湖南株洲市第四中学2025-2026学年高二下学期五月检测数学试题

2026年上学期高二五月测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．已知等差数列中，为其前项和，，，则等于 A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则实数 A． B． C． D． 5．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足 A． B． C． D． 6．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 7．函数的定义域为，对任意，，则的解集为 A． B． C． D． 8．一份新高考数学试卷中有道单选题，小胡对其中道题有思路，道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这道题目中随机抽取道做对的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，点，为曲线上任意两点，且，则 A．曲线由两个圆构成 B． C． D． 10．已知函数，，下列成立的是 A．若是偶函数，则 B．的单调增区间是 C．的值域为 D．当时，方程都有两个实数根 11．如图，在棱长为的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则 A． B．点到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点在平面内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为 ． 13．已知在处有极值，则 ． 14．在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则 ；若，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为 （1）求，的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，． （I）求证：平面； （II）线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 17．（15分）某科研团队准备攻克甲、乙、丙三项新技术，已知甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，，，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，可分别获得科研奖金万元、万元、万元．若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术不会获得科研奖金． （1）求该科研团队获得万元科研奖金的概率； （2）记该科研团队获得的科研奖金（单位：万元）为随机变量，求的分布列及均值． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为． （1）求的方程； （2）若点、在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值． 19．（17分）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，数列满足． ①若首项，证明数列为递增数列； ②若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $