精品解析：2026年河南省周口市扶沟县二模数学试题

2025—2026学年度九年级二模试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系. 下列叙述正确的是 A. 运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L C. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 D. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母的单项式：________． 12. 计算：=_____． 13. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如：方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是________． 14. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，，求的周长． 19. 如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求，的值及一次函数的解析式． （2）描出点和点，并作出反比例函数的图象． （3）将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 21. 牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 22. 如图，抛物线的顶点在正方形网格的格点上． （1）求和的值； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出直线，设该直线与抛物线相交于点和点（点在点左侧），请描出点和点，并直接写出当时的取值范围； （3）将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，若新图象与（2）中的线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． （1）【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． （2）【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级二模试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2. 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是关键； 根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可. 【详解】解：大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形的主视图是： 故选：B. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 4. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 6. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是的中位线， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键． 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系. 下列叙述正确的是 A. 运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L C. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 D. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的特征逐项判断即可． 【详解】A、由图象可知，当时，虚线高于实线，即采用静坐方式休息时的血乳酸浓度大于采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度，此项错误 B、由图象可知，血乳酸浓度最高出现在实线上，大约为，此项错误 C、由题意知，当血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳；观察图象可知，实线早于虚线使血乳酸浓度降到以下，即慢跑活动方式能更快达到消除疲劳的效果，此项正确 D、由实线可知，当时，血乳酸浓度等于，即采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑后才能基本消除疲劳，此项错误 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象的特征，掌握理解函数图象的定义与特征是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． 12. 计算：=_____． 【答案】． 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如：方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程变形后，根据x、y均为正整数的条件，列举出所有符合要求的解，即可统计得到正整数解的个数． 【详解】解： 、都是正整数 ∴， 所以方程的正整数解共个． 14. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，可知△AEG是等边三角形，有， ，，有，，利用扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴△AEG是等边三角形 ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积．解题的关键在于表示出阴影部分的面积． 15. 如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ， 分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， 分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握，（，为正整数），平方差公式，完全平方公式的应用，进行解答，即可． （1）先计算绝对值，，（为正整数），实数的运算，即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式，进行化简，即可． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解： 原式 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 【答案】（1）85；20 （2）甲公司服务的满意度更高． （3）600 【解析】 【分析】（1）根据众数确定的取值，根据扇形统计图的百分比确定的取值； （2）根据方差判断满意度； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，乙公司数据出现次数最多的数据为， 则， ∵， ∴， 【小问2详解】 甲公司服务的满意度更高，理由如下： 甲乙公司服务满意度评分的平均数相同， 甲公司服务满意度评分的方差为，小于乙公司服务满意度评分的方差， 所以甲公司服务的评分数据的波动比乙公司服务的评分数据的波动小， 而且中位数和众数，甲公司服务的评分数据比乙公司都要好， 所以甲公司服务的满意度更高． 【小问3详解】 解：乙公司评分数据中，A等级的占比为：， ∴此次调查中服务满意度为A等级的人数为：（人）． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，，求的周长． 【答案】（1）解解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求； （2）先由勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质列出比例式求出，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求； 由可得； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的周长． 19. 如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求，的值及一次函数的解析式． （2）描出点和点，并作出反比例函数的图象． （3）将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 【答案】（1），一次函数解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点分别代入反比例函数中即可求解，再利用待定系数法将点和点代入即可； （2）由（1）知点和点的坐标，在图像中描出来，再根据这两点画反比例函数图象； （3）利用一次函数图象平移的性质将新一次函数设出来，再将该图像上的点代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵格点，在反比例函数的图象上， ∴将，分别代入中， 得，解得， ∴，， ∵点和点在一次函数图象上， ∴将分别代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：一次数向下平移个单位长度， 则新一次函数解析式为， 该一次函数经过点， 将点代入中， 得，解得． 20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 21. 牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】（1）全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 （2）本次采购的最少花费为6700元 【解析】 【分析】（1）设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元，根据用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒列出分式方程求解即可. （2）设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．先根据且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，根据一次函数的图象和性质即可求出本次采购的最少花费． 【小问1详解】 解：设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：每盒花瓣茶的价格为50元，则每盒全花茶的价格为100元． 【小问2详解】 解：设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒． 根据题意∶， 解得， 因为m为正整数，所以m的最小值为34， 总花费， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：本次采购的最少花费为6700元． 22. 如图，抛物线的顶点在正方形网格的格点上． （1）求和的值； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出直线，设该直线与抛物线相交于点和点（点在点左侧），请描出点和点，并直接写出当时的取值范围； （3）将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，若新图象与（2）中的线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，求得抛物线的解析式，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解； （3）根据题意可得新的抛物线图象的顶点坐标为，则新的抛物线的解析式为，根据题意画出图形，结合图形分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点， ∴抛物线解析式为， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵ 解得：， ∴当时的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵顶点，直线， ∴新的抛物线图象的顶点坐标为， ∴新的抛物线的解析式为， 新图象与（2）中的线段只有一个交点， ①新抛物线与直线相切时， 联立， 消去得，， 即， ∴， 解得：； ②当新抛物线经过点时，， 解得：； ③当新抛物线经过点时，，， 解得：， 综上所述，或． 23. 【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． （1）【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． （2）【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①．理由见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由，证明，得到，根据垂直平分线的定义得到，即可证得； （2）①由，，得到等边，从而，因此在中，，证明是等边三角形，得到． ②由等腰三角形的“三线合一”得到，由旋转有，，因此，同理有，，从而在中，，在中，，即可解答； （3）分两种情况讨论：①点P在线段的上方，四边形是平行四边形；②点P在线段的下方，四边形是平行四边形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， 又由旋转有， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由旋转有，， ∴是等边三角形， ∴． ②∵，，是的垂直平分线， ∴， ∵由旋转有，， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在线段的上方，四边形是平行四边形， 则，， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． ②如图，若点P在线段的下方，四边形是平行四边形， 则， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 同（1）可证， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $