专题05 轴对称与旋转（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题05 轴对称与旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 题型03 旋转中的角度与线段计算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。2. 掌握线段垂直平分线的性质与判定。3. 能画出轴对称图形的对称轴。 常考题型：选择题、填空题。热点：剪纸问题、镜面对称、利用对称求最短路径（将军饮马）。 旋转 1. 掌握旋转的三要素（中心、方向、角度）。2. 理解旋转前后图形的全等性及对应点到旋转中心距离相等。3. 掌握中心对称与中心对称图形。 常考题型：解答题、作图题。难点：坐标系中的旋转坐标变化、旋转中的角度计算。 平面图形变换的简单应用 综合运用平移、轴对称、旋转设计图案或求解阴影面积。 压轴趋势：通常出现在解答题最后一道，考察综合分析能力。 知识点01 轴对称图形与成轴对称 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 示例：轴对划图形：一个正方形，沿对角线对折，两部分完全重合。 两个图形成轴对称：数字“0”和它在镜子中的像，关于镜面直线对称。 易错点：混淆概念：轴对称图形是指一个图形；轴对称是指两个图形的位置关系。 对称轴数量：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条，正方形有4条，圆有无数条。考试常考“等腰三角形”只有一条（底边上的高线所在直线）。 知识点02 旋转的性质 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 示例：将 绕点 顺时针旋转 得到 。若 ，则 。 若 ，则 。 易错点：对应关系：旋转后对应角相等，对应边相等，但对应点与旋转中心的连线夹角才等于旋转角。不要误以为图形内的某个角就是旋转角。 方向：顺时针与逆时针的区别。 题型一 台球桌面上的轴对称问题 解｜题｜技｜巧 物理原理几何化：台球撞向桌边反弹，遵循“入射角=反射角”的物理定律。在数学解题中，我们将其转化为轴对称问题。 作对称点：若要求击打点 经过某边反弹击中点 ，通常做法是作点 B 关于该桌边（对称轴）的对称点 B'。 化折为直：连接点 与对称点 ，线段 与桌边的交点 即为最佳击球点（入射点）。 计算路径：反弹路径 的长度等于直线段 的长度，利用勾股定理或全等三角形求解。 易｜错｜点｜拨 对称轴选错：台球桌有四条边，必须明确题目要求是“经过哪一条边”反弹，从而确定正确的对称轴。 混淆入射点与落袋点：不要试图直接连接 ，这样算出的是直线距离，不符合反弹规则。 【典例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 题型二 轴对称中的光线反射问题 解｜题｜技｜巧 镜面对称模型：光线反射（如激光照射、镜中看物）与台球问题本质相同，均属于“折线最短”问题。 “眼睛”与“像”：在镜面问题中，人眼看到物体的像，实际上是从眼睛到物体的对称点（虚像）的连线穿过镜面。 易｜错｜点｜拨 忽略“视线”限制：在求解“通过镜子能看到物体最高点”这类问题时，必须确保视线（连线）确实与镜面有交点，且交点在镜子的有效范围内。 单位换算：此类应用题常涉及实际生活数据（如身高、镜子高度、距离），计算时要注意统一单位（米与厘米的转换）。 角度关系混乱：不要混淆入射光线与镜面的夹角和入射角（入射角是光线与法线的夹角，通常题目给的是与镜面的夹角，需用 减去）。 【典例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 题型三 旋转中的角度与线段计算 解｜题｜技｜巧 抓不变量：旋转前后的图形全等。 对应关系：对应边相等（ OA=OA′OA=OA′ ），对应角相等（ ∠A=∠A′∠A=∠A′ ）。 旋转角判定：连接对应点与旋转中心，所形成的夹角（ ∠AOA′∠AOA′ ）才是旋转角。 易｜错｜点｜拨 误判旋转角：不要把原图形中的某个内角误认为是旋转角。 方向混淆：注意题目要求是顺时针还是逆时针旋转，虽然通常不影响长度计算，但在确定点的位置时很重要。 对应点找错：在复杂图形中，要仔细辨认哪个点是哪个点的对应点，避免连接错误。 【典例1】（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【变式3】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 4．观察如图所示的图形，然后填空． 在图①中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形．（填一种方法即可） 5．如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 3．将一副三角尺按如图①所示位置摆放，，，三点共线，，，将三角尺绕点逆时针旋转到如图②的位置，此时，则三角尺旋转的度数是___________． 4．如图，将长方形纸片沿，折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数为__________． 5．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 3．【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称与旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 题型03 旋转中的角度与线段计算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。2. 掌握线段垂直平分线的性质与判定。3. 能画出轴对称图形的对称轴。 常考题型：选择题、填空题。热点：剪纸问题、镜面对称、利用对称求最短路径（将军饮马）。 旋转 1. 掌握旋转的三要素（中心、方向、角度）。2. 理解旋转前后图形的全等性及对应点到旋转中心距离相等。3. 掌握中心对称与中心对称图形。 常考题型：解答题、作图题。难点：坐标系中的旋转坐标变化、旋转中的角度计算。 平面图形变换的简单应用 综合运用平移、轴对称、旋转设计图案或求解阴影面积。 压轴趋势：通常出现在解答题最后一道，考察综合分析能力。 知识点01 轴对称图形与成轴对称 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 示例：轴对划图形：一个正方形，沿对角线对折，两部分完全重合。 两个图形成轴对称：数字“0”和它在镜子中的像，关于镜面直线对称。 易错点：混淆概念：轴对称图形是指一个图形；轴对称是指两个图形的位置关系。 对称轴数量：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条，正方形有4条，圆有无数条。考试常考“等腰三角形”只有一条（底边上的高线所在直线）。 知识点02 旋转的性质 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 示例：将 绕点 顺时针旋转 得到 。若 ，则 。 若 ，则 。 易错点：对应关系：旋转后对应角相等，对应边相等，但对应点与旋转中心的连线夹角才等于旋转角。不要误以为图形内的某个角就是旋转角。 方向：顺时针与逆时针的区别。 题型一 台球桌面上的轴对称问题 解｜题｜技｜巧 物理原理几何化：台球撞向桌边反弹，遵循“入射角=反射角”的物理定律。在数学解题中，我们将其转化为轴对称问题。 作对称点：若要求击打点 经过某边反弹击中点 ，通常做法是作点 B 关于该桌边（对称轴）的对称点 B'。 化折为直：连接点 与对称点 ，线段 与桌边的交点 即为最佳击球点（入射点）。 计算路径：反弹路径 的长度等于直线段 的长度，利用勾股定理或全等三角形求解。 易｜错｜点｜拨 对称轴选错：台球桌有四条边，必须明确题目要求是“经过哪一条边”反弹，从而确定正确的对称轴。 混淆入射点与落袋点：不要试图直接连接 ，这样算出的是直线距离，不符合反弹规则。 【典例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 题型二 轴对称中的光线反射问题 解｜题｜技｜巧 镜面对称模型：光线反射（如激光照射、镜中看物）与台球问题本质相同，均属于“折线最短”问题。 “眼睛”与“像”：在镜面问题中，人眼看到物体的像，实际上是从眼睛到物体的对称点（虚像）的连线穿过镜面。 易｜错｜点｜拨 忽略“视线”限制：在求解“通过镜子能看到物体最高点”这类问题时，必须确保视线（连线）确实与镜面有交点，且交点在镜子的有效范围内。 单位换算：此类应用题常涉及实际生活数据（如身高、镜子高度、距离），计算时要注意统一单位（米与厘米的转换）。 角度关系混乱：不要混淆入射光线与镜面的夹角和入射角（入射角是光线与法线的夹角，通常题目给的是与镜面的夹角，需用 减去）。 【典例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 题型三 旋转中的角度与线段计算 解｜题｜技｜巧 抓不变量：旋转前后的图形全等。 对应关系：对应边相等（ OA=OA′OA=OA′ ），对应角相等（ ∠A=∠A′∠A=∠A′ ）。 旋转角判定：连接对应点与旋转中心，所形成的夹角（ ∠AOA′∠AOA′ ）才是旋转角。 易｜错｜点｜拨 误判旋转角：不要把原图形中的某个内角误认为是旋转角。 方向混淆：注意题目要求是顺时针还是逆时针旋转，虽然通常不影响长度计算，但在确定点的位置时很重要。 对应点找错：在复杂图形中，要仔细辨认哪个点是哪个点的对应点，避免连接错误。 【典例1】（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】（1）根据平角和角的和差计算即可；、 （2）求出，根据即可求出答案； （3）分在内部和在外部两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ （2）解：因为平分， 所以 ． 因为， 所以 ． 所以． 所以． （3）∠AOC的度数为或． 解：当在内部时， 因为， 所以． 因为， 所以．所以． 当在外部时， 因为，， 所以． 因为， 所以．所以． 综上所述，的度数为或 【变式3】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 3．如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 4．观察如图所示的图形，然后填空． 在图①中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形．（填一种方法即可） 【答案】 轴对称（或旋转） 平移（或轴对称或旋转） 旋转 轴对称（或旋转） 【分析】本题考查了轴对称、旋转、平移，根据轴对称、旋转、平移的定义解答即可求解，掌握轴对称、旋转、平移的定义是解题的关键． 【详解】解：在图①中，左边的图形可以通过轴对称（或旋转）变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过平移（或轴对称或旋转）变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过旋转变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过轴对称（或旋转）变换得到右边的图形， 故答案为：轴对称（或旋转）；平移（或轴对称或旋转）；旋转；轴对称（或旋转）． 5．如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 【答案】 【分析】平角的定义，求出的度数，折叠，得到，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可知，，再根据已知条件和平行线的性质求出和，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得：   ， 则该选项错误； B.沿直线翻折    则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转    则该选项正确． 3．将一副三角尺按如图①所示位置摆放，，，三点共线，，，将三角尺绕点逆时针旋转到如图②的位置，此时，则三角尺旋转的度数是___________． 【答案】 【分析】在图②中，根据平行线的性质可得，对比图①中的角度，即可求解． 【详解】解：在图②中， ∴ 在图①中， ∴旋转的度数是 4．如图，将长方形纸片沿，折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数为__________． 【答案】#105度 【分析】根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是和的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， ∴平分，平分， ∴， ∴。 5．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， 解得：， ∴． 2．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 3．【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 【答案】(1) (2) (3) (4)①秒或27秒或36秒；②的值为8秒或17秒或23秒或32秒 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过点作，得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）由，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （4）①根据题意分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可； ②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； （3）解：如图，延长，交于点，交于点， ， ， 由题意得，，， ， ， ， ， ； （4）①解：如图，当时， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 当时，此时正好旋转了半周， ， 符合条件的值为9秒或27秒或36秒； ②解：如图，当平分，且时， 则，，，，， ， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为8秒． 如图，当平分时， ， ， ，， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为17秒． 如图，当平分时， 则，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得 ， 符合条件的值为23秒， 如图，当平分，且时， ， 平分， ， ， 解得 综上所述，符合条件的值为8秒或17秒或23秒或32秒． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $