专题04 平面内的两条直线（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题04 平面内的两条直线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行线中的拐点模型 题型02 平行线的判定与性质的综合应用 题型03 平移与几何作图 题型04 垂线段最短的实际应用 题型05 平行线中的动态探究问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两个要素（方向、距离）。2. 能根据平移的性质作图，利用对应点连线平行且相等解决几何计算问题。 多以选择题或填空题出现，常结合网格作图考察，重点在于利用平移性质求角度或线段长度。 平行线的性质 1. 熟练掌握平行线的三条性质（同位角、内错角、同旁内角）。2. 能运用性质进行角度计算和逻辑推理。 必考内容，常与三角形、多边形内角和结合考察。重点考察“由线定角”的逻辑推理能力。 平行线的判定 1. 掌握判定两直线平行的五种方法。2. 能区分“判定”与“性质”的互逆关系，规范书写推理过程。 常以证明题或填空题形式出现，易错点在于混淆判定定理与性质定理，需注意逻辑因果关系。 垂线 1. 理解垂线定义，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。2. 理解垂线段最短的性质，并能解决最短路径问题。 重点考察垂线的画法及垂线段最短的实际应用（如修路、引水问题），常结合点到直线的距离概念考察。 两条平行线间的距离 1. 理解公垂线、公垂线段的概念。2. 掌握平行线间距离处处相等的性质，并能进行简单计算。 考察频率相对较低，常结合面积法或动点问题出现，需区分“距离”与“线段”的概念。 知识点01 平行线 在同一平面内，没有公共点 的两条直线叫作平行线.平行用符号“// ”. 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤: 一落:把三角板的一边落在已知直线上。 二靠:紧靠三角板的另一边放一直尺， 三移:沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画:沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线 平行线的基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行即如果a//b,c//b,那么a//c· 示例： 已知直线 和直线外一点 ，过点 画直线 ，使 。 >解析： 利用三角板和直尺，按照“一落、二靠、三移、四画”的步骤即可画出。 易错点： 1. 忽略前提条件： 平行线的定义必须强调“在同一平面内”。例如，正方体中，棱 与棱 既不相交也不平行（它们是异面直线），不能说它们平行。 2. 混淆概念： 认为“不相交的两条直线就是平行线”，忽略了异面直线的情况。 知识点02 相交直线所成的角 对顶角定义;有共同的顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的一对角叫作对顶角. 性质:对顶角相等 同位角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。 如图中的∠1与∠5。 内错角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。 如图中的∠4与∠6。 1. 同旁内角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 如图中的∠4与∠5。 示例： 同位角判断方法： 同位角的结构特征形成“F”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“F”来判断。 内错角判断方法： 内错角的结构特征形成“Z”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“Z”来判断。 同旁内角判断方法： 同旁内角的结构特征形成“U”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“U”来判断。 易错点: 1. 找错截线： 判断“三线八角”时，关键是找到截线（公共边所在的直线）。例如判断 和 的关系，要看这两个角是由哪条直线截哪两条直线形成的。 2. 混淆定义： 认为同位角一定相等，同旁内角一定互补。注意： 只有当两直线平行时，同位角才相等，同旁内角才互补。如果两直线不平行，这些数量关系不成立。 知识点03 平移的定义 平移的定:把图形(I)上每一个点沿 同一方向移动 相同的距离,得到另一个图形(Ⅱ),我们把图形的这种变换叫作一平移它由移动的方向和距离所决定，原图形(I)叫作原像,平移到新位置后的图形(I)叫作原图形在平移下的像. 平移的基本性质：(1)一个图形和它经过平移所得的图形中两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等 (2)平移保持任意两点间距离不变,保持角的大小 不变 (3)直线在平移下的像是与它平行的直线(或者与它是 同一条直线) 易错点： 1. 对应点找错： 平移是整体移动，点 的对应点是 ，点 的对应点是 。连接对应点的线段（如 ）才是平移距离，而不是 或 。 2. 方向理解偏差： 平移方向不一定是水平向右，可以是任意方向（如斜向上）。 知识点04 平行线的性质 性质1两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.通常简单说成:两直线平行同位角相等 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,通常简单说成:两直线平行内错角相等 性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,通常简单说成:两直线平行,同旁内角互补 易错点：1. 因果倒置： 性质是“由线定角”（因为平行 所以角相等/互补）。做题时不能还没证明平行，就直接用性质说角相等。 2. 忽略前提： 只有两直线平行时，性质才成立。如果题目没说平行，不能默认同位角相等。 知识点05 平行线的判定 平行线的判定： 易错点：1. 混淆判定与性质： 判定是“由角定线”（因为角相等 所以平行）。做题时容易把条件和结论写反。 2. 条件不足： 使用“同位角相等”或“内错角相等”判定时，必须确保这两个角是由同一条截线截出的。 知识点06 垂线 1.垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线a与直线b垂直，表示为。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是直角。 2.经过一点作已知直线的垂线的画法： （1）用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线重合。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过已知点 。 ③沿与已知直线不重合的边画直线，这条直线即为已知直线的垂线。 （2）用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线重合。 ②移动量角器使90°刻度线经过已知点，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 3.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有1条直线与已知直线垂直。 4.垂线段的概念： 过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的部分叫做垂线段。 5.垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中，垂线段最短。 易错点： 1. 概念混淆： “垂线”是一条直线（无限延伸），“垂线段”是一条线段（有限长度）。 2. 距离定义： 点到直线的距离是指垂线段的长度（一个数值），而不是垂线段本身（图形）。 知识点07 两条平行线间的距离 公垂线与公垂线段;与两条平行直线都垂直的直线,叫作这两条平行直线的公垂线,这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. 两条平行线的所有公垂线段都相等 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 易错点： 1. 非垂线段误用： 只有垂直于平行线的线段长度才是距离。夹在平行线间的斜线段长度不是距离，且斜线段长度大于距离。 2. 动态变化误解： 平行线间的距离是处处相等的，不会因为点的位置移动而改变；而点到点的距离是变化的。 题型一 平行线中的拐点模型 解｜题｜技｜巧 1. 过拐点作平行线法：这是解决此类问题的通法。过拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”将大角拆分为两个小角进行计算。2. 向左开口的角之和等于向右开口的角之和（锯齿状模型）：在平行线间，所有朝左的锐角之和等于所有朝右的锐角之和。3. 笔尖模型：中间的拐角等于上下两个锐角之和（）。 易｜错｜点｜拨 1. 容易混淆内错角与同旁内角，导致计算错误。2. 在作辅助线时，未说明“过点P作PQ//AB”，逻辑不严密。3. 对于多拐点问题，未能发现角度之间的递推规律。 【典例1】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【变式3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 题型二 平行线的判定与性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 巧1. 区分因果：由“角”推“线”是判定（证明平行）；由“线”推“角”是性质（计算角度）。2. 双向互推：在复杂图形中，往往需要先用判定定理证明平行，再用性质定理求角，或者交替使用。3. 寻找中间量：当两直线无直接联系时，寻找第三条直线作为“桥梁”进行转化。 易｜错｜点｜拨 1. 逻辑混乱，将判定定理和性质定理混用（例如：因为平行，所以同位角相等，用来证明平行）。2. 忽视题目中的隐含条件（如对顶角相等、邻补角互补）。 【典例1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在物理《光的反射》一课中：如图①经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角．在光的反射现象中，反射光线，入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两边，反射角等于入射角．数学课上，小明同学提出这样一道题目：如图②，一束光线与水平面成的角度照射地面，在地面上斜放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后的光线与地面平行，则平面镜与地面所成角的度数为______． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【变式3】（25-26七年苏南通·期末）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 题型三 平移与几何作图 解｜题｜技｜巧 1. 定方向、定距离：平移作图的关键是确定平移的方向和距离。2. 关键点法：找出图形的关键点（如顶点），分别作出这些点平移后的对应点，最后顺次连接。3. 利用性质解题：利用“对应线段平行且相等”来求解线段长度或证明四边形是平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1. 平移方向搞反，或者平移距离测量不准。2. 连接对应点时漏连或错连。3. 误认为平移后的图形大小会发生改变。 【典例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【变式1】（25-26八年级上·广西梧州·期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【变式2】（25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 题型四 垂线段最短的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 化曲为直：在解决“最短路径”、“最小费用”问题时，寻找垂直关系。2. 模型识别：识别出“直线外一点到直线上各点连线”的模型，确定垂线段即为最短路径。3. 面积法：有时结合三角形面积公式（底×高），利用等积法求垂线段长度（高）。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“垂线段”（图形）与“距离”（数值）的概念。2. 在实际应用题中，未能将生活语言转化为“点到直线的距离”这一数学模型。 【典例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 题型五 平行线中的动态探究问题 解｜题｜技｜巧 1. 分类讨论：当动点位置改变导致图形结构变化时（如点在平行线内部、外部或线上），需分类讨论。2. 设参求解：设动点运动的时间或距离为参数 ，建立角度或长度的方程求解。3. 不变性原理：在变化中寻找不变的量（如某些角的和差关系保持不变）。 易｜错｜点｜拨 1. 考虑不全，漏掉某种特殊情况（如动点运动到端点）。2. 计算过程中符号处理错误，导致方程解错。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 、 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（    ） 因为，所以．（依据：_____） A．同角的余角相等 B．等式的基本性质 C．邻补角的定义 D．同角的补角相等 、2．图形变换包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（     ） A． B． C． D． 、3．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，______度．______度． 、4．如图，已知，作交于点，则________度． 、5．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，点在上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 4．已知直线，将一把含角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，若，则______． 5．已知：如图，平分交于点，．求证：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 3．如图，已知，，则_____． 4．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 5．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面内的两条直线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行线中的拐点模型 题型02 平行线的判定与性质的综合应用 题型03 平移与几何作图 题型04 垂线段最短的实际应用 题型05 平行线中的动态探究问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两个要素（方向、距离）。2. 能根据平移的性质作图，利用对应点连线平行且相等解决几何计算问题。 多以选择题或填空题出现，常结合网格作图考察，重点在于利用平移性质求角度或线段长度。 平行线的性质 1. 熟练掌握平行线的三条性质（同位角、内错角、同旁内角）。2. 能运用性质进行角度计算和逻辑推理。 必考内容，常与三角形、多边形内角和结合考察。重点考察“由线定角”的逻辑推理能力。 平行线的判定 1. 掌握判定两直线平行的五种方法。2. 能区分“判定”与“性质”的互逆关系，规范书写推理过程。 常以证明题或填空题形式出现，易错点在于混淆判定定理与性质定理，需注意逻辑因果关系。 垂线 1. 理解垂线定义，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。2. 理解垂线段最短的性质，并能解决最短路径问题。 重点考察垂线的画法及垂线段最短的实际应用（如修路、引水问题），常结合点到直线的距离概念考察。 两条平行线间的距离 1. 理解公垂线、公垂线段的概念。2. 掌握平行线间距离处处相等的性质，并能进行简单计算。 考察频率相对较低，常结合面积法或动点问题出现，需区分“距离”与“线段”的概念。 知识点01 平行线 在同一平面内，没有公共点 的两条直线叫作平行线.平行用符号“// ”. 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤: 一落:把三角板的一边落在已知直线上。 二靠:紧靠三角板的另一边放一直尺， 三移:沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画:沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线 平行线的基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行即如果a//b,c//b,那么a//c· 示例： 已知直线 和直线外一点 ，过点 画直线 ，使 。 >解析： 利用三角板和直尺，按照“一落、二靠、三移、四画”的步骤即可画出。 易错点： 1. 忽略前提条件： 平行线的定义必须强调“在同一平面内”。例如，正方体中，棱 与棱 既不相交也不平行（它们是异面直线），不能说它们平行。 2. 混淆概念： 认为“不相交的两条直线就是平行线”，忽略了异面直线的情况。 知识点02 相交直线所成的角 对顶角定义;有共同的顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的一对角叫作对顶角. 性质:对顶角相等 同位角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。 如图中的∠1与∠5。 内错角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。 如图中的∠4与∠6。 1. 同旁内角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 如图中的∠4与∠5。 示例： 同位角判断方法： 同位角的结构特征形成“F”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“F”来判断。 内错角判断方法： 内错角的结构特征形成“Z”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“Z”来判断。 同旁内角判断方法： 同旁内角的结构特征形成“U”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“U”来判断。 易错点: 1. 找错截线： 判断“三线八角”时，关键是找到截线（公共边所在的直线）。例如判断 和 的关系，要看这两个角是由哪条直线截哪两条直线形成的。 2. 混淆定义： 认为同位角一定相等，同旁内角一定互补。注意： 只有当两直线平行时，同位角才相等，同旁内角才互补。如果两直线不平行，这些数量关系不成立。 知识点03 平移的定义 平移的定:把图形(I)上每一个点沿 同一方向移动 相同的距离,得到另一个图形(Ⅱ),我们把图形的这种变换叫作一平移它由移动的方向和距离所决定，原图形(I)叫作原像,平移到新位置后的图形(I)叫作原图形在平移下的像. 平移的基本性质：(1)一个图形和它经过平移所得的图形中两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等 (2)平移保持任意两点间距离不变,保持角的大小 不变 (3)直线在平移下的像是与它平行的直线(或者与它是 同一条直线) 易错点： 1. 对应点找错： 平移是整体移动，点 的对应点是 ，点 的对应点是 。连接对应点的线段（如 ）才是平移距离，而不是 或 。 2. 方向理解偏差： 平移方向不一定是水平向右，可以是任意方向（如斜向上）。 知识点04 平行线的性质 性质1两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.通常简单说成:两直线平行同位角相等 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,通常简单说成:两直线平行内错角相等 性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,通常简单说成:两直线平行,同旁内角互补 易错点：1. 因果倒置： 性质是“由线定角”（因为平行 所以角相等/互补）。做题时不能还没证明平行，就直接用性质说角相等。 2. 忽略前提： 只有两直线平行时，性质才成立。如果题目没说平行，不能默认同位角相等。 知识点05 平行线的判定 平行线的判定： 易错点：1. 混淆判定与性质： 判定是“由角定线”（因为角相等 所以平行）。做题时容易把条件和结论写反。 2. 条件不足： 使用“同位角相等”或“内错角相等”判定时，必须确保这两个角是由同一条截线截出的。 知识点06 垂线 1.垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线a与直线b垂直，表示为。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是直角。 2.经过一点作已知直线的垂线的画法： （1）用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线重合。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过已知点 。 ③沿与已知直线不重合的边画直线，这条直线即为已知直线的垂线。 （2）用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线重合。 ②移动量角器使90°刻度线经过已知点，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 3.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有1条直线与已知直线垂直。 4.垂线段的概念： 过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的部分叫做垂线段。 5.垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中，垂线段最短。 易错点： 1. 概念混淆： “垂线”是一条直线（无限延伸），“垂线段”是一条线段（有限长度）。 2. 距离定义： 点到直线的距离是指垂线段的长度（一个数值），而不是垂线段本身（图形）。 知识点07 两条平行线间的距离 公垂线与公垂线段;与两条平行直线都垂直的直线,叫作这两条平行直线的公垂线,这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. 两条平行线的所有公垂线段都相等 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 易错点： 1. 非垂线段误用： 只有垂直于平行线的线段长度才是距离。夹在平行线间的斜线段长度不是距离，且斜线段长度大于距离。 2. 动态变化误解： 平行线间的距离是处处相等的，不会因为点的位置移动而改变；而点到点的距离是变化的。 题型一 平行线中的拐点模型 解｜题｜技｜巧 1. 过拐点作平行线法：这是解决此类问题的通法。过拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”将大角拆分为两个小角进行计算。2. 向左开口的角之和等于向右开口的角之和（锯齿状模型）：在平行线间，所有朝左的锐角之和等于所有朝右的锐角之和。3. 笔尖模型：中间的拐角等于上下两个锐角之和（）。 易｜错｜点｜拨 1. 容易混淆内错角与同旁内角，导致计算错误。2. 在作辅助线时，未说明“过点P作PQ//AB”，逻辑不严密。3. 对于多拐点问题，未能发现角度之间的递推规律。 【典例1】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得， 等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 【变式1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【变式3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 题型二 平行线的判定与性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 巧1. 区分因果：由“角”推“线”是判定（证明平行）；由“线”推“角”是性质（计算角度）。2. 双向互推：在复杂图形中，往往需要先用判定定理证明平行，再用性质定理求角，或者交替使用。3. 寻找中间量：当两直线无直接联系时，寻找第三条直线作为“桥梁”进行转化。 易｜错｜点｜拨 1. 逻辑混乱，将判定定理和性质定理混用（例如：因为平行，所以同位角相等，用来证明平行）。2. 忽视题目中的隐含条件（如对顶角相等、邻补角互补）。 【典例1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差即可解答； （2）同（1）的思路求解即可； （3）分两种情况分析：当时，当时，结合图形求解即可； （4）分当时，当时，两种情况，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （4）如图所示：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∵平分， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， 由（3）得：； 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在物理《光的反射》一课中：如图①经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角．在光的反射现象中，反射光线，入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两边，反射角等于入射角．数学课上，小明同学提出这样一道题目：如图②，一束光线与水平面成的角度照射地面，在地面上斜放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后的光线与地面平行，则平面镜与地面所成角的度数为______． 【答案】 【分析】根据题意结合对顶角的定义判断出，再利用平行线的性质推出，即可求解． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， ， ，即． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 题型三 平移与几何作图 解｜题｜技｜巧 1. 定方向、定距离：平移作图的关键是确定平移的方向和距离。2. 关键点法：找出图形的关键点（如顶点），分别作出这些点平移后的对应点，最后顺次连接。3. 利用性质解题：利用“对应线段平行且相等”来求解线段长度或证明四边形是平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1. 平移方向搞反，或者平移距离测量不准。2. 连接对应点时漏连或错连。3. 误认为平移后的图形大小会发生改变。 【典例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·广西梧州·期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图；掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形； （3）解：如图， 四边形为所求作图形． 【变式2】（25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)线段扫过的图形的面积是32 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；      （2）解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过的图形的面积是32． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 题型四 垂线段最短的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 化曲为直：在解决“最短路径”、“最小费用”问题时，寻找垂直关系。2. 模型识别：识别出“直线外一点到直线上各点连线”的模型，确定垂线段即为最短路径。3. 面积法：有时结合三角形面积公式（底×高），利用等积法求垂线段长度（高）。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“垂线段”（图形）与“距离”（数值）的概念。2. 在实际应用题中，未能将生活语言转化为“点到直线的距离”这一数学模型。 【典例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型五 平行线中的动态探究问题 解｜题｜技｜巧 1. 分类讨论：当动点位置改变导致图形结构变化时（如点在平行线内部、外部或线上），需分类讨论。2. 设参求解：设动点运动的时间或距离为参数 ，建立角度或长度的方程求解。3. 不变性原理：在变化中寻找不变的量（如某些角的和差关系保持不变）。 易｜错｜点｜拨 1. 考虑不全，漏掉某种特殊情况（如动点运动到端点）。2. 计算过程中符号处理错误，导致方程解错。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（    ） 因为，所以．（依据：_____） A．同角的余角相等 B．等式的基本性质 C．邻补角的定义 D．同角的补角相等 【答案】D 【详解】解：∵（平角的定义）， 所以（同角的补角相等）． 2．图形变换包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据平移前后，图形的形状，大小，方向均不变，可知，只有选项A的图形可以通过平移得到. 3．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，______度．______度． 【答案】 【分析】由垂线的定义可得，则可求出的度数，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知，作交于点，则________度． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等直接求解即可． 【详解】，， ． 5．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由． 【答案】与的面积相等．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线间的距离性质和三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 通过作两条平行线间的高，利用平行线间距离处处相等的性质，结合三角形面积公式，证明两个三角形面积相等． 【详解】解：与的面积相等，理由如下， 过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、， ，， ∵直线，，， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得直角，结合平行线角度关系求． 【详解】解：如图取点， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 2．如图，点在上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义，得，根据平行线的同位角相等，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 【答案】29 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴四边形的周长． 4．已知直线，将一把含角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，若，则______． 【答案】55 【分析】确定三角尺的直角为，由得，由，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 5．已知：如图，平分交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，结合平行线的判定与性质，可推导得到与的位置关系，进而根据平行线的性质得到与的关系． 【详解】证明：∵， ∴； ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 2．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质可判断①②，结合角平分线定义及平行线性质可判断③，通过角度计算可判断④⑤． 【详解】解： ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ， 平分，故③正确； 在延长线上取点M， ， ，， 比的余角小， ， ， 解得， ，，故④正确； 为的平分线， ， ，即， ， ，即， ，故⑤错误， 综上可知，结论正确的序号是①②③④． 3．如图，已知，，则_____． 【答案】 【分析】过作，过作，过作，过作，则，然后根据平行线的性质得出，，，，，即可求解． 【详解】解：过作，过作，过作，过作， ∴，，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴ ． 4．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 5．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $