精品解析：上海交通大学附属中学2026届高三第二学期考前自测数学试题

交大附中高三三模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知为正整数且，则的值为___________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合数的性质直接求解即可. 【详解】因为为正整数且，所以, 由组合数的性质可知，由于，故时，， 所以的值为. 2. 已知，若，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由， 则， 所以时，取得最小值. 3. 已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 4. 已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 5. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 6. 在中，的面积为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 7. 某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 【答案】54 【解析】 【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可. 【详解】由题意得，则，不妨设，则， 当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，， 而，故第40百分位数为，不满足题意； 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 而，故第40百分位数为，则，于是， 而，可知第70百分位数是，即第70百分位数的最大值是54. 8. 已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____. 【答案】3 【解析】 【分析】设直线 斜率为 ，，由，求得坐标，再代入双曲线方程，进而可求解. 【详解】双曲线离心率 ​​，平方得 ​， 整理得 ，， 左焦点 ，设 ，为 中点，则 ， 设直线 斜率为 ，，故 ， 代入 ​​，结合 ， 则， 联立 解得： ​ 又  在双曲线上，满足 ，将 ​ 代入， 即满足，代入​， 消去 后整理得：  ， 解得  或 ， 在双曲线左支，， 若 ，，符合要求； 若 ​，，在右支，舍去， 又 ，得 . 9. 已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意可知函数的值域不为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若存在实数，使得方程无解，可知函数的值域不为， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上的最小值为， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 11. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数， 所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以． 12. 将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 【答案】2026 【解析】 【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：，正好是新添加的项求解. 【详解】题目中一次变换是：删除两项，添加， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：， 这正好是新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的的乘积在变换前后是不变的。 原数列是共 2026 项， 初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少，初始有 项，经过次变换后， 数列只剩项，设为，根据不变量，有：， 解得， 故答案为：2026 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 14. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 15. 已知，则等比数列的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 16. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析导数的符号变化，利用函数单调性与导数的关系逐项判断即可. 【详解】因为定义在的函数满足，其中常数、、均为正数， 所以，令可得， 结合四个选项可知，对任意的，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 对于A选项，如下图所示： 由图可知，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 即是函数的极大值点，事实上，不是函数的极大值点，A选项不符合要求； 对于B选项，如下图所示： 设直线与函数图象交点的横坐标为， 由图可知，当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 事实上，函数在上单调递增，矛盾，B选项不符合要求； 对于C选项，由图可知，对任意的，，则， 即函数在上单调递增， 由可知，当在上单调递增，在上单调递减， 由图可知，函数在上单调递增，且函数的增长速度先越来越快，后越来越慢， 则其导函数先递增再递减，矛盾，C选项不符合要求； 对于D选项，由图可知，对任意的，，则， 所以函数在上单调递增，且的增长速度越来越慢， 由可知，当在上单调递增时，在上单调递减，D选项符合要求. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【小问1详解】 在上的投影向量为：， 又，， 则； 【小问2详解】 由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 【小问3详解】 由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. 18. 人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. （1）求员工经过培训能应用Sora的概率 （2）已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）设视频部调人至其他部门，，由二项分布可知培训后视频部门能应用Sora的人数，求出期望值再根据利润大小解不等式可求得结果. 【小问1详解】 根据题意员工经过培训能应用Sora，即有两轮及以上获得“优秀”， 其概率为； 因此员工经过培训能应用Sora的概率为； 【小问2详解】 设视频部调人至其他部门，， 为培训后视频部门能应用Sora的人数， 则，则， 调整后视频部门的年利润为； 令，解得， 因为，所以， 因此视频部最多可以调23人到其他部门. 19. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：// 平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由中位线定理及线面垂直的性质定理可得四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证得// 平面； （2）由四棱锥的体积为3，可求得点到平面的距离为.建立空间直角坐标系，设平面与平面所成的锐二面角大小为，根据面面角的向量求法将表示为的函数，结合二次函数的最值求法，可得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 则，为． 由于平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，由，得， 令，得，因此平面的一个法向量． 由于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角大小为， 则. 因为，当且仅当时，等号成立； 所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为． 20. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）. 【解析】 【分析】（1） 根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，列出关于的方程组，求解得到椭圆的标准方程. （2） 设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据直线的方程求出其与轴的交点坐标. （3）求出两直线交点，，分别表示与的面积，求范围即可. 【小问1详解】 依题意可知 解得，，， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. 【小问3详解】 当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，， 因为，， 所以， 所以， . 所以. 又因为，所以 . 21. 设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． （1）判断函数是否为函数，说明理由； （2）已知是实数，函数是函数，求的最大值； （3）若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【答案】（1）不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； （2）1 （3）先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 【解析】 【分析】(1)通过代入特殊值到函数条件中判断. (2)先对的情况分析，若成立则对进一步分析. (3)证明充分性时代入特殊值即可， 证明必要性时利用反证法，先对函数的特征进行归纳，设出特殊值后通过函数的特性联立不等式推翻原本的假设. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． 【小问3详解】 略 【点睛】主要通过代入未知数到新定义条件的不等式中不断得出各类结论进而进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高三三模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知为正整数且，则的值为___________ 2. 已知，若，则的最小值为___________ 3. 已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 4. 已知均为正数，且，则的最小值为___________ 5. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 6. 在中，的面积为___________ 7. 某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 8. 已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____. 9. 已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______． 11. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 12. 将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则等比数列的公比为（ ） A. B. C. D. 16. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. （1）求员工经过培训能应用Sora的概率 （2）已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 19. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：// 平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 20. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 21. 设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． （1）判断函数是否为函数，说明理由； （2）已知是实数，函数是函数，求的最大值； （3）若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $