精品解析：2026年广东省广州市真光教育集团九年级中考数学二模试卷

2025学年第二学期初三毕业班综合素养训练数学练习卷 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. a的相反数是2 B. a的绝对值是2 C. a的倒数是2 D. a的绝对值大于2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定的取值范围，选择正确的选项． 【详解】解：由数轴可知，， 的相反数，所以A不正确， 的绝对值，所以B不正确，D正确； 的倒数不等于2，所以C不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是数轴和实数的性质，属于基础题，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 2. 汉字“人”的甲骨文如下图，可大致看成是人身体的（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据汉字“人”的甲骨文的形状，可大致看成是人身体的左视图． 【详解】解：汉字“人”的甲骨文的形状，可大致看成是人身体的左视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，∴A错误； B选项：，∴B错误； C选项：，∴C错误； D选项：，∴D正确． 4. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 5. 若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标规律得到对称点坐标，再结合第四象限点的坐标特征列不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标为， ∵第四象限内点的纵坐标小于，该对称点在第四象限， ∴， ∴． 6. 如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 7. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图所给的数据求出样本容量，中位数，众数和平均数即可得到答案． 【详解】解：A、本次抽取共调查了个学生，原说法正确，不符合题意； B、将阅读时间从低到高排列，处在第20名和第21名的阅读时间分别为5小时，6小时，则中位数是小时，原说法错误，符合题意； C、阅读时间为5小时的人数为14人，人数最多，即众数为5小时，原说法正确，不符合题意； D、平均数是小时，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，众数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键． 8. 如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径求出半径和的长，利用比例关系求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 9. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. 1或11 D. 2或11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，先求解，，可得菱形的边长为，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴菱形的边长为， ∴边向左平移1个单位或个单位， 故选：C． 10. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得： ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵p=5，c=4， ∴a+b=2p-c=6 ∴ 由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得： 设，当取得最大值时，S也取得最大值 ∵ ∴当a=3时，取得最大值4 ∴S的最大值为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 12. 方程的解是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程．利用移项、系数化为1的步骤进行解答即可． 【详解】解： ， 移项，得 ， 系数化为，得 ， 故方程的解是． 故答案为： 13. 在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】以为轴旋转得到圆锥，圆锥底面圆的半径等于的长度，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，代入半径计算即可． 【详解】解：在中，，以所在直线为轴旋转得到圆锥， 圆锥底面圆的半径， 圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 弧长． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：， ， ∴ ． 15. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：） 【答案】128 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 16. 如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大”得到两个解集的公共部分，即不等式组的最终解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图： 18. 如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：， ． ，， ， ． 19. 已知． （1）化简A； （2）若a是方程的一个根，求A的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用分式的加减法计算法则进行解答； （2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 是方程的一个根， ． ． ． ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，分式的加减法，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． 20. 第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人. （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率； （2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加.试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由. 【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可． 试题解析：（1）∵现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人， ∴从这20人中随机选取一人作为联络员，P（选到女生）==； （2）如图所示： 牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8， ∴偶数为：4个，P（得到偶数）==，∴P（得到奇数）=，∴甲参加的概率＜乙参加的概率，∴这个游戏不公平． 考点：1.游戏公平性；2.概率公式；3.列表法与树状图法． 21. 广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． （1）年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ （2）两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】（1）A型卖出90个，B型卖出80个． （2）A型最多进30个． 【解析】 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【小问1详解】 解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； 【小问2详解】 解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． （1）求，的值； （2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】（1），； （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解； （2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数的解析式为， 令，则， ∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得或， 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，点，． （1）尺规作图：作经过，两点与轴相切，圆心在第一象限；（保留作图痕迹，可不写作法） （2）若点是轴上一动点，当最大时，求． 【答案】（1）如图，即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得直线垂直平分，则点在直线上，而直线与轴之间的距离为，故圆P的半径为3，即可作圆； （2）当点是切点时，最大，连接并延长交于点，连接，则，则，即求解正弦值． 【小问1详解】 解：以点为圆心，半径长为个单位画弧，交的垂直平分线于点，以点为圆心，为半径作圆，即圆； 【小问2详解】 解：当点是切点时，最大， 设切点为点，当点在轴正半轴上不是点的位置时，连接，设与交于点，连接， ∴， ∵ ∴； 当点在轴负半轴上时，将沿着轴翻折，同理可证明， ∴当点与点重合时，最大， 连接并延长交于点，连接，则 ∴ ∵是直径， ∴ ∴， 即当最大时，． 24. 如图．在正方形中，为正方形内一动点，满足，连接并延长，与的平分线交于点． （1）当时，求的度数； （2）记点到，，，四个顶点的距离分别为，，，，探究，，，之间的等量关系； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证得是等边三角形，进而得到，，再利用角平分线得到，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）过点 作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，设 ， ，再利用勾股定理即可求解； （3）先证为定值 ，连接 ，取  的中点  ，连接 ，，作 于点 ，先证 ，得到，进而点 在以 为直径的圆上，进而当 、 、 三点共线时，点 到 的距离 最大，最大值为 ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵为的平分线 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点 作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，连接，可知四边形都为矩形， 设 ， ， ∵四边形 是正方形，， 则 ， ， ， 根据勾股定理： ， ， ， ， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解： 设 ，则 ， ∵平分 ， ∴， ∵， ∴ 是等腰三角形， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， 即 为定值 ， 连接 ，取  的中点  ，连接 ，， ∵，，， ∴ ， 则 ， ∴， ∴点 在以 为直径的圆上， ∵在正方形 中， ， ∴， 作 于点 ，根据正方形的性质易知， 当 、 、 三点共线时，点 到 的距离 最大，最大值为 ， ∵，， ∴面积的最大值为． 25. 直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． （1）求点的坐标； （2）如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； （3）过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有最值，的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）通过直线解析式以及交点横坐标为0，求出点的坐标即可； （2）根据题意，直线和抛物线没有交点，且，列出方程，利用根的判别式列出不等式求解； （3）根据题意可求，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，从而求出解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当，抛物线开口向下，且与直线没有交点时，符合要求， ∵，， ∴， 令， 整理得， ∵抛物线与直线没有交点， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵直线且过点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，不成立， ∴， 如图所示， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， ∵点，，，四点共圆， 设点为外接圆圆心， 过点作于点， ∴点在上， ∴， 连接， 在中，， 即， 解得半径， ∴设， ∵点， ∴由勾股定理得， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， 将代入抛物线得， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为8，最小值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初三毕业班综合素养训练数学练习卷 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. a的相反数是2 B. a的绝对值是2 C. a的倒数是2 D. a的绝对值大于2 2. 汉字“人”的甲骨文如下图，可大致看成是人身体的（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 都有可能 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（ ）     A. B. C. D. 7. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 8. 如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. 1或11 D. 2或11 10. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：=___． 12. 方程的解是 __________． 13. 在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________． 14. 若，则________． 15. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：） 16. 如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 19. 已知． （1）化简A； （2）若a是方程的一个根，求A的值． 20. 第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人. （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率； （2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加.试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由. 21. 广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． （1）年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ （2）两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． （1）求，的值； （2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 23. 如图，平面直角坐标系中，点，． （1）尺规作图：作经过，两点与轴相切，圆心在第一象限；（保留作图痕迹，可不写作法） （2）若点是轴上一动点，当最大时，求． 24. 如图．在正方形中，为正方形内一动点，满足，连接并延长，与的平分线交于点． （1）当时，求的度数； （2）记点到，，，四个顶点的距离分别为，，，，探究，，，之间的等量关系； （3）求面积的最大值． 25. 直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． （1）求点的坐标； （2）如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； （3）过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $