专题02 一次方程组（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合一次方程组的定义、解法与实际应用，突出整体思想等解题技巧，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|6题|定义辨析、解的意义|从二元一次方程定义到解的应用，构建概念基础| |解法体系|12题|代入/加减消元、整体思想、轮换对称法|基本解法到特殊技巧，提升运算能力与推理意识| |应用拓展|18题|行程/工程等问题建模|实际问题抽象为方程模型，发展应用意识| |拓展延伸|3题|三元一次方程组转化|二元到三元的认知迁移，完善知识结构|

专题02 一次方程组 题型1 二元一次方程的定义 题型9 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型2 二元一次方程的解 题型10 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型3 代入消元法 题型11 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型4加减消元法 题型12 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型13 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型14 三元一次方程组的定义及解 题型7 构造二元一次方程组求解 题型8 方案问题（二元一次方程组的应用） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的定义（共3小题） 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二 二元一次方程的解（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）把方程改写成用含x的代数式表示y：__________． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型三 代入消元法（共3小题） 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）解方程组：． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1) (2) 9．（24-25七年级下·陕西安康·期末）解方程组： 题型四 加减消元法（共3小题） 10．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 12．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 14．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 17．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段检测）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则______． 21．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 题型八 方案问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 22．（25-26七年级上·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 23．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 题型九 行程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 25．（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 26．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 题型十 工程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 28．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 29．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 30．（24-25七年级下·陕西安康·期末）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 题型十一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 31．（25-26七年级上·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 32．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 33．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 题型十二 和差倍分问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 34．（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 35．（24-25七年级下·新疆喀什·期末）有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？ 36．（24-25七年级下·全国·期末）某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 题型十三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 37．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 39．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 题型十四 三元一次方程组的定义及解（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 41．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 42．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次方程组 题型1 二元一次方程的定义 题型9 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型2 二元一次方程的解 题型10 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型3 代入消元法 题型11 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型4加减消元法 题型12 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型13 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型14 三元一次方程组的定义及解 题型7 构造二元一次方程组求解 题型8 方案问题（二元一次方程组的应用） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的定义（共3小题） 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一分析选项进行判断． 【详解】解：A、只含一个未知数，不是二元一次方程； B、只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程； C、含有两个未知数、，含未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； D、中的次数为2，不是二元一次方程． 故选：C． 2．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 3．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 题型二 二元一次方程的解（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）把方程改写成用含x的代数式表示y：__________． 【答案】 【分析】将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】解：， 解得：． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】设可以分成个人组，个人组，根据总人数为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出分组方案有种． 【详解】解：设可以分成个人组，个人组，根据题意得： ， ， 又，均为非负整数， 或或或， 分组方案有种． 题型三 代入消元法（共3小题） 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是代入消元法的应用．观察方程组中未知数的系数，发现第二个方程中的系数为，便于用含的式子表示，再将其代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后回代求出的值． 【详解】解： 由②得：③； 将③代入①得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 两边同时除以得：； 将代入③得：； 故方程组的解为． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法解答即可； （2）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求出未知数的值即可． 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③， 得， 方程组的解为 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 系数化为1，得 ． 9．（24-25七年级下·陕西安康·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键：利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由①得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得； ∴方程组的解为． 题型四 加减消元法（共3小题） 10．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 12．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得 系数化为得； （2）解：原方程组整理得， 得，解得， 将代入得，解得， 故原方程组的解为 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 17．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段检测）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 【答案】4，5，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题． 把代入，求出，再根据乙把c看错，误认为，得到，求出，联立方程组，求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵乙把c看错，误认为，解得 ， ， 联立方程组 解方程组得 、、、的值是：4，5，，． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 20．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则______． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 21．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 题型八 方案问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 22．（25-26七年级上·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元； (2)共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； (3)方案1获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、方程的正整数解问题以及利润的计算与最值比较，关键是根据实际购进的资金等量关系建立方程(组)，结合车辆数为正整数的实际意义确定取值，再通过计算比较得出利润最值． （1）先设、两种型号汽车的进价分别为万元、万元，根据题干中两种购进方式的资金总额，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的每辆进价； （2）设购进型辆、型辆，且、均为正整数，根据总购进资金万元列出不定方程，整理化简后结合正整数的限制条件，分析得出未知数的取值需满足的倍数和不等关系，逐一验证求出所有符合条件的、值，进而确定所有购买方案； （3）根据每辆、型汽车的利润，分别计算出（2）中各方案的总利润，通过比较各方案的利润数值，得出获利最大的方案以及对应的最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意列方程组：，解得， 答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元． （2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)， 根据题意得，整理得， ∵、为正整数， ∴需为3的正倍数，且，即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； （3）解：方案1的利润：(万元)； 方案2的利润：(万元)； 方案3的利润：(万元)； ∵， ∴方案1获利最大，最大利润是万元； 答：方案1获利最大，最大利润是万元． 23．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 题型九 行程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 25．（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 26．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废， 根据题意得：， 解得：， ∴（）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 【答案】(1)， (2)应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎行驶每千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废， ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮行驶每千米的磨损量为，后轮行驶每千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米． 题型十 工程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 28．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 29．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 30．（24-25七年级下·陕西安康·期末）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 题型十一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 31．（25-26七年级上·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 32．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题．设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则，再利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则 ， 整理得：， ∵都是正整数且都小于或等于9， ∴，，，， ∴符合条件的两位数有4个． 故答案为：4． 33．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 题型十二 和差倍分问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 34．（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【答案】(1)实际采购白猪500头，黑猪400头 (2)5 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）通过设原计划白猪和黑猪数量，根据增长百分比和总数量列方程组求解； （2）根据实际运输到位的猪数量及加工费列方程求解a的值． 【详解】（1）解：设原计划采购白猪x头，黑猪y头， 由题意得：， 解得， （头）， （头）， 答：实际采购白猪500头，黑猪400头． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：a的值为5． 35．（24-25七年级下·新疆喀什·期末）有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？ 【答案】1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，即可求出结论． 【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨． 36．（24-25七年级下·全国·期末）某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 【答案】(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用， 对于（1），先设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，再根据重量相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据题意得，再整理得，然后讨论取值即可得出答案． 【详解】（1）解：设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，依题意，得 ， 解得： 答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或． 答：共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 题型十三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 37．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．此类题目是数形结合的题例，需仔细观察图形，利用方程组解决问题． 根据长方形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长宽，小长方形的长小长方形的宽小长方形的长．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每个小长方形地砖的长为，宽为， 由题意可得， 解之得， ∴每个小长方形地砖的面积是． 故选B． 38．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 39．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 题型十四 三元一次方程组的定义及解（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 41．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 42．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $