专题7 二次函数与特殊图形问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数与几何图形综合这一核心考点，紧密对接中考说明，分析压轴题中等腰直角三角形、平行四边形等存在性问题的考查权重，归纳三垂直构造、分类讨论等常考题型及解题策略。 课件亮点在于分层进阶训练与中考真题应用，如通过2024达州改编题示范等腰三角形存在性的分类讨论，培养学生推理意识与几何直观。提供“方法图解+例题解析”模式，帮助学生掌握压轴题答题技巧，助力教师高效开展中考冲刺复习。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 二、二次函数压轴题突破练 专题七　二次函数与特殊图形问题 一阶　方法突破 二阶　综合应用 1. 二次函数与等腰直角三角形 三垂直(“K”型)构造等腰直角三角形 如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE. 返回目录 方法图解 返回目录 例 1　二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两 点，交y轴于点C，连接BC，AC.动点M从点A出发，以每秒2个单位 长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交二 次函数图象于点D.设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的表达式； 解：将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2中， 得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋ x＋2. 返回目录 (2)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三 角形时，求此时点D的坐标. 解：令x＝0，则y＝2，即C(0，2).①当t＜1时，即直线MN在y轴左侧， 当点P在第二、三象限时，△PBC不可能是等腰直角三角形； ②当t≥1时，直线MN在y轴右侧，如图，过点P作x轴的平行线交y轴 于点E，过点B作y轴的平行线交EP的延长线于点F，连接PC、PB， 则四边形OEFB、四边形OEPM、四边形MPFB都是矩形， 返回目录 解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2中， 得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. (2)令x＝0，则y＝2，即C(0，2).①当t＜1时，即直线MN在y轴左侧， 当点P在第二、三象限时，△PBC不可能是等腰直角三角形； ②当t≥1时，直线MN在y轴右侧，如图，过点P作x轴的平行线交y轴 于点E，过点B作y轴的平行线交EP的延长线于点F，连接PC、PB， 则四边形OEFB、四边形OEPM、四边形MPFB都是矩形， ∴PF＝BM，EF＝OB，OM＝PE，∵△PBC是以∠BPC为直角的等 ∴PF＝BM，EF＝OB，OM＝PE，∵△PBC是以∠BPC为直角的等 腰直角三角形，∴∠BPC＝90°，PB＝PC， ∴PB＝ BC＝ × ＝ ×2 ＝ ， ∠BPF＋∠CPE＝90°， ∵∠BPF＋∠PBF＝90°， ∴∠CPE＝∠PBF， 又∵PB＝PC，∠PFB＝∠CEP＝90°， ∴△PFB≌△CEP(AAS)， ∴PE＝OM＝2t－1＝BF，EC＝PF＝BM＝5－2t， ∵PF2＋BF2＝PB2，∴(5－2t)2＋(2t－1)2＝ ， 返回目录 ∵∠BPF＋∠PBF＝90°，∴∠CPE＝∠PBF，又∵PB＝PC， ∠PFB＝∠CEP＝90°， ∴△PFB≌△CEP(AAS)，∴PE＝OM＝2t－1＝BF，EC＝PF＝BM ＝5－2t， ∵PF2＋BF2＝PB2，∴(5－2t)2＋(2t－1)2＝ ，解得t1＝1，t2＝ 2∴点D(1，3)或(3，2). 当x＝1时，y＝－ x2＋ x＋2＝3； 当t＝2时，OM＝4－1＝3，当x＝3时， y＝－ x2＋ x＋2＝2， ∴点D(1，3)或(3，2). 解得t1＝1，t2＝2，当t＝1时，OM＝2－1＝1， 返回目录 2. 二次函数与平行四边形 分 类 三定一动 两定两动 图 示 条 件 已知A，B，C三点坐标， 在坐标系内确定一点D使得 以A、B、C、D四个点为 顶点的四边形是平行四边形 已知A，B两点坐标，点C在x轴上， 点D在y轴上，且以A、B、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，求点 C、D的坐标 返回目录 分类 三定一动 两定两动 图解 解 题 思 路 利用对角线互相平分，分类讨论：设点D(m，n)，又已知A，B，C三点坐标，则当①BC为对角线；②AC为对角线；③AB为对角线时，分别列二元一次方程组计算m，n的值，可得点D坐标 利用对角线互相平分，分类讨论：设点C(m，0)，D(0，n)，又已知A，B两点坐标，则当①AB为对角线；②AC为对角线；③AD为对角线时，分别 列二元一次方程组计算m，n的值，可得点C、D坐标 返回目录 例 2　如图，抛物线y＝ x2－ x－1与x轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，已知点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，要使以M、 N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点N的坐 标. 返回目录 解：由已知易得抛物线的对称轴为直线x＝1，B(3，0). ①如解图1，若以OB为一边，设M(1，y0)，则N(x0，y0)，则MN＝x0－ 1，OB＝3， ∵四边形MNOB为平行四边形，∴MN＝OB，∴｜x0－1｜＝3，∴x0 －1＝±3， 解：由已知易得抛物线的对称轴为直线x＝1，B(3，0). ①如解图1，若以OB为一边， 设M(1，y0)，则N(x0，y0)，则MN＝x0－1，OB＝3， ∵四边形MNOB为平行四边形， ∴MN＝OB，∴｜x0－1｜＝3，∴x0－1＝±3， 图1 ∴x0＝4或x0＝－2，∴N1 ，N2 ； 返回目录 ∴x0＝4或x0＝－2，∴N1 ，N2 ； ②如解图2，若以OB为对角线，过点N作NF⊥OB于点F，直线x＝1 交OB于点E，∴∠OEM＝∠BFN， ∵四边形OMBN为平行四边形， ∴OM∥BN，OM＝BN，∴∠MOE＝∠NBF，在△OEM和△BFN 中， ， 或 或(2，－1). ②如解图2，若以OB为对角线，过点N作NF⊥OB于点F，直线x＝1 交OB于点E，∴∠OEM＝∠BFN， ∵四边形OMBN为平行四边形， ∴OM∥BN，OM＝BN，∴∠MOE＝∠NBF， 在△OEM和△BFN中， ， ∴△OEM≌△BFN(AAS)，∴OE＝BF＝1， ∴OF＝2，∴当x＝2时，y＝－1，∴N3(2，－1). 综上，点N的坐标为 或 或(2，－1). 图2 返回目录 3. 二次函数与特殊平行四边形 (1)矩形→转化为直角三角形问题 引例 图示 已知抛物线y＝－ x2＋x＋ ，P是对称轴上一动点，动点Q在抛物线上，定点 A(－1，0)，D(4，－ )，若点A，D，P，Q所围图形是矩形，求点P的坐标. (三点构成直角三角形，再检验第四个点) 返回目录 存在性分析 易知△ADP为直角三角形，设P(1，m)，已知点A、点D的坐标，则：kAD＝－ ，kAP＝ ，kPD＝ . ①∠PAD＝90°，kAD·kAP＝－1，解得m＝4， 则P(1，4)，此时Q 不在抛物线上，舍去. ②∠ADP＝90°，kAD·kPD＝－1，解得m＝－ ， 则P ，此时Q(－4，－6)不在抛物线上，舍去. ③∠APD＝90°，kAP·kPD＝－1，解得m1＝ ，m2＝－4， 则P 或(1，－4)，此时Q(2，－4)或 . ∵点Q(2，－4)不在抛物线上，舍去，点Q 在抛物线上， ∴点P的坐标为(1，－4). 返回目录 请根据分析写出解答过程： 【自主解答】 返回目录 (2)菱形→转化为等腰三角形问题 引例 图示 已知M在y＝ x＋2上移动，F(0，2)，N为平面上一点(无需检验)，若O、F、M、N构成菱形，求点M的坐标. 返回目录 存在性分析 易知△OFM是等腰三角形，设M ，已知点O、点F的 坐标，则： OM2＝m2＋ ，FM2＝m2＋ ，OF2＝22. 分类讨论如下： ①OF＝OM，22＝m2＋ ； ②OF＝FM，22＝m2＋ ； ③OM＝FM，m2＋ ＝m2＋ ，求出m的值即可得到点M坐标. 返回目录 请根据分析写出解答过程： 【自主解答】 返回目录 1. (2024达州改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和 点B(1，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点. (1) 求抛物线的表达式； 解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ ax2＋bx－3， ∴a＝1，b＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. 返回目录 (2) 若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N， A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出满足条件的点N的 坐标；若不存在，请说明理由. 返回目录 解：存在，理由如下：由题意得点C(0，－3)，D(－1，－4)， 抛物线的对称轴为直线x＝－1，设点N(－1，m)(m＞－4)， 由点A，C，N的坐标得AC2＝18，AN2＝4＋m2， CN2＝1＋(m＋3)2. 当AC＝AN时，则18＝4＋m2，解得m＝± ，则点 N(－1， )或(－1，－ )； 当AC＝CN或AN＝CN时，则18＝1＋(m＋3)2或4＋m2＝1＋(m＋3)2， 解得m＝－3＋ 或－1(不符合题意的值已舍去)， 则点N(－1，－1)或(－1，－3＋ ). 综上所述，点N的坐标为(－1， )或(－1，－ )或(－1，－1)或 (－1，－3＋ ). 返回目录 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. (1) 求该抛物线的表达式； 解：抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 返回目录 (2) 当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：由(1)易得抛物线的顶点坐标为(1，4)， 当－1≤t＜1，则x＝t时，y最大为2t－1， 代入表达式得2t－1＝－t2＋2t＋3， 解得t＝±2(矛盾，舍去).当t≥1，则x＝1时， y最大为2t－1，即2t－1＝4，解得t＝ . 返回目录 (3) C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB 于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形 是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由. 返回目录 解：存在，理由如下：易知B(0，3). 由点A，B的坐标得直线AB的表达式为y＝－x＋3， 设点C(x，－x2＋2x＋3)，点D(x，－x＋3)， 则CD＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，BD＝ x，BC＝ . ①当BC为菱形的对角线时如解图1， 则BD＝CD，∴－x2＋3x＝ x.解得x＝3－ 或x ＝0(舍去)， 则BD＝ x＝3 －2，即菱形的边长为3 －2； 图2 图1 返回目录 ②当BD为菱形的对角线时如解图2，则CD＝BC， ∴－x2＋3x＝ ，解得x＝2或x＝ 0(舍去)，则CD＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2， 即菱形的边长为2. 综上所述，菱形的边长为3 －2或2. 图2 图2 返回目录 29 $