的哈密瓜有26千克 (2)打折后卖出香蕉10千克，卖出哈密瓜15千克 【分析】（1）设小莉批发的香蕉有千克，则批发的哈密瓜有千克，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可； （2）设打折后卖出香蕉千克，则卖出哈密瓜千克，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设小莉批发的香蕉有千克，则批发的哈密瓜有千克， 根据题意．得， 解得， ． 答：小莉批发的香蕉有24千克，批发的哈密瓜有26千克； （2）解：（千克）， 设打折后卖出香蕉千克，则卖出哈密瓜千克， 根据题意，得， 解得， ． 答：打折后卖出香蕉10千克，卖出哈密瓜15千克． 51．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）项目式学习： “元旦促销活动”的调研分析 背景 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确定． 素材1 商场购进甲，乙两种商品后，均加价作为销售价． 素材2 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元． 素材3 两种商品原销售价之和是520元． 问题解决 任务1 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 任务2 求这两种商品的进价分别是多少元？ 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务1和任务2． 【答案】任务1：甲商品原销售价为130元，乙商品原销售价为390元；任务2：甲商品进价为100元，乙商品进价为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设甲种商品的原销售价是x元，则乙种商品的原销售价是元，根据“某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即甲种商品的原销售价），再将其代入中，即可求出乙种商品的原销售价； 任务2：设甲种商品的进价是m元，乙种商品的进价是n元，利用原销售价进价，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：任务1：设甲种商品的原销售价是x元，则乙种商品的原销售价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种商品的原销售价是130元，乙种商品的原销售价是390元； 任务2：设甲种商品的进价是m元，乙种商品的进价是n元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种商品的进价是100元，乙种商品的进价是300元． 52．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某商场经销的两种商品，种商品每件售价为元，利润率为；种商品每件进价为元，售价为元． (1)种商品每件进价为 元，每件种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进两种商品共件，售完之后恰好总利润为元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品优惠后付款总额为元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1) (2)购进种商品件 (3)小明在该商场购买同样商品要付或元 【分析】（1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过元，但不超过元；②打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得； 每件种商品利润率为； 故答案为：； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 则， 解得， 答：购进种商品件； （3）解：若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付元， 当打折前一次性购物总金额超过元，但不超过元时，，解得； 当打折前一次性购物总金额超过元时，，解得； 答：小明在该商场购买同样商品要付或元． 53．（25-26七年级上·福建漳州·期末）根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：；任务2：元；任务3：应选用方案2，见解析 【分析】任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图1裁割，则用块长方形木板按图2裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】任务1： 解：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务2： 解：设用x块长方形木板按图1裁割，则用块长方形做盖子 ∵如果有配上盖子，则长方形木板刚好全部用完 ∴， 解得 ， ∴    ∴方案2可制成20个有盖的长方体收纳盒， 此时按图1裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量：（个） 按图2裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量： （个） ∴方案2的利润： （元） 任务3： 当，时 方案1利润：                               （元） 方案2利润：（元） 方案3利润：（个） （元） ∵， ∴为使获得的利润最大，应选用方案2． 54．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 【答案】(1)3200元 (2)元 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 【分析】（1）先判断车型类别，再按“一次性降价减免”的顺序计算实付金额； （2）根据A类电动车的促销规则建立实付金额与原价的关系式，再通过代数变形求出原价的表达式； （3）设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元，根据 “实付反少52元”列方程求解． 【详解】（1）解：原价4100元属于B类电动车，先一次性降价400元，再减免500元， （元）， 答：小庆家实付金额为3200元； （2）解：A类电动车原价在3000元～4000元（含3000元，不含4000元），促销规则为：先九折，再减免400元， 设原价为y元，则：， 即， 答：这辆电动车的原价为元； （3）解：设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元， 根据题意得，， 解得 ∴小庆实付（元），小龙实付（元）． 55．（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 【答案】(1)容器内型号钢球的个数为11个． (2)此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意列出一元一次方程，求出解； 对于（2），分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解． 【详解】（1）解：设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得， 答：容器内型号钢球的个数为11个； （2）解：分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得 ， 解得，则， 综上，此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 56．（25-26七年级上·四川成都·期末）新华书店准备购进甲、乙两类中学生书刊．乙类书刊的进价比甲类书刊的进价的多3元/本，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价； (2)新华书店第一次购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求购进甲、乙两类书刊的数量； (3)新华书店第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比第一次优惠了，新华书店准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚365元，求甲书刊打了几折． 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本； (3)甲书刊打了9折． 【分析】（1）根据题干文字和表格中给出的关于乙类书刊进价的两个关系式，建立关于m的等量关系，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了a折，分别表示出800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本； （2）解：设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进本， 由题意得， ， ， 解得， 则乙类书刊购进（本）， 答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本； （3）解：设甲书刊打了a折，则 800本书的进价为（元）， 800本书的售价为（元）， 根据题意，得， 解得， 答：甲书刊打了9折． 57．（25-26七年级上·河南郑州·期末）棠棠和同学们在一家牛肉面馆用餐，如表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面份青菜 牛肉面份青菜份饮料 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元 棠棠负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，x份青菜和8份饮料． (1)他们共点了________份B套餐；（用含x的式子表示）； (2)若他们套餐共买了10份青菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了226元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】(1) (2)216元 (3)份A套餐、份B套餐、份C套餐 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）由B、C套餐含青菜且只有C套餐中含有饮料，进行解答即可； （2）根据给定的青菜份数，计算套餐数量及花费的总金额，再根据优惠活动计算实际花费； （3）根据实际花费反推优惠前的金额，根据点了8份C套餐，份B套餐、点了份A套餐，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：A、B、C套餐一共点了17份，B、C套餐一共点了份，其中C套餐点了8份， 则共点了份B套餐、点了份A套餐， 故答案为：； （2）解：由于共买了10份青菜，即， 则他们共点了份B套餐、点了份A套餐， 因此优惠前花费的金额为：（元）， 实际花费的金额为：（元）， 答：实际花费216元； （3）解：他们点套餐优惠后实际花费了226元， 他们享受优惠为消费满200元，不足300元，即优惠了20元， 优惠前花费的金额为元， 他们共点了份B套餐、点了份A套餐，点了份C套餐， 元， ， 他们共点了份B套餐、点了份A套餐，点了份C套餐， 答：他们共点了份A套餐、份B套餐、份C套餐． 58．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． $