专题03 一元一次不等式（组）（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题03 一元一次不等式（组）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的性质的运用 题型02 含参不等式（组）的参数范围求解 题型03 新定义运算与不等式 题型04 一元一次不等式的应用 题型05 一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 准确理解并掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3（不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号方向改变）。 能熟练运用性质进行不等式的变形，判断变形过程的正确性，为解不等式奠定坚实基础。 命题点： 选择题或判断题，常考“不等式两边同时乘以/除以一个含字母的式子”或者“判断变形是否正确”。陷阱： 忽略“乘以/除以负数要变号”（性质3），或者忽略“乘以0”的情况。 一元一次不等式的解法 熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 重点攻克去分母时各项均需乘以公分母、系数化为1时根据系数正负决定不等号方向是否改变等易错环节。 能在数轴上规范、准确地表示不等式的解集。 命题点： 解答题第一题通常是纯计算题。易错： 去分母时常数项漏乘、去括号时符号出错、系数化为1时忘记变号。必考： 在数轴上表示解集（空心/实心、方向）。 一元一次不等式的应用 能够从实际问题中抽象出不等关系，建立一元一次不等式模型。 熟练掌握解决“至少”、“至多”、“不超过”、“不低于”等关键词的翻译与建模。 在求出数学解集后，能结合实际问题背景，检验解的合理性并给出符合题意的最终答案。 命题点： 方案设计题、利润问题、行程问题（如导火索问题）。难点： “至少”、“至多”对应的符号（≥、≤）。技巧： 解出不等式后，必须结合实际背景取整数解（如人数、件数）。 一元一次不等式组的解法 熟练掌握解一元一次不等式组的方法：分别解出每个不等式，再通过数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集。 重点训练含字母参数的不等式组解集的讨论，以及解集为特定情况（如无解、有解范围）时参数的确定。 命题点： 解不等式组并在数轴上表示；含参不等式组（已知解集求参数范围）。口诀： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）”。难点： 确定公共部分时，边界值能否取等号（=）的判断。 一元一次不等式组的应用 能够分析复杂情境，建立多个不等关系，并将其组合成一元一次不等式组。 解决涉及两种或两种以上条件限制的实际问题，如方案设计、资源分配等。 理解不等式组解集的公共部分即为满足所有条件的可行范围，并能据此做出决策或判断。 命题点： “分配问题”（如宿舍住人、汽车运货）：关键词“最后一辆不满也不空”、“不足5人”等。难点： 将文字转化为两个不等式（如：总量 > (n-1)辆车的容量，且 总量 ≤ n辆车的容量）。 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“-”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 示例：判断下列式子是否为不等式： 5 > 3 （是，使用了不等号“>”） x + 2 = 7 （不是，这是等式，使用等号“=”） a - 1 ≤ 0 （是，使用了不等号“≤”） 2x ≠ 5 （是，使用了不等号“≠”） 3 + 4 （不是，这只是代数式，没有表示关系） 用不等式表示： a 是正数：a > 0 b 是非负数：b ≥ 0 x 与 5 的和小于 10：x + 5 < 10 y 的 2 倍减去 3 不小于 1：2y - 3 ≥ 1 易错点：混淆不等式与代数式、等式：学生容易将没有不等号的代数式（如 2a+1）误判为不等式，或将含有未知数的等式（方程）误判为不等式。关键看连接符号。 列不等式时关系词翻译错误： “至少”、“不低于” 对应 ≥ “至多”、“不超过” 对应 ≤ “大于”、“超过” 对应 > “小于”、“不足” 对应 < 忽略“非正数”(≤0)、“非负数”(≥0)中“非”的含义。 忽略未知数的取值范围：在列出如 a > 0 时，未意识到 a 代表的是所有大于0的实数，而不仅仅是一个特定的数。 知识点02 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 示例：若 2x - 3 > 5，利用性质求解： 两边同时加3（性质1）：2x > 8 两边同时除以2（性质2）：x > 4 易错点：性质3（乘除负数）的方向改变被遗忘：这是最核心的易错点。当不等式两边乘以或除以同一个负数时，学生常常忘记改变不等号的方向。例如：由 -2x > 6 得 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 对“同一个数（或式）”的理解不全面：性质中要求是“同一个”。若两边加减或乘除的不是同一个量，性质不适用。但学生有时会忽略。 与等式性质混淆：等式两边可以乘以0，但不等式两边乘以0会使不等式变为等式 0=0，失去比较意义，且若乘以的式子可能为0，需要分类讨论。 知识点03 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 用数轴表示不等式的解集： 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 示例：解不等式 (2x - 1)/3 ≤ (x + 2)/2 - 1，并在数轴上表示解集。 步骤： 去分母（两边同乘6）：2(2x - 1) ≤ 3(x + 2) - 6 去括号：4x - 2 ≤ 3x + 6 - 6 移项：4x - 3x ≤ 2 + 6 - 6 合并同类项：x ≤ 2 数轴表示：在数轴上找到点2，画实心圆点（因为包含等号），并向左画射线。 易错点：去分母漏乘：去分母时，不等式两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项或单独项（如上面的 -1）容易漏乘。 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 移项不变号：移动某项到另一边时，忘记改变该项的符号。 系数化为1时方向错误：当未知数系数为负数时，忘记改变不等号方向（同性质3易错点）。 数轴表示不规范： 解集包含等号（≥ 或 ≤）用实心圆点，不包含等号（> 或 <）用空心圆圈。 方向画反：大于向右，小于向左。 知识点04 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明要想得分超过80分，他至少要答对多少道题？ 解： 设答对 x 道题，则答错或不答 (20 - x) 道。 得分表达式：5x - 2(20 - x) 列不等式：5x - 2(20 - x) > 80 解不等式：5x - 40 + 2x > 80 -> 7x > 120 -> x > 120/7 ≈ 17.14 取符合题意的最小整数解：x ≥ 18 答：小明至少要答对18道题。 易错点：“不等关系”找不准：抓不住题目中的关键词（如“超过”、“至少”、“不足”），错误地列成了等式。 设未知数不明确：未明确“设什么为x”，或单位不统一。 列出不等式后忽略实际意义检验：解出不等式后，解集可能是一个范围，但需要根据实际情境（如人数、物品数必须是非负整数）筛选出符合条件的特殊解（整数解）。如上例中，x 必须是介于1到20之间的整数。 作答不完整：只写了 x ≥ 18，没有回答“至少要答对18道题”。 知识点05 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 示例：解不等式组 { 2x + 1 > -1; 3 - x ≥ 1 }，并在数轴上表示解集。 步骤： 解第一个不等式：2x > -2 -> x > -1 解第二个不等式：-x ≥ -2 -> x ≤ 2 （注意：除以-1，变号） 将两个解集 x > -1 和 x ≤ 2 在数轴上表示出来。 找出公共部分：-1 < x ≤ 2。口诀：“大小小大中间找”。 易错点：分别解每个不等式时出错：包含上述解单个不等式的所有易错点。 解集公共部分找错： 依赖口诀但记忆混淆。 不使用数轴辅助，仅凭想象容易出错。强烈建议画数轴。 含字母参数的不等式组讨论不清：当解集为 x > a 和 x < b，且已知解集情况时，对 a 和 b 的大小关系讨论不完整。例如：解集无解（“大大小小无处找”）的条件是 a ≥ b（等号何时取需单独验证），学生易漏等号。 知识点06 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 解： 设有 x 辆汽车。 货物总量为 (4x + 20) 吨。 “最后一辆不满也不空”意味着：如果全部按8吨装，则货物总量多于 8(x-1) 吨（最后一辆没装满），但不超过 8x 吨（最后一辆有货）。 列不等式组：{ 4x + 20 > 8(x - 1); 4x + 20 ≤ 8x } 解不等式组： 由 4x + 20 > 8x - 8 得 -4x > -28 -> x < 7 由 4x + 20 ≤ 8x 得 -4x ≤ -20 -> x ≥ 5 解集为 5 ≤ x < 7 取整数解：x = 5 或 x = 6。 答：有5辆或6辆汽车。 易错点：多个不等关系提取不全：应用题条件复杂，学生可能只列出其中一个不等式，漏掉另一个限制条件。 “不满也不空”等临界条件翻译错误：“不满”是 >，“不空”是 ≥ 或 >（通常结合题意取 >），需要仔细斟酌。例如上例中，若最后一辆“不满”理解为“少于8吨”，则第一个不等式是 4x+20 < 8x；若理解为“不能刚好装满”，则可能是 4x+20 > 8(x-1)。需结合“也不空”综合判断。这是难点。 解出不等式组后未进行符合题意的筛选：和单个不等式应用一样，解集可能是范围，但最终答案往往是整数解，并且有时需要验证所有整数解的合理性。 方案设计问题中，比较和表述不清晰：当有多种可行方案时，需要比较优劣（如费用最少、利润最大），并完整表述最终方案。 题型一 不等式的性质的运用 解｜题｜技｜巧 定向：首先判断题目是要求运用性质进行变形，还是判断变形过程的正误。 对标：将每一步变形与不等式三条基本性质严格对标。重点关注乘除操作，立即判断所乘（除）的数是正数、负数还是零。 验号：若两边同乘或同除以一个负数，必须在脑海中高亮提示：“变号！”。这是此类题目的核心考点。 特值检验：对于不确定的选项，可以选取一组符合条件的特殊数值（如a=2， b=1， c=-1）代入原不等式和变形后的不等式进行快速验证。 易｜错｜点｜拨 最致命错误：忽略性质3。在不等式两边同乘或同除以同一个负数时，忘记改变不等号的方向。例如：由 -3x > 9 得到 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 概念混淆：将不等式的性质与等式的性质混淆。等式两边可同乘0，但不等式两边同乘0会破坏不等关系。 操作对象不统一：性质要求对“两边”进行“同一个数（或式）”的运算。若只对一边运算或两边运算的量不同，则变形无效。 【典例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期末）根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，数轴，关键是掌握绝对值的意义，不等式的性质，数轴上的点表示的数，从左向右越来越大．根据图形得到：，，由不等式的性质即可判断． 【详解】解：根据图形得到：，， ①因为， 所以，故①符合题意； ②因为， 所以即，故②符合题意； ③因为， 所以，故③符合题意； ④，正确，故④符合题意． 所以正确的有4个． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据，得，进而得，再根据，得，继而得，由此即可得出结论； （2）由（1）的结论得，进而得，根据，，都是正整数，且得，则正整数，将代入，得，整理得，再根据，且，是正整数得，，由此即可得出，的值； （3）依题意得，，为正数，，，图中阴影部分的面积，进而得，则，由（1）的结论得，则，继而得，解此不等式得，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． 即． ，， ， ， 即； （2）解：由（1）的结论得：， ， ， ，，都是正整数，且， ， 正整数， 将代入，得：， ， ， ， ， ， ，且，是正整数， ，， ，； （3）解：依题意得：，，为正数，，，图中阴影部分的面积， ， ， ， 由（1）的结论得：， 又， ， ， 解此不等式得：， 的最小值为， 图中阴影部分面积的最小值为． 题型二 含参不等式（组）的参数范围求解 解｜题｜技｜巧 常规求解：先将不等式组中的不含参不等式解出来，得到如 x > a 或 x < b 的形式。 含参表示：解出含参数的不等式，其解集边界用含参数的式子表示，如 x < m。 对比定界：将已知的不等式组的最终解集（如 x < 2）与第1、2步得到的两个解集进行对比。 确定关系：根据“同大取大”等规则，确定参数表达式与已知边界值的大小关系（是否取等号是难点，需代入验证）。 易｜错｜点｜拨 等号取舍不清：这是此类题的最大难点。判断参数边界是否包含等号时，可将等号情况单独代入原不等式组，检验解集是否与已知完全一致。 逻辑关系混乱：未能清晰地将不等式组的解集规则转化为参数满足的不等式条件。 【典例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 题型三 新定义运算与不等式 解｜题｜技｜巧 识别定义（找规则）： 仔细阅读题目给出的新定义。例如，定义 。 关键点： 看清新运算的左右顺序（是否满足交换律？通常不满足）和计算逻辑。 代入数值（去伪装）： 将题目中给出的具体数字或代数式，严格按照定义的规则代入。 例如： 若定义 ，求 。你需要把 代入公式，变成 。 转化为常规不等式（去新标）： 代入后，新定义的符号就消失了，你会得到一个标准的一元一次不等式或方程。 例如： 若定义 ，解不等式 。代入后变为 ，即 。 规范求解（按部就班）： 按照常规的一元一次不等式解法（去分母、去括号、移项、合并、系数化1）进行求解。 特别注意： 如果系数化1时，系数是负数，不等号方向必须改变。 【典例1】（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 【答案】 (1)③ (2)② 【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值、不等式等： （1）①；②当时，，当且时，；③． （2）①；②，分两种情况讨论；③． 【详解】（1）①，不满足“右分配律”． ②当时，，不满足“右分配律”；当且时，，不满足“右分配律”，同理可得，其他的情况，均不满足“右分配律”． ③，满足“右分配律”． 故答案为：③ （2）①，当时，． ②． 当时，． 当时，． ∴为任意有理数时，． ③． 当或，． 故答案为：② 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 【变式3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）对数轴上的线段和点，，给出如下定义：如果在线段上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得，则称点，是线段的一组“关联点”．已知点表示的数是3，点表示的数是p． (1)若点B表示的数是1，， ①点，，分别表示数5，，，则在这三个点中，点P与点______是线段AB的一组“关联点”； ②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段AB的一组“关联点”，求q的最大值和最小值； (2)若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为，若线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)①点；②q的最大值是，最小值是， (2)． 【分析】本题主要考查了新定义问题以及数轴上两点间距离的计算，解题的关键在于理解“关联点”的定义，并根据不同情况进行分类讨论． （1）①根据点P表示的数求出，再根据点Q所表示的数求出的取值范围，由此判断能否成立，即可得出结论； ②根据，得出，再根据数轴的特点和图形求出极端值情况，即可得出答案； （2）根据线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度，由此列出 【详解】（1）解：已知点表示的数是，点B表示的数是，点表示的数．如图： 设线段上一点对应的数为，，则，当时，；当时，， 所以． ①设线段上点对应的数为，， 若表示数5，则，当时，；当时，，所以，在线段AB上分别存在点M，N使得． 若表示数，则，当时，；当时，，所以，不可能等于，故点与点不是线段的一组“关联点”． 若表示数，则，当时，；当时，，所以，不可能等于，故点与点不是线段的一组“关联点”． 综上所述：点P与点是线段的一组“关联点”． ②设点表示的数为，线段上点对应的数为，，则， 因为点，是线段的一组“关联点”，所以， 当在点右侧时，取最大值，， 当在点左侧时，取最小值，， 综上所述：q的最大值是，最小值是， （2）解：∵点P表示的数是p，点B表示的数与点P表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为， ∵点表示的数为， ∵线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度. ，， ∴， 当时，，解得：，即， 当时，解得：，即， 当时，，解得：，此时没有满足条件解， 综上所述：p的取值范围为. 题型四 一元一次不等式的应用 解｜题｜技｜巧 关键词翻译：将文字语言精准转化为数学符号。 “至少”、“不低于”、“不少于” → ≥ “至多”、“不超过”、“不大于” → ≤ “超过”、“大于” → > “不足”、“小于” → < 明确建模步骤： 审：找出所有已知量和未知量，以及关键的不等关系。 设：设出未知数，注意带单位（如“设小明答对了x道题”）。 列：根据不等关系列出不等式。 解：求解不等式。 验与答：验证解是否符合实际意义（如人数、物品数为非负整数），并给出完整答案。 整数解处理：实际问题中，解集常是一个范围，但最终答案往往是该范围内的特定整数（如人数、车辆数）。必须进行筛选。 易｜错｜点｜拨 关系词翻译错误：如将“至少”误列为“>”。 不等关系找不全：在复杂情境中漏掉某个限制条件。 忽略实际意义：求出解集 x ≥ 17.5 后，直接作答，未取 x=18（若x代表整数）。 作答不完整：只写了 x=18，没有用语言完整回答“小明至少要答对18道题”。 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 【变式1】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】(1)玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 (2)， (3)在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【详解】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； （2）解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 题型五 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 梳理多重条件：仔细阅读，将题目中的每一个限制条件都用数学语言（不等式）表达出来。通常需要列出两个或以上的不等式。 建立不等式组：将这些不等式联立，组成一个不等式组。 求解与筛选：求解不等式组，得到一个解集范围。这个范围内的值（通常是整数）是所有条件同时满足的“可行解”。 方案枚举与比较：根据“可行解”枚举出所有可能的方案。若题目要求最优方案（如最省钱、利润最大），需分别计算每种方案的结果并进行比较。 完整表述：答案应包括：①可能的方案有哪几种；②最优方案是什么及其理由。 易｜错｜点｜拨 条件遗漏：只列出一个不等式，漏掉其他隐含或显性的限制条件。 “不满不空”类条件处理不当：如“最后一辆汽车不满也不空”，需转化为两个不等式：货物总量 > 前(n-1)辆车满载量，且货物总量 ≤ 全部n辆车满载量。 解集未结合实际筛选：解出 5 ≤ x < 7 后，未指出 x=5, 6 两种整数解情况。 方案比较缺失：题目要求选择最佳方案，但只列出了所有方案，未进行比较和选择。 【典例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键． 根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可． 【详解】设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得 ， 解得：， ∵篮球和足球的数量是整数， ∴， 答：学校购买篮球个． 【变式3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则下列不等式中一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，满足，但，本选项的不等式不成立，不符合题意； B、不等式两边同乘，得， 不等式两边同时加，得， 故本选项的不等式一定成立，符合题意； C、化简得，显然不成立，不符合题意； D、不等式两边同乘，得，本选项的不等式不成立，不符合题意． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 表示在数轴上：处为实心点且方向向右，处为空心圈且方向向左， 观察选项，只有B选项符合． 3．“与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为__________． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述逐步转化为代数式，再根据非负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：“与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为：． 4．不等式组的整数解为___． 【答案】无整数解 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴ 原不等式组不存在公共解集，即原不等式组无解，没有符合要求的整数解． 5．解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 【答案】解集为，该不等式的非负整数解是0，1，2 【详解】解： ∴不等式的解集为 ∴该不等式的非负整数解是0，1，2 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 2．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 3．数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 【答案】4 【分析】根据题意直接求解即可． 【详解】解：∵，即， ． 4．若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：已知不等式组的解集为， ∴， 即． 5．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．和是有理数，满足和．那么下列哪个陈述是错误的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先根据条件分别确定和的取值范围，再逐一分析选项即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵，当时， ∴，解得， 与矛盾，因此， 当时，，解得，， 综上，的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴或， 综上， 的取值范围是， ∴正确，A选项不符合题意； 正确，B选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴错误，C选项符合题意； 正确，D选项不符合题意； ∵，， ∴结果为正，且， ∴正确，E选项不符合题意； 2．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 3．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 4．若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先将参数视为已知数，解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解得， 解不等式②，得， 解得， 故不等式组的解集为， 由不等式组只有个整数解，可知整数解依次为，，， 则， 解得． 5．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 【答案】6 【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可． 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ， 整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：， 整理得： ， 将 代入上式， 得：， 化简得， 变形得：， ∵是正整数， ∴为整数， 又∵和互质， ∴是的倍数， ∵，解得， ∴， 则，即实际购进标志桶的数量为个． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（组）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的性质的运用 题型02 含参不等式（组）的参数范围求解 题型03 新定义运算与不等式 题型04 一元一次不等式的应用 题型05 一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 准确理解并掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3（不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号方向改变）。 能熟练运用性质进行不等式的变形，判断变形过程的正确性，为解不等式奠定坚实基础。 命题点： 选择题或判断题，常考“不等式两边同时乘以/除以一个含字母的式子”或者“判断变形是否正确”。陷阱： 忽略“乘以/除以负数要变号”（性质3），或者忽略“乘以0”的情况。 一元一次不等式的解法 熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 重点攻克去分母时各项均需乘以公分母、系数化为1时根据系数正负决定不等号方向是否改变等易错环节。 能在数轴上规范、准确地表示不等式的解集。 命题点： 解答题第一题通常是纯计算题。易错： 去分母时常数项漏乘、去括号时符号出错、系数化为1时忘记变号。必考： 在数轴上表示解集（空心/实心、方向）。 一元一次不等式的应用 能够从实际问题中抽象出不等关系，建立一元一次不等式模型。 熟练掌握解决“至少”、“至多”、“不超过”、“不低于”等关键词的翻译与建模。 在求出数学解集后，能结合实际问题背景，检验解的合理性并给出符合题意的最终答案。 命题点： 方案设计题、利润问题、行程问题（如导火索问题）。难点： “至少”、“至多”对应的符号（≥、≤）。技巧： 解出不等式后，必须结合实际背景取整数解（如人数、件数）。 一元一次不等式组的解法 熟练掌握解一元一次不等式组的方法：分别解出每个不等式，再通过数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集。 重点训练含字母参数的不等式组解集的讨论，以及解集为特定情况（如无解、有解范围）时参数的确定。 命题点： 解不等式组并在数轴上表示；含参不等式组（已知解集求参数范围）。口诀： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）”。难点： 确定公共部分时，边界值能否取等号（=）的判断。 一元一次不等式组的应用 能够分析复杂情境，建立多个不等关系，并将其组合成一元一次不等式组。 解决涉及两种或两种以上条件限制的实际问题，如方案设计、资源分配等。 理解不等式组解集的公共部分即为满足所有条件的可行范围，并能据此做出决策或判断。 命题点： “分配问题”（如宿舍住人、汽车运货）：关键词“最后一辆不满也不空”、“不足5人”等。难点： 将文字转化为两个不等式（如：总量 > (n-1)辆车的容量，且 总量 ≤ n辆车的容量）。 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“-”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 示例：判断下列式子是否为不等式： 5 > 3 （是，使用了不等号“>”） x + 2 = 7 （不是，这是等式，使用等号“=”） a - 1 ≤ 0 （是，使用了不等号“≤”） 2x ≠ 5 （是，使用了不等号“≠”） 3 + 4 （不是，这只是代数式，没有表示关系） 用不等式表示： a 是正数：a > 0 b 是非负数：b ≥ 0 x 与 5 的和小于 10：x + 5 < 10 y 的 2 倍减去 3 不小于 1：2y - 3 ≥ 1 易错点：混淆不等式与代数式、等式：学生容易将没有不等号的代数式（如 2a+1）误判为不等式，或将含有未知数的等式（方程）误判为不等式。关键看连接符号。 列不等式时关系词翻译错误： “至少”、“不低于” 对应 ≥ “至多”、“不超过” 对应 ≤ “大于”、“超过” 对应 > “小于”、“不足” 对应 < 忽略“非正数”(≤0)、“非负数”(≥0)中“非”的含义。 忽略未知数的取值范围：在列出如 a > 0 时，未意识到 a 代表的是所有大于0的实数，而不仅仅是一个特定的数。 知识点02 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 示例：若 2x - 3 > 5，利用性质求解： 两边同时加3（性质1）：2x > 8 两边同时除以2（性质2）：x > 4 易错点：性质3（乘除负数）的方向改变被遗忘：这是最核心的易错点。当不等式两边乘以或除以同一个负数时，学生常常忘记改变不等号的方向。例如：由 -2x > 6 得 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 对“同一个数（或式）”的理解不全面：性质中要求是“同一个”。若两边加减或乘除的不是同一个量，性质不适用。但学生有时会忽略。 与等式性质混淆：等式两边可以乘以0，但不等式两边乘以0会使不等式变为等式 0=0，失去比较意义，且若乘以的式子可能为0，需要分类讨论。 知识点03 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 用数轴表示不等式的解集： 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 示例：解不等式 (2x - 1)/3 ≤ (x + 2)/2 - 1，并在数轴上表示解集。 步骤： 去分母（两边同乘6）：2(2x - 1) ≤ 3(x + 2) - 6 去括号：4x - 2 ≤ 3x + 6 - 6 移项：4x - 3x ≤ 2 + 6 - 6 合并同类项：x ≤ 2 数轴表示：在数轴上找到点2，画实心圆点（因为包含等号），并向左画射线。 易错点：去分母漏乘：去分母时，不等式两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项或单独项（如上面的 -1）容易漏乘。 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 移项不变号：移动某项到另一边时，忘记改变该项的符号。 系数化为1时方向错误：当未知数系数为负数时，忘记改变不等号方向（同性质3易错点）。 数轴表示不规范： 解集包含等号（≥ 或 ≤）用实心圆点，不包含等号（> 或 <）用空心圆圈。 方向画反：大于向右，小于向左。 知识点04 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明要想得分超过80分，他至少要答对多少道题？ 解： 设答对 x 道题，则答错或不答 (20 - x) 道。 得分表达式：5x - 2(20 - x) 列不等式：5x - 2(20 - x) > 80 解不等式：5x - 40 + 2x > 80 -> 7x > 120 -> x > 120/7 ≈ 17.14 取符合题意的最小整数解：x ≥ 18 答：小明至少要答对18道题。 易错点：“不等关系”找不准：抓不住题目中的关键词（如“超过”、“至少”、“不足”），错误地列成了等式。 设未知数不明确：未明确“设什么为x”，或单位不统一。 列出不等式后忽略实际意义检验：解出不等式后，解集可能是一个范围，但需要根据实际情境（如人数、物品数必须是非负整数）筛选出符合条件的特殊解（整数解）。如上例中，x 必须是介于1到20之间的整数。 作答不完整：只写了 x ≥ 18，没有回答“至少要答对18道题”。 知识点05 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 示例：解不等式组 { 2x + 1 > -1; 3 - x ≥ 1 }，并在数轴上表示解集。 步骤： 解第一个不等式：2x > -2 -> x > -1 解第二个不等式：-x ≥ -2 -> x ≤ 2 （注意：除以-1，变号） 将两个解集 x > -1 和 x ≤ 2 在数轴上表示出来。 找出公共部分：-1 < x ≤ 2。口诀：“大小小大中间找”。 易错点：分别解每个不等式时出错：包含上述解单个不等式的所有易错点。 解集公共部分找错： 依赖口诀但记忆混淆。 不使用数轴辅助，仅凭想象容易出错。强烈建议画数轴。 含字母参数的不等式组讨论不清：当解集为 x > a 和 x < b，且已知解集情况时，对 a 和 b 的大小关系讨论不完整。例如：解集无解（“大大小小无处找”）的条件是 a ≥ b（等号何时取需单独验证），学生易漏等号。 知识点06 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 解： 设有 x 辆汽车。 货物总量为 (4x + 20) 吨。 “最后一辆不满也不空”意味着：如果全部按8吨装，则货物总量多于 8(x-1) 吨（最后一辆没装满），但不超过 8x 吨（最后一辆有货）。 列不等式组：{ 4x + 20 > 8(x - 1); 4x + 20 ≤ 8x } 解不等式组： 由 4x + 20 > 8x - 8 得 -4x > -28 -> x < 7 由 4x + 20 ≤ 8x 得 -4x ≤ -20 -> x ≥ 5 解集为 5 ≤ x < 7 取整数解：x = 5 或 x = 6。 答：有5辆或6辆汽车。 易错点：多个不等关系提取不全：应用题条件复杂，学生可能只列出其中一个不等式，漏掉另一个限制条件。 “不满也不空”等临界条件翻译错误：“不满”是 >，“不空”是 ≥ 或 >（通常结合题意取 >），需要仔细斟酌。例如上例中，若最后一辆“不满”理解为“少于8吨”，则第一个不等式是 4x+20 < 8x；若理解为“不能刚好装满”，则可能是 4x+20 > 8(x-1)。需结合“也不空”综合判断。这是难点。 解出不等式组后未进行符合题意的筛选：和单个不等式应用一样，解集可能是范围，但最终答案往往是整数解，并且有时需要验证所有整数解的合理性。 方案设计问题中，比较和表述不清晰：当有多种可行方案时，需要比较优劣（如费用最少、利润最大），并完整表述最终方案。 题型一 不等式的性质的运用 解｜题｜技｜巧 定向：首先判断题目是要求运用性质进行变形，还是判断变形过程的正误。 对标：将每一步变形与不等式三条基本性质严格对标。重点关注乘除操作，立即判断所乘（除）的数是正数、负数还是零。 验号：若两边同乘或同除以一个负数，必须在脑海中高亮提示：“变号！”。这是此类题目的核心考点。 特值检验：对于不确定的选项，可以选取一组符合条件的特殊数值（如a=2， b=1， c=-1）代入原不等式和变形后的不等式进行快速验证。 易｜错｜点｜拨 最致命错误：忽略性质3。在不等式两边同乘或同除以同一个负数时，忘记改变不等号的方向。例如：由 -3x > 9 得到 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 概念混淆：将不等式的性质与等式的性质混淆。等式两边可同乘0，但不等式两边同乘0会破坏不等关系。 操作对象不统一：性质要求对“两边”进行“同一个数（或式）”的运算。若只对一边运算或两边运算的量不同，则变形无效。 【典例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期末）根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 题型二 含参不等式（组）的参数范围求解 解｜题｜技｜巧 常规求解：先将不等式组中的不含参不等式解出来，得到如 x > a 或 x < b 的形式。 含参表示：解出含参数的不等式，其解集边界用含参数的式子表示，如 x < m。 对比定界：将已知的不等式组的最终解集（如 x < 2）与第1、2步得到的两个解集进行对比。 确定关系：根据“同大取大”等规则，确定参数表达式与已知边界值的大小关系（是否取等号是难点，需代入验证）。 易｜错｜点｜拨 等号取舍不清：这是此类题的最大难点。判断参数边界是否包含等号时，可将等号情况单独代入原不等式组，检验解集是否与已知完全一致。 逻辑关系混乱：未能清晰地将不等式组的解集规则转化为参数满足的不等式条件。 【典例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 题型三 新定义运算与不等式 解｜题｜技｜巧 识别定义（找规则）： 仔细阅读题目给出的新定义。例如，定义 。 关键点： 看清新运算的左右顺序（是否满足交换律？通常不满足）和计算逻辑。 代入数值（去伪装）： 将题目中给出的具体数字或代数式，严格按照定义的规则代入。 例如： 若定义 ，求 。你需要把 代入公式，变成 。 转化为常规不等式（去新标）： 代入后，新定义的符号就消失了，你会得到一个标准的一元一次不等式或方程。 例如： 若定义 ，解不等式 。代入后变为 ，即 。 规范求解（按部就班）： 按照常规的一元一次不等式解法（去分母、去括号、移项、合并、系数化1）进行求解。 特别注意： 如果系数化1时，系数是负数，不等号方向必须改变。 【典例1】（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【变式3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）对数轴上的线段和点，，给出如下定义：如果在线段上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得，则称点，是线段的一组“关联点”．已知点表示的数是3，点表示的数是p． (1)若点B表示的数是1，， ①点，，分别表示数5，，，则在这三个点中，点P与点______是线段AB的一组“关联点”； ②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段AB的一组“关联点”，求q的最大值和最小值； (2)若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为，若线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，直接写出p的取值范围． 题型四 一元一次不等式的应用 解｜题｜技｜巧 关键词翻译：将文字语言精准转化为数学符号。 “至少”、“不低于”、“不少于” → ≥ “至多”、“不超过”、“不大于” → ≤ “超过”、“大于” → > “不足”、“小于” → < 明确建模步骤： 审：找出所有已知量和未知量，以及关键的不等关系。 设：设出未知数，注意带单位（如“设小明答对了x道题”）。 列：根据不等关系列出不等式。 解：求解不等式。 验与答：验证解是否符合实际意义（如人数、物品数为非负整数），并给出完整答案。 整数解处理：实际问题中，解集常是一个范围，但最终答案往往是该范围内的特定整数（如人数、车辆数）。必须进行筛选。 易｜错｜点｜拨 关系词翻译错误：如将“至少”误列为“>”。 不等关系找不全：在复杂情境中漏掉某个限制条件。 忽略实际意义：求出解集 x ≥ 17.5 后，直接作答，未取 x=18（若x代表整数）。 作答不完整：只写了 x=18，没有用语言完整回答“小明至少要答对18道题”。 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【变式1】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 题型五 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 梳理多重条件：仔细阅读，将题目中的每一个限制条件都用数学语言（不等式）表达出来。通常需要列出两个或以上的不等式。 建立不等式组：将这些不等式联立，组成一个不等式组。 求解与筛选：求解不等式组，得到一个解集范围。这个范围内的值（通常是整数）是所有条件同时满足的“可行解”。 方案枚举与比较：根据“可行解”枚举出所有可能的方案。若题目要求最优方案（如最省钱、利润最大），需分别计算每种方案的结果并进行比较。 完整表述：答案应包括：①可能的方案有哪几种；②最优方案是什么及其理由。 易｜错｜点｜拨 条件遗漏：只列出一个不等式，漏掉其他隐含或显性的限制条件。 “不满不空”类条件处理不当：如“最后一辆汽车不满也不空”，需转化为两个不等式：货物总量 > 前(n-1)辆车满载量，且货物总量 ≤ 全部n辆车满载量。 解集未结合实际筛选：解出 5 ≤ x < 7 后，未指出 x=5, 6 两种整数解情况。 方案比较缺失：题目要求选择最佳方案，但只列出了所有方案，未进行比较和选择。 【典例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【变式3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则下列不等式中一定成立的是(     ) A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为__________． 4．不等式组的整数解为___． 5．解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 4．若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 5．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．和是有理数，满足和．那么下列哪个陈述是错误的？（   ） A． B． C． D． E． 2．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 3．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 4．若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 5．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $