2026年中考压轴题几何模型 专题37 逆等线与加权逆等线

该初中数学中考复习讲义聚焦“逆等线与加权逆等线”专题，针对中考几何动点最值、线段转化核心考点，覆盖选择填空压轴题型。通过“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”四环节，梳理全等/相似构造方法，指导将军饮马转化策略，帮助学生系统突破线段和差最值难点。 亮点在于“构造转化”教学策略，如逆等线通过SAS构造全等实现线段转移，加权逆等线利用相似转化加权线段，培养学生几何直观与推理能力。分层设计例题与练习，配合真题训练，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题37 逆等线与加权逆等线 逆等线与加权逆等线模型，由全等及相似三角形性质迭代生成，是几何动点最值与线段转化的经典模型，可直观实现线段等量替换、加权线段转化，破解几何线段和差最值难点。中考常以动点探究、几何压轴、线段求值、综合拓展题型出现，题目兼具巧思与思维深度，构造巧妙、规律鲜明，是几何数形结合与构造转化思想的典型代表。近年来中考考试频率增加，常作为选择或填空压轴题出现。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析逆等线与加权逆等线模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 一、逆等线 【定义】 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称为逆等线段. 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 如上图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 解题策略：① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等. ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC.（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD. ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值. ⑤ 求BF 【方法总结】 核心思路是通过“SAS”这种全等的方式，构造全等三角形，将两条相等的逆等线段“重合合并”，让两个动点“重合”，从而使得“两个动点”转化成“一个动点”，再用将军饮马模型求解。具体可以下面四个步骤： 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.(图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变. 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角. 4.问题转化为将军饮马问题求最值. 2、 加权逆等线 【模型解读】 普通逆等线是求QB+PA的最值，当某一个线段前带系数，且系数不为1的时候，就成了加权逆等线问题。 在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，即转化成普通逆等线问题，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可。 需要注意的是：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段。 【解题方法】 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案。 解决逆等线的问题，核心能力是通过构造全等三角形或相似三角形将线段进行转化，从而转化成将军饮马问题，两点之间线段最短求解。 典例分析 题型01 构造SAS型全等拼接线段 【例1】 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接AE，利用转化线段BF得到,则通过作点A关于BC的对称点H，连接DH交BC于点E，利用勾股定理求出DH的长即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，，又， ≌． ．    所以最小值等于最小值． 作点关于的对称点点，如图， 连接，则A、B、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点． 根据对称性可知， 所以．    在中，， 最小值为． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 【例2】 如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 【答案】 【分析】过点A作，且，连接，如图所示，证明，得到，则，当为最小时，即为最小，则当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M，证明 ，得到，，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A作，且，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴CD+BE的最小值为； 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可． 题型02 平移，对称或构造平行四边形 【例3】 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DPBQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PBDQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线，   ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 【例4】 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 【答案】10 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝＝＝10， ∴AF+CE的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键． 题型03 加权逆等线 【例5】 如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【例6】 如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在直线DB的上方作，且使得．过点T作交AD的延长线于H．首先利用相似三角形的性质证明，解直角三角形求出AT，根据，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，在直线DB的上方作，且使得． 过点T作交AD的延长线于H，连接ET、AT． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角 三角形和相似三角形是解题的关键． 课堂随练 【练1】如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键． 过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为5，得到．根据，得到．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为． 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 即． ∴的最小值为． 故答案为：． 【练2】如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线，边上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用， 如图，过作，使，连接，证明，可得，，可得的最小值为，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过作，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 【练3】如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，当N、E、C三点共线时，，分别求出CN、AN的长度即可． 【详解】 过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE， 四边形ANEF是平行四边形， ， 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形ABCD是矩形，， ， ， 四边形EFMD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 【练4】如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 1.如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值是 ．巩固提高 【答案】 【分析】设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，可证，从而，那么，A、H都是固定点，过点H作于点M，结合相似三角形和勾股定理即可求得， 【详解】如图，设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，过点H作于点M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据把的最小值转化为是关键． 2.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？ 解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF 过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G ∵=2 ， ∴△FCE∽△CBD，EF=2CD ∴AE+2CD=AE+EF 当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3 FG=9 在Rt△FAG中，由勾股定理得 AF= AE+2CD的最小值为 3.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值. 解：作BF⊥BC 并且使得BF=2，连接EF ∵=== ∴△BEF∽△ADC ∴EF= CD ∴AE+CD=AE+EF 当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H 在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF= ∴AE+CD的最小值为 4.如图, 在Rt△ABC中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上的动点, 且, 求CE+AF的最小值. 解：过点A作AD⊥AB，并且使得AD=12，连接DE，CD 过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥AD延长线与点G ∵==2 ,∠DAE=∠ACF ∴△DAE∽△ACF ，DE=2AF, CE+2AF=CE+DE 当C、E、D三点共线时，取到最小值，此时CE+2AF=CE+DE=CD 由等面积法可得：CH= 四边形AGCH为矩形， AG=CH= ，DG=AD+AG= 在Rt△CAH中 由勾股定理得：AH= CG=AH= 在Rt△DCG中， 由勾股定理得：CD= CE+AF=（CE+2AF）；CE+AF的最小值为 5.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值. 解：如图，延长BA至点,使得A=1;作点D 关于BC的对称点连接E，E 易知B=2 DE=E E=2AF DE=E DE+2AF=E+E 当、E、 三点一线时，E+E取到最小值. 此时E+E= DE+2AF最小值为 6.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？ 解: 连接 D F, 延长D C至点 , 使 , 连接A G, 易证的最小值是 . 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 　 　． 解：如图，连接MN、AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°， ∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°， ∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS）， ∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM， ∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°， ∴△CMN为等边三角形， ∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S△CFN＝S△CMN， ∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小， ∵S△CMN＝， ∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小， 取BE的中点为点G，连接MG， ∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点， ∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE， ∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度， ∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案为：3． 8．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出． 【详解】作，取，连接，，如图所示， 在菱形中， ， ， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在菱形中，， ，是等腰三角形， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题37 逆等线与加权逆等线 逆等线与加权逆等线模型，由全等及相似三角形性质迭代生成，是几何动点最值与线段转化的经典模型，可直观实现线段等量替换、加权线段转化，破解几何线段和差最值难点。中考常以动点探究、几何压轴、线段求值、综合拓展题型出现，题目兼具巧思与思维深度，构造巧妙、规律鲜明，是几何数形结合与构造转化思想的典型代表。近年来中考考试频率增加，常作为选择或填空压轴题出现。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析逆等线与加权逆等线模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 一、逆等线 【定义】 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称为逆等线段. 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 如上图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 解题策略：① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等. ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC.（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD. ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值. ⑤ 求BF 【方法总结】 核心思路是通过“SAS”这种全等的方式，构造全等三角形，将两条相等的逆等线段“重合合并”，让两个动点“重合”，从而使得“两个动点”转化成“一个动点”，再用将军饮马模型求解。具体可以下面四个步骤： 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.(图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变. 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角. 4.问题转化为将军饮马问题求最值. 2、 加权逆等线 【模型解读】 普通逆等线是求QB+PA的最值，当某一个线段前带系数，且系数不为1的时候，就成了加权逆等线问题。 在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，即转化成普通逆等线问题，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可。 需要注意的是：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段。 【解题方法】 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案。 解决逆等线的问题，核心能力是通过构造全等三角形或相似三角形将线段进行转化，从而转化成将军饮马问题，两点之间线段最短求解。 典例分析 题型01 构造SAS型全等拼接线段 【例1】 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ．    【例2】 如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 题型02 平移，对称或构造平行四边形 【例3】 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【例4】 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 题型03 加权逆等线 【例5】 如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ． 【例6】 如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ． 课堂随练 【练1】如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【练2】如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线，边上的动点，且，则的最小值为 ．    【练3】如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【练4】如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为 ． 1.如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值是 ．巩固提高 2.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？ 3.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值. 4.如图, 在Rt△ABC中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上的动点, 且, 求CE+AF的最小值. 5.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值. 6.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？ 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 　 　． 8．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $