四川省成都高新区金苹果创知路培训学校2025～2026学年高一下学期5月月考数学试题

**基本信息** 以复数、三角函数、向量等核心知识为载体，创新融入托里拆利点情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与几何直观等素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、三角函数图像性质、向量关系|单选第5题结合图像辨析单调性与对称性，多选第11题探究连续自然数三边三角形的角关系，体现逻辑推理| |填空题|3题15分|三角恒等变换、解三角形测量|第13题以山高测量为情境，考查正弦定理应用，培养数学语言表达现实问题的能力| |解答题|5题77分|解三角形、向量与三角综合、托里拆利点|第19题引入托里拆利点新情境，探究距离和最小值，融合几何直观与创新意识，契合高考命题趋势|

2025～2026学年高一下期5月月考 数学参考答案 1-8 BCADDDCA 9.BD 10.ABD 11. AC 11.【详解】不妨设中，角所对的三边分别为，， 由于的三边不相等，故， 对于A选项，存在，使得它的一个角为，则， 此时，整理得，解得或（舍）， 所以，当的边长为时，它的一个角为，故A选项正确； 对于B选项，因为内角和为，所以，， 所以，当时，，不满足内角和定理； 当时，，亦不满足内角和定理， 所以，若存在，使得它的一个角为，则， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在，使得它的一个角为，B选项错误； 对于C选项，若存在，使得最大角是最小角的两倍，则， 所以由正弦定理得，整理得， 因为，所以，将 代入得，整理并解方程得. 所以，当的边长分别为时，最大角是最小角的两倍，故C选项正确. 对于D选项，与C类似，请自行分析，解的，不成立. 12． 13．960 14. 13. 【详解】在中，因为，所以， 在中，因为，，可得，因为， 所以，在直角中，可得. 14. 由题意：，，得：， 所以或，，又，所以，，， . 15. 【答案】 (1) (2) 【详解】(1)解：，，，若此三角形有两解，则，且， ．，的取值范围是． ------6分 (2)因为，且，所以， 由，得，又，所以， 因为，所以， 所以． ------13分 16. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以, =，解得. ------5分 （2）已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得， 故，代入得. ------15分 17．【答案】 (1) (2) (3) 【详解】（1）设，，即， 由，得，则，又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，，所以. ------5分 （2） ------10分 （3）由（1）知， . ------15分 18.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是，，理由见解析 【详解】（1）由题意可知，，，则，所以，又因为在上单调递增，所以.（必须说明）----5分 （2）在锐角中，由， 得. 因为，可得，得，又，所以； ---7分 由余弦定理有，即：，当且仅当时取等，此时，所以. ------10分 （3）由（2）知. 记，，，由条件得， 因为，所以， 所以，所以，，必为整数. 由，得，所以，又，所以，， 又，所以，， 化简得，即：， 所以，得， 又因为，，均为整数，所以或， 因为，且，，所以， 所以，即，，，所以. ------17分 19.【答案】(1)① ② (2) 【详解】（1）①在 中，由正弦定理得， ，有， ，， ，，又，； ------4分 ②由①知，则 的三个角都小于，由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以. ------9分 （2）由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， -----10分 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. ------17分 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高一下期5月月考 数 学 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后， 再选涂其他答案标号。 3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．为了得到新函数的图象，只需把原函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 4．若非零向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．函数（）的部分图象如图所示， 则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 6．在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则（     ） A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．，最大值为 10．下列说法中正确的是（     ） A．已知向量与单位向量同向，且，，则 B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 C．在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称， 则的最大值为4 D．若，，则点P的轨迹经过的外心 11．已知的三边为连续的自然数，则（    ） A．存在，使得它的一个角为 B．存在，使得它的一个角为 C．存在，使得最大角是最小角的两倍 D．存在，使得最大角是最小角的三倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则__________. 13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及．从点C测得，已知山高，则山高MN=__________m． (其中) 14．已知，且，，是在内的三个不同零点， 则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．回答下列问题： (1)在中，角的对边分别为，已知，，若这个三角形有两个解，求的取值范围； (2)已知，，，求 16．已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，角的对边分别为. 若，求的取值范围. 17．已知若复数在复平面内对应的点在第二象限，且满足，且. (1)求； (2)已知是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)求的值. 18．记锐角的内角，，的对边分别为，，. (1)若，证明：； (2)当，时，求面积的最大值； (3)当角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数， 若，试探讨是否为定值?请说明理由. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”. 试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. (1)若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； (2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $